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2020-2021学年山东省潍坊市高密市高三（上）10月月考数学（理）试卷人教B版
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这是一份2020-2021学年山东省潍坊市高密市高三（上）10月月考数学（理）试卷人教B版，共14页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知全集U=R，集合A=x|1≤x≤3，B=x|2A.x|3
2. “x<1”是”x2+2x−3<0“的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3. 2020年初，我国向相关国家派出了由医疗专家组成的医疗小组．现有四个医疗小组和4个需要援助的国家，每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法有( )
A.64种B.48种C.24种D.12种
4. 算盘是中国传统的计算工具．其形长方，周为木框．内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五．梁下五珠．每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如．在十位档拔上一颗上珠和—颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65．若在个、十，百，千位档中随机选择—档拨上一颗下珠．再随机选择两个档位各拨一颗上珠，则所拨数字小于600的概率为（ ）
A.38B.524C.34D.724
5. 已知函数fx=3−x+1,x≤0,lgax+2,（x>0）,若f(f(−1))=6，那么实数a的值是( )
A.4B.2C.2D.22
6. (2x−1x)6的展开式中常数项为( )
A.−160B.160C.80D.−80
7. 已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( )
A.f(x)=1x2−1B.f(x)=ln|x|xC.f(x)=exxD.f(x)=x−1x
8. 如图．水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面CDD1C1上有一个小孔E，E点到CD的距离为3．若该正方体水槽绕CD倾斜（CD始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面CDD1C1与桌面所成角的正切值为（ ）
A.55B.12C.255D.2
二、多选题
随着2022年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长．下面是2012年至2018年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图．则下面结论中正确的是( )
A.2013年至2018年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年增加
B.2013年至2018年，中国雪场滑雪人次逐年增加
C.2013年与2018年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等
D.2012年到2018年，中国雪场滑雪人次增长率约为146.2%
从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）
A.2个球都是红球的概率为16
B.2个球中恰有1个红球的概率为12
C.至少有1个红球的概率为23
D.2个球不都是红球的概率为13
已知正实数x，y满足lg2x+lg12y<(12)x−(12)y，则下列结论正确的是( )
A.1x<1yB.x30D.2x−y<12
函数fx是定义域为R的奇函数，且f(x)=f(x+4),当x∈0,2时，fx=x,x∈0,1，2−x，x∈(1,2]， g(x)=f(x+1)．则下列四个判断正确的是( )
A.函数y=gx+fx的最小值为−1
B.函数y=gx+fx的图像关于x=2对称
C.对于任意的正整数n,i=1nf4in=0
D.对于任意的正整数n．存在k∈Rk≠1，使得i=1ngk4inf4in=0成立
三、填空题
设随机变量ξ服从正态分布N1,σ2．若Pξ<2=0.8，则P0<ξ<2=________.
函数y=x+1+x−2的值域为________.
候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v（单位：m/s）与其耗氧量Q之间的关系为v=a+lg2Q10（其中a是实数）．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位．若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，其耗氧量至少需要________个单位．
正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为BC,CC1的中点．则平面AEF截正方体所得的截面面积为________．以点E为球心．以104为半径的球面与对角面ACC1A1的交线长为________．
四、解答题
已知函数f(x)=x+ax−1(a为常数)，其中f(x)<0的解集为(−3,1).
(1)求实数a的值；
(2)设g(x)=x+f(x)，当x(x>1)为何值时，g(x)取得最小值，并求出其最小值.
已知正三棱柱ABC−A1B1C1的边长均为23，E，F分别是线段AC1和BB1的中点.
(1)求证：EF // 平面ABC；
(2)求三棱锥C−ABE的体积.
已知函数f(x)=a(x−1)+lnx(a∈R).
(1)当a=−1时，求f(x)的极值；
(2)设F(x)=f(x+1)，若F(x)<0对x∈[1,+∞)恒成立，求实数a的取值范围.
在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD．底面ABCD为直角梯形．BC // AD，∠ADC=90∘，BC=CD=12AD=1，E为线段AD的中点，过BE的平面与线段PD，PC分别交于点G，F．
(1)求证：GF⊥PA；
(2)若PA=PD=2，是否存在点G，使得直线PB与平面BEGF所成角的正弦值为105，若存在，请确定G点的位置，若不存在，请说明理由.
目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全国肆虐，在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，我国的“新冠肺炎”疫情在今年二月份已得到控制．甲、乙两个地区采取防护措施后，统计了从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数，绘制成如图折线图：
(1)根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，分别从均值与方差的角度比较甲乙两地新增确诊人数的统计结论(不用计算数据，给出判断即可)；
(2)治疗“新冠肺炎”药品的研发成了当务之急，某药企计划对甲地区的A项目或乙地区的B项目投入研发资金，经过评估，对于A项目，每投资十万元，一年后利润是1.38万元、1.17万元、1.16万元的概率分别为16，13，12；对于B项目，产品价格在一年内需进行2次独立的调整，每次价格调整中，产品价格下调的概率都是p(0(i)求ξ1，ξ2的分布列和数学期望Eξ1，Eξ2；
(ii)如果你是该企业投资决策者，将做出怎样的决策？请写出决策理由．
已知函数fx=x2+xlna(a>0)，x∈(0,1).
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若f(x)>aexlnx对∀x∈0,1恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省潍坊市高密市高三（上）10月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
利用补集的定义解得CUA，再利用交集的定义得解.
【解答】
解：由题设得∁UA={x|x<1或x>3}，
所以∁UA∩B=x|3故选A.
2.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
一元二次不等式的解法
【解析】
先完成二次不等式得解，然后根据充分必要条件的判定方法得解.
【解答】
解：由x2+2x−3<0，解得−3当x<1时，不一定能得到−3当−3所以“x<1”是“x2+2x−3<0”的必要不充分条件.
故选B.
3.
【答案】
C
【考点】
排列、组合的应用
【解析】
利用4个医疗小组排列得解.
【解答】
解：由题设得4个医疗小组的每一个排列都对应着一种去不同国家的分配方案，
所以共有A44=24(种).
故选C.
4.
【答案】
D
【考点】
排列、组合的应用
古典概型及其概率计算公式
【解析】
依题意所拨数字共有n=C41C42=24.再分两种情况讨论数字小于600 的种数，利用古典概型的概率得解.
【解答】
解：在个、十、百位档中随机拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，
依题意所拨数字共有n=C41C42=24.
所拨数字小于600,上珠拨的是个位档或十位档C21C32=6；上珠拨的是百位档1，
所以所拨数字小于600的基本事件有6+1=7.
故所求概率为p=724.
故选D.
5.
【答案】
C
【考点】
分段函数的应用
【解析】
利用分段函数解得f(−1)=4,再利用指数对数的运算得解.
【解答】
解：由题设得f(−1)=3−(−1)+1=4，ff−1=f4=lga4+2=6，
即lga4=4，其中a>0且a≠1.
即a4=4=24，
解得a=2.
故选C.
6.
【答案】
A
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．
【解答】
解：二项式(2x−1x)6展开式的通项公式为Tr+1=C6r⋅26−r⋅(−1)r⋅x6−2r，
令6−2r=0，求得r=3，
可得二项式(2x−1x)6展开式中的常数项为C63⋅23⋅(−1)=−160，
故选A．
7.
【答案】
B
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
函数的图象
【解析】
根据函数图象的对称性的特点得到函数的奇偶性，结合函数解析式的特点分别进行判断即可．
【解答】
解：由图象知函数图象关于原点对称，则函数是奇函数，
A是偶函数，不满足条件，C是非奇非偶函数，不满足条件．
D，f(x)=x−1x在x>0上为增函数，不满足条件．
故选B.
8.
【答案】
D
【考点】
与二面角有关的立体几何综合题
【解析】
由水槽倾斜时，水槽内的水体积保持不变，而水槽内的水始终为柱体，可知倾斜后水槽内的水在平面BCC1B1内的面积保持不变，
于是由E点到CD的距离为3，可求出水面与BAA1B1的交线距离AB的距离为1，
设侧面CC1D1D与桌面所成角为α，则底面ABCD与桌面所成角为π2−α，
则由水面与桌面平行可知，E点到桌面的距离即为水面与BAA1B1的交线到桌面的距离，
从而有1+4tan(π2−α)=3，解之得tanα=2.
【解答】
解：由题意，当水槽倾斜时，水槽内的水体积保持不变，
因为水槽内的水始终为柱体，则倾斜后水槽内的水在平面BCC1B1内的面积保持不变，
于是由E点到CD的距离为3，可求出水面与BAA1B1的交线距离AB的距离为1，
设侧面CC1D1D与桌面所成角为α，则底面ABCD与桌面所成角为π2−α，
则由水面与桌面平行可知，E点到桌面的距离即为水面与BAA1B1的交线到桌面的距离，
从而有1+4tan(π2−α)=3，解之得tanα=2，
故选D.
二、多选题
【答案】
B,D
【考点】
频率分布直方图
【解析】
由图可知，2013年至2018年，中国雪场滑雪人次逐年增加，而滑雪人次的同比增长率在2013年至2015年逐年增加，2016年至2018年则逐年下降，故A选项错误，B选项正确；
虽然2013年与2018年相比，中国雪场滑雷人次的同比增长率近似相等，但由于滑雪人次逐年增加，所以2013年增长人数远低于2018年增长人数，故C错误；
计算可知，2012年至2018年，中国雪场滑雪人次增长率为1970−800800=11780≈146.2%，故D正确.
【解答】
解：由图可知，2013年至2018年，中国雪场滑雪人次逐年增加，
而滑雪人次的同比增长率在2013年至2015年逐年增加，
2016年至2018年则逐年下降，故A选项错误，B选项正确；
虽然2013年与2018年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，
但由于滑雪人次逐年增加，所以2013年增长人数远低于2018年增长人数，故C错误；
计算可知，2012年至2018年，中国雪场滑雪人次增长率为1970−800800=11780≈146.2%，
故D正确.
故选BD.
【答案】
A,B,C
【考点】
对立事件的概率公式及运用
相互独立事件的概率乘法公式
等可能事件的概率
【解析】
利用独立事件的概率计算可以判断A；结合互斥事件的概率公式可以判断BC;结合对立事件的概率公式可以判断D.
【解答】
解：由题意，从甲袋摸出一个红球的概率为13，从乙袋摸出一个红球的概率为12，
因为从甲袋摸出一个红球与从乙袋摸出一个红球相互独立，
所以从两袋各摸一个球，2个球都是红球的概率为13×12=16，故A正确；
2个球中恰有1个是红球的概率为13×12+23×12=16+13=12，故B正确；
至少有一个红球的概率为13×12+13×12+23×12=16+13=23，故C正确；
2个球不都是红球的概率为1−13×12=56，故D错误.
故选ABC.
【答案】
B,C
【考点】
指数式、对数式的综合比较
对数函数的图象与性质
不等式的基本性质
对数的运算性质
【解析】
由题意构造函数f(x)=(12)x−lg2x，利用单调性，确定x，y的大小关系，即可判断.
【解答】
解：由题意，lg2x+lg12y<(12)x−(12)y，
整理得lg2x−lg2y<(12)x−(12)y，
即(12)y−lg2y<(12)x−lg2x，
设f(x)=(12)x−lg2x，
则由指数函数与对数函数单调性可知：
函数f(x)=(12)x−lg2x在定义域上单调递减，
从而有y>x>0，于是由不等式的性质可知1x>1y，故A错误；
同样地，由不等式的性质可知x3而由y>x>0可知y−x+1>1，于是有ln(y−x+1)>0，故C正确；
而当−112，故D错误.
故选BC.
【答案】
A,C,D
【考点】
函数的周期性
函数奇偶性的性质
【解析】
由f(x)是定义域为R的奇函数，周期为4，且g(x)=f(x+1)可知，g(x)也是定义域为R的奇函数，且周期为4，
于是可以求得当x∈[−2,−1)时，y=g(x)+f(x)=−1；当x∈[−1,0)时，y=g(x)+f(x)=0；当x∈[0,1)时，y=g(x)+f(x)=1；当x∈[1,2)时，y=g(x)+f(x)=0；
于是可知y=g(x)+f(x)的最小值为−1，但图像不关于x=2对称，故A正确，B错误；
对于任意正整数n，都有i=1nf(4in)=0，故C正确；
同样地，对于任意正整数n，存在k∈R，i=1ng(k4in)f(4in)=0.
【解答】
解：由题意，f(x)是定义域为R的奇函数，且周期为4，
则由g(x)=f(x+1)可知，g(x)周期为4，
于是可以求得当x∈[−2,−1)时，y=g(x)+f(x)=−1；
当x∈[−1,0)时，y=g(x)+f(x)=0；
当x∈[0,1)时，y=g(x)+f(x)=1；
当x∈[1,2)时，y=g(x)+f(x)=0.
于是可知y=g(x)+f(x)的最小值为−1，但图像不关于x=2对称，故A正确，B错误；
对于任意正整数n，都有i=1nf(4in)=0，故C正确；
同样地，对于任意正整数n，存在k∈R，i=1ng(k4in)f(4in)=0，故D正确.
故选ACD.
三、填空题
【答案】
0.6
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】
随机变量ξ服从正态分布N(1, σ2)，得到曲线关于x＝1对称，先求出P(1≤ξ≤2)＝0.3，再求出P(0<ξ<2)．
【解答】
解：由题意得，
P1<ξ<2=Pξ<2−Pξ<1=0.8−0.5=0.3,
则P0<ξ<2=2P1<ξ<2=0.6.
故答案为：0.6.
【答案】
[3,+∞)
【考点】
函数的值域及其求法
【解析】
根据绝对值内x的范围分段求范围，然后值域为各段的并集．
【解答】
解：由绝对值的几何意义,y为横轴上的点到−1与2间的距离和,故值域为[3,+∞).
故答案为：[3,+∞).
【答案】
80
【考点】
函数模型的选择与应用
对数及其运算
【解析】
利用对数运算，列出等式，直接计算即可.
【解答】
解：由题意，当静止时，速度为0，此时耗氧量为20,
所以0=a+lg22010，即a+1=0,
所以a=−1,即v=−1+lg2Q10，
所以−1+lg2Q10≥2，
所以Q≥80,
所以耗氧量至少需要80.
故答案为：80.
【答案】
98,23π
【考点】
组合几何体的面积、体积问题
球的性质
棱柱的结构特征
【解析】
作出完整截面,即可计算面积.
【解答】
解：连接FD1,AD1，如图所示，
易得AD1//BC1//EF,
平面AEF截正方体所得的截面即为等腰梯形AD1FE，
且AD1=2, EF=22,AE=D1F=52，梯形的高为ℎ=324，
所以S=12×22+2×324=98.
过点E向平面AA1CC1做垂线,垂足为M，M点即为截面小圆的圆心,
设小圆半径为r,交直线CC1为N,
因为球半径为104,所以r2+216=1042,
所以r=22,
因为MC=24，所以∠NMC=π3，
所以交线的长为2π3×22=2π3.
故答案为：98；2π3.
四、解答题
【答案】
解：(1)已知f(x)<0的解集为(−3,1)，
故f(x)=0的一个根为−3，
所以−a=−3，
得a=3．
(2)g(x)=x+f(x)=x+x+3x−1=x+x−1+4x−1=x−1+4x−1+2，
因为x>1，
所以x−1+4x−1≥2(x−1)4x−1=4，
当且仅当x−1=4x−1，即x=3时取等号，
所以当x=3时，g(x)取得最小值为6．
【考点】
分式不等式的解法
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)已知f(x)<0的解集为(−3,1)，
故f(x)=0的一个根为−3，
所以−a=−3，
得a=3．
(2)g(x)=x+f(x)=x+x+3x−1=x+x−1+4x−1=x−1+4x−1+2，
因为x>1，
所以x−1+4x−1≥2(x−1)4x−1=4，
当且仅当x−1=4x−1，即x=3时取等号，
所以当x=3时，g(x)取得最小值为6．
【答案】
(1)证明：取AC的中点为G，连结GE，GB
在△ACC1中，EG为中位线，所以EF//CC1，EG=12CC1.
又因为CC1//BB1，CC1=BB1，F为BB1的中点，
所以EG//BF，EG=BF，
所以EFBG为平行四边形，
所以EF//GB.
又EF⊄平面ABC，GB⊂平面ABC，
所以EF//平面ABC．
(2)解：因为VC−ABE=VE−ABC，
又因为E为AC1的中点，
所以E到底面ABC的距离是C1到底面ABC的距离的一半，
即三棱锥E−ABC的高ℎ=12CC1=3.
又△ABC的面积为S=34×232=33，
所以VC−ABE=VE−ABC=13Sℎ=13×33×3=3．
【考点】
直线与平面平行的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
(1)证明：取AC的中点为G，连结GE，
在△ACC1中，EG为中位线，所以EF//CC1，EG=12CC1.
又因为CC1//BB1，CC1=BB1，F为BB1的中点，
所以EG//BF，EG=BF，
所以EFBG为平行四边形，
所以EF//GB.
又EF⊄平面ABC，GB⊂平面ABC，
所以EF//平面ABC．
(2)解：因为VC−ABE=VE−ABC，
又因为E为AC1的中点，
所以E到底面ABC的距离是C1到底面ABC的距离的一半，
即三棱锥E−ABC的高ℎ=12CC1=3.
又△ABC的面积为S=34×232=33，
所以VC−ABE=VE−ABC=13Sℎ=13×33×3=3．
【答案】
解：(1)函数的定义域为(0,+∞)，
当a=−1时，f(x)=lnx−x+1，f′(x)=1x−1=1−xx，
所以y=f(x)在(0,1)上为增函数，在(1,+∞)上为减函数，
故当x=1时，f(x)取极大值f(1)=0，无极小值．
(2)原问题等价于−a>ln(x+1)x在x∈[1,+∞)上恒成立，
设g(x)=ln(x+1)x⇒g′(x)=x1+x−ln(x+1)x2，
设ℎ(x)=x1+x−ln(x+1)
⇒ℎ′(x)=1(1+x)2−11+x
=−x(1+x)2<0(x≥1)，
所以ℎ(x)是减函数，
所以ℎ(x)≤ℎ(1)=12−ln2<04>e⇒2>e12，
据此可得g′(x)<0恒成立，
所以g(x)是减函数，
g(x)max=g(1)=ln2，
所以−a>ln2，
所以a<−ln2．
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)函数的定义域为(0,+∞)，
当a=−1时，f(x)=lnx−x+1，f′(x)=1x−1=1−xx，
所以y=f(x)在(0,1)上为增函数，在(1,+∞)上为减函数，
故当x=1时，f(x)取极大值f(1)=0，无极小值．
(2)原问题等价于−a>ln(x+1)x在x∈[1,+∞)上恒成立，
设g(x)=ln(x+1)x⇒g′(x)=x1+x−ln(x+1)x2，
设ℎ(x)=x1+x−ln(x+1)
⇒ℎ′(x)=1(1+x)2−11+x
=−x(1+x)2<0(x≥1)，
所以ℎ(x)是减函数，
所以ℎ(x)≤ℎ(1)=12−ln2<04>e⇒2>e12，
据此可得g′(x)<0恒成立，
所以g(x)是减函数，
g(x)max=g(1)=ln2，
所以−a>ln2，
所以a<−ln2．
【答案】
(1)证明：因为BC=12AD，且E为线段AD的中点，
所以BC=DE.
又因为BC//AD，
所以四边形BCDE为平行四边形，
所以BE//CD.
又因为CD⊂平面PCD，BE⊄平面PCD，
所以BE//平面PCD.
又平面BEGF∩平面PCD=GF，
所以BE//GF.
又BE⊥AD，且平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以BE⊥平面PAD，
所以GF⊥平面PAD.
又PA⊂平面PAD，
所以GF⊥PA.
(2)因为PA=PD，E为线段AD的中点，
所以PE⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，
所以PE⊥平面ABCD.
以E为坐标原点，EA→的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系E−xyz：
则P(0,0,1)，B(0,1,0)，E(0,0,0)，D(−1,0,0)，
则PB→=(0,1,−1)，BE→=(0,−1,0)，DP→=(1,0,1)，
设DG→=λDP→，得G(λ−1,0,λ)，
所以EG→=(λ−1,0,λ)，设平面BEGF的法向量为n→=(x,y,z)，
则BE→⋅n→=0，EG→⋅n→=0，
即y=0，(λ−1)x+λz=0.
不妨令x=λ，可得n→=(λ,0,1−λ)为平面BEGF的一个法向量，
设直线PB与平面BEGF所成角为α，
于是有sinα=|cs⟨n→，PB→⟩|
=n→⋅PB→|n→|⋅|PB→|
=λ−12λ2+(λ−1)2
=105；
得λ=13或λ=−1（舍），
所以存在点G(−23,0,13)，使得直线PB与平面BEGF所成角的正弦值为105．
故G为DP的靠近D点的三等分点．
【考点】
用空间向量求直线与平面的夹角
两条直线垂直的判定
【解析】
(1)暂无．
(2)暂无．
【解答】
(1)证明：因为BC=12AD，且E为线段AD的中点，
所以BC=DE.
又因为BC//AD，
所以四边形BCDE为平行四边形，
所以BE//CD.
又因为CD⊂平面PCD，BE⊄平面PCD，
所以BE//平面PCD.
又平面BEGF∩平面PCD=GF，
所以BE//GF.
又BE⊥AD，且平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以BE⊥平面PAD，
所以GF⊥平面PAD.
又PA⊂平面PAD，
所以GF⊥PA.
(2)因为PA=PD，E为线段AD的中点，
所以PE⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，
所以PE⊥平面ABCD.
以E为坐标原点，EA→的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系E−xyz：
则P(0,0,1)，B(0,1,0)，E(0,0,0)，D(−1,0,0)，
则PB→=(0,1,−1)，BE→=(0,−1,0)，DP→=(1,0,1)，
设DG→=λDP→，得G(λ−1,0,λ)，
所以EG→=(λ−1,0,λ)，设平面BEGF的法向量为n→=(x,y,z)，
则BE→⋅n→=0，EG→⋅n→=0，
即y=0，(λ−1)x+λz=0.
不妨令x=λ，可得n→=(λ,0,1−λ)为平面BEGF的一个法向量，
设直线PB与平面BEGF所成角为α，
于是有sinα=|cs⟨n→，PB→⟩|
=n→⋅PB→|n→|⋅|PB→|
=λ−12λ2+(λ−1)2
=105；
得λ=13或λ=−1（舍），
所以存在点G(−23,0,13)，使得直线PB与平面BEGF所成角的正弦值为105．
故G为DP的靠近D点的三等分点．
【答案】
解：(1)甲地区比乙地区的新增人数的均值小；
甲地区比乙地区的方差大.
(2)(i)由题意得ξ1的概率分布列为：
所以E(ξ1)=1.38×16+1.17×13+1.16×12=1.2，
ξ2的概率分布列为：
所以E(ξ2)=1.4×(1−p)2+1.25×2p(1−p)+0.6p2
=−0.5p2−0.3p+1.4.
(ii)当E(ξ1)即5p2+3p−2<0，解得0当E(ξ1)=E(ξ2)时，p=25；
当E(ξ1)>E(ξ2)时，25所以，当0当p=25时，两个项目都可以；
当25【考点】
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
【解析】
（1）根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，得到①甲地区比乙地区的新增人数的平均数低．②甲地区比乙地区的方差大．
(2)(i)求出ξ1的概率分布列，得到Eξ1＝1.2，由题意得ξ∼B(2, p)，求出ξ的概率分布列，再由由题意得下调次数ξ和利润ξ2的关系求出ξ2的概率分布列和Eξ2＝−0.5p2−0.3p+1.4．
(ii)当Eξ1Eξ2时，25【解答】
解：(1)甲地区比乙地区的新增人数的均值小；
甲地区比乙地区的方差大.
(2)(i)由题意得ξ1的概率分布列为：
所以E(ξ1)=1.38×16+1.17×13+1.16×12=1.2，
ξ2的概率分布列为：
所以E(ξ2)=1.4×(1−p)2+1.25×2p(1−p)+0.6p2
=−0.5p2−0.3p+1.4.
(ii)当E(ξ1)即5p2+3p−2<0，解得0当E(ξ1)=E(ξ2)时，p=25；
当E(ξ1)>E(ξ2)时，25所以，当0当p=25时，两个项目都可以；
当25【答案】
解：(1)因为fx=x2+xlna，x∈(0,1)，
所以f′x=lna+2x，x∈(0,1).
若0当x∈(0,1)时，f′x<0，函数fx单调递减；
若a≥1，lna≥0，当x∈(0,1)时，f′x>0，函数fx单调递增；
若e−2若0若−lna20，函数fx单调递增；
综上所述，当0当e−2函数fx在x∈−lna2,1单调递增；
当a≥1时，函数fx在x∈(0,1)单调递增．
(2)因为 aexlnx所以lnxx即ln(aex)aex>lnxx对任意x∈(0,1)恒成立.
设H(x)=lnxx，则 H′(x)=1−lnxx2，
所以，当x∈(0,1)时，H′(x)>0，函数H(x)单调递增.
当x∈(0,1)时，H(x)<0，
若aex≥1>x，则Haex≥0>H(x)；
若0Hx，
且Hx在0,1上单调递增，
所以aex>x.
综上可知，aex>x对任意x∈0,1恒成立，即a>xex对任意x∈0,1恒成立．
设G(x)=xex，x∈0,1，
则G′(x)=1−xex>0，
所以G(x)在0,1单调递增，
所以G(x)即a的取值范围为1e,+∞．
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
【解答】
解：(1)因为fx=x2+xlna，x∈(0,1)，
所以f′x=lna+2x，x∈(0,1).
若0当x∈(0,1)时，f′x<0，函数fx单调递减；
若a≥1，lna≥0，当x∈(0,1)时，f′x>0，函数fx单调递增；
若e−2若0若−lna20，函数fx单调递增；
综上所述，当0当e−2函数fx在x∈−lna2,1单调递增；
当a≥1时，函数fx在x∈(0,1)单调递增．
(2)因为 aexlnx所以lnxx即ln(aex)aex>lnxx对任意x∈(0,1)恒成立.
设H(x)=lnxx，则 H′(x)=1−lnxx2，
所以，当x∈(0,1)时，H′(x)>0，函数H(x)单调递增.
当x∈(0,1)时，H(x)<0，
若aex≥1>x，则Haex≥0>H(x)；
若0Hx，
且Hx在0,1上单调递增，
所以aex>x.
综上可知，aex>x对任意x∈0,1恒成立，即a>xex对任意x∈0,1恒成立．
设G(x)=xex，x∈0,1，
则G′(x)=1−xex>0，
所以G(x)在0,1单调递增，
所以G(x)即a的取值范围为1e,+∞．
1. 已知全集U=R，集合A=x|1≤x≤3，B=x|2
2. “x<1”是”x2+2x−3<0“的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3. 2020年初，我国向相关国家派出了由医疗专家组成的医疗小组．现有四个医疗小组和4个需要援助的国家，每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法有( )
A.64种B.48种C.24种D.12种
4. 算盘是中国传统的计算工具．其形长方，周为木框．内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五．梁下五珠．每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如．在十位档拔上一颗上珠和—颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65．若在个、十，百，千位档中随机选择—档拨上一颗下珠．再随机选择两个档位各拨一颗上珠，则所拨数字小于600的概率为（ ）
A.38B.524C.34D.724
5. 已知函数fx=3−x+1,x≤0,lgax+2,（x>0）,若f(f(−1))=6，那么实数a的值是( )
A.4B.2C.2D.22
6. (2x−1x)6的展开式中常数项为( )
A.−160B.160C.80D.−80
7. 已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( )
A.f(x)=1x2−1B.f(x)=ln|x|xC.f(x)=exxD.f(x)=x−1x
8. 如图．水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面CDD1C1上有一个小孔E，E点到CD的距离为3．若该正方体水槽绕CD倾斜（CD始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面CDD1C1与桌面所成角的正切值为（ ）
A.55B.12C.255D.2
二、多选题
随着2022年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长．下面是2012年至2018年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图．则下面结论中正确的是( )
A.2013年至2018年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年增加
B.2013年至2018年，中国雪场滑雪人次逐年增加
C.2013年与2018年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等
D.2012年到2018年，中国雪场滑雪人次增长率约为146.2%
从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）
A.2个球都是红球的概率为16
B.2个球中恰有1个红球的概率为12
C.至少有1个红球的概率为23
D.2个球不都是红球的概率为13
已知正实数x，y满足lg2x+lg12y<(12)x−(12)y，则下列结论正确的是( )
A.1x<1yB.x3
函数fx是定义域为R的奇函数，且f(x)=f(x+4),当x∈0,2时，fx=x,x∈0,1，2−x，x∈(1,2]， g(x)=f(x+1)．则下列四个判断正确的是( )
A.函数y=gx+fx的最小值为−1
B.函数y=gx+fx的图像关于x=2对称
C.对于任意的正整数n,i=1nf4in=0
D.对于任意的正整数n．存在k∈Rk≠1，使得i=1ngk4inf4in=0成立
三、填空题
设随机变量ξ服从正态分布N1,σ2．若Pξ<2=0.8，则P0<ξ<2=________.
函数y=x+1+x−2的值域为________.
候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙．研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v（单位：m/s）与其耗氧量Q之间的关系为v=a+lg2Q10（其中a是实数）．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为20个单位．若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，其耗氧量至少需要________个单位．
正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为BC,CC1的中点．则平面AEF截正方体所得的截面面积为________．以点E为球心．以104为半径的球面与对角面ACC1A1的交线长为________．
四、解答题
已知函数f(x)=x+ax−1(a为常数)，其中f(x)<0的解集为(−3,1).
(1)求实数a的值；
(2)设g(x)=x+f(x)，当x(x>1)为何值时，g(x)取得最小值，并求出其最小值.
已知正三棱柱ABC−A1B1C1的边长均为23，E，F分别是线段AC1和BB1的中点.
(1)求证：EF // 平面ABC；
(2)求三棱锥C−ABE的体积.
已知函数f(x)=a(x−1)+lnx(a∈R).
(1)当a=−1时，求f(x)的极值；
(2)设F(x)=f(x+1)，若F(x)<0对x∈[1,+∞)恒成立，求实数a的取值范围.
在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD．底面ABCD为直角梯形．BC // AD，∠ADC=90∘，BC=CD=12AD=1，E为线段AD的中点，过BE的平面与线段PD，PC分别交于点G，F．
(1)求证：GF⊥PA；
(2)若PA=PD=2，是否存在点G，使得直线PB与平面BEGF所成角的正弦值为105，若存在，请确定G点的位置，若不存在，请说明理由.
目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全国肆虐，在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，我国的“新冠肺炎”疫情在今年二月份已得到控制．甲、乙两个地区采取防护措施后，统计了从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数，绘制成如图折线图：
(1)根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，分别从均值与方差的角度比较甲乙两地新增确诊人数的统计结论(不用计算数据，给出判断即可)；
(2)治疗“新冠肺炎”药品的研发成了当务之急，某药企计划对甲地区的A项目或乙地区的B项目投入研发资金，经过评估，对于A项目，每投资十万元，一年后利润是1.38万元、1.17万元、1.16万元的概率分别为16，13，12；对于B项目，产品价格在一年内需进行2次独立的调整，每次价格调整中，产品价格下调的概率都是p(0
(ii)如果你是该企业投资决策者，将做出怎样的决策？请写出决策理由．
已知函数fx=x2+xlna(a>0)，x∈(0,1).
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若f(x)>aexlnx对∀x∈0,1恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省潍坊市高密市高三（上）10月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
利用补集的定义解得CUA，再利用交集的定义得解.
【解答】
解：由题设得∁UA={x|x<1或x>3}，
所以∁UA∩B=x|3
2.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
一元二次不等式的解法
【解析】
先完成二次不等式得解，然后根据充分必要条件的判定方法得解.
【解答】
解：由x2+2x−3<0，解得−3
故选B.
3.
【答案】
C
【考点】
排列、组合的应用
【解析】
利用4个医疗小组排列得解.
【解答】
解：由题设得4个医疗小组的每一个排列都对应着一种去不同国家的分配方案，
所以共有A44=24(种).
故选C.
4.
【答案】
D
【考点】
排列、组合的应用
古典概型及其概率计算公式
【解析】
依题意所拨数字共有n=C41C42=24.再分两种情况讨论数字小于600 的种数，利用古典概型的概率得解.
【解答】
解：在个、十、百位档中随机拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，
依题意所拨数字共有n=C41C42=24.
所拨数字小于600,上珠拨的是个位档或十位档C21C32=6；上珠拨的是百位档1，
所以所拨数字小于600的基本事件有6+1=7.
故所求概率为p=724.
故选D.
5.
【答案】
C
【考点】
分段函数的应用
【解析】
利用分段函数解得f(−1)=4,再利用指数对数的运算得解.
【解答】
解：由题设得f(−1)=3−(−1)+1=4，ff−1=f4=lga4+2=6，
即lga4=4，其中a>0且a≠1.
即a4=4=24，
解得a=2.
故选C.
6.
【答案】
A
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．
【解答】
解：二项式(2x−1x)6展开式的通项公式为Tr+1=C6r⋅26−r⋅(−1)r⋅x6−2r，
令6−2r=0，求得r=3，
可得二项式(2x−1x)6展开式中的常数项为C63⋅23⋅(−1)=−160，
故选A．
7.
【答案】
B
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
函数的图象
【解析】
根据函数图象的对称性的特点得到函数的奇偶性，结合函数解析式的特点分别进行判断即可．
【解答】
解：由图象知函数图象关于原点对称，则函数是奇函数，
A是偶函数，不满足条件，C是非奇非偶函数，不满足条件．
D，f(x)=x−1x在x>0上为增函数，不满足条件．
故选B.
8.
【答案】
D
【考点】
与二面角有关的立体几何综合题
【解析】
由水槽倾斜时，水槽内的水体积保持不变，而水槽内的水始终为柱体，可知倾斜后水槽内的水在平面BCC1B1内的面积保持不变，
于是由E点到CD的距离为3，可求出水面与BAA1B1的交线距离AB的距离为1，
设侧面CC1D1D与桌面所成角为α，则底面ABCD与桌面所成角为π2−α，
则由水面与桌面平行可知，E点到桌面的距离即为水面与BAA1B1的交线到桌面的距离，
从而有1+4tan(π2−α)=3，解之得tanα=2.
【解答】
解：由题意，当水槽倾斜时，水槽内的水体积保持不变，
因为水槽内的水始终为柱体，则倾斜后水槽内的水在平面BCC1B1内的面积保持不变，
于是由E点到CD的距离为3，可求出水面与BAA1B1的交线距离AB的距离为1，
设侧面CC1D1D与桌面所成角为α，则底面ABCD与桌面所成角为π2−α，
则由水面与桌面平行可知，E点到桌面的距离即为水面与BAA1B1的交线到桌面的距离，
从而有1+4tan(π2−α)=3，解之得tanα=2，
故选D.
二、多选题
【答案】
B,D
【考点】
频率分布直方图
【解析】
由图可知，2013年至2018年，中国雪场滑雪人次逐年增加，而滑雪人次的同比增长率在2013年至2015年逐年增加，2016年至2018年则逐年下降，故A选项错误，B选项正确；
虽然2013年与2018年相比，中国雪场滑雷人次的同比增长率近似相等，但由于滑雪人次逐年增加，所以2013年增长人数远低于2018年增长人数，故C错误；
计算可知，2012年至2018年，中国雪场滑雪人次增长率为1970−800800=11780≈146.2%，故D正确.
【解答】
解：由图可知，2013年至2018年，中国雪场滑雪人次逐年增加，
而滑雪人次的同比增长率在2013年至2015年逐年增加，
2016年至2018年则逐年下降，故A选项错误，B选项正确；
虽然2013年与2018年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，
但由于滑雪人次逐年增加，所以2013年增长人数远低于2018年增长人数，故C错误；
计算可知，2012年至2018年，中国雪场滑雪人次增长率为1970−800800=11780≈146.2%，
故D正确.
故选BD.
【答案】
A,B,C
【考点】
对立事件的概率公式及运用
相互独立事件的概率乘法公式
等可能事件的概率
【解析】
利用独立事件的概率计算可以判断A；结合互斥事件的概率公式可以判断BC;结合对立事件的概率公式可以判断D.
【解答】
解：由题意，从甲袋摸出一个红球的概率为13，从乙袋摸出一个红球的概率为12，
因为从甲袋摸出一个红球与从乙袋摸出一个红球相互独立，
所以从两袋各摸一个球，2个球都是红球的概率为13×12=16，故A正确；
2个球中恰有1个是红球的概率为13×12+23×12=16+13=12，故B正确；
至少有一个红球的概率为13×12+13×12+23×12=16+13=23，故C正确；
2个球不都是红球的概率为1−13×12=56，故D错误.
故选ABC.
【答案】
B,C
【考点】
指数式、对数式的综合比较
对数函数的图象与性质
不等式的基本性质
对数的运算性质
【解析】
由题意构造函数f(x)=(12)x−lg2x，利用单调性，确定x，y的大小关系，即可判断.
【解答】
解：由题意，lg2x+lg12y<(12)x−(12)y，
整理得lg2x−lg2y<(12)x−(12)y，
即(12)y−lg2y<(12)x−lg2x，
设f(x)=(12)x−lg2x，
则由指数函数与对数函数单调性可知：
函数f(x)=(12)x−lg2x在定义域上单调递减，
从而有y>x>0，于是由不等式的性质可知1x>1y，故A错误；
同样地，由不等式的性质可知x3
而当−1
故选BC.
【答案】
A,C,D
【考点】
函数的周期性
函数奇偶性的性质
【解析】
由f(x)是定义域为R的奇函数，周期为4，且g(x)=f(x+1)可知，g(x)也是定义域为R的奇函数，且周期为4，
于是可以求得当x∈[−2,−1)时，y=g(x)+f(x)=−1；当x∈[−1,0)时，y=g(x)+f(x)=0；当x∈[0,1)时，y=g(x)+f(x)=1；当x∈[1,2)时，y=g(x)+f(x)=0；
于是可知y=g(x)+f(x)的最小值为−1，但图像不关于x=2对称，故A正确，B错误；
对于任意正整数n，都有i=1nf(4in)=0，故C正确；
同样地，对于任意正整数n，存在k∈R，i=1ng(k4in)f(4in)=0.
【解答】
解：由题意，f(x)是定义域为R的奇函数，且周期为4，
则由g(x)=f(x+1)可知，g(x)周期为4，
于是可以求得当x∈[−2,−1)时，y=g(x)+f(x)=−1；
当x∈[−1,0)时，y=g(x)+f(x)=0；
当x∈[0,1)时，y=g(x)+f(x)=1；
当x∈[1,2)时，y=g(x)+f(x)=0.
于是可知y=g(x)+f(x)的最小值为−1，但图像不关于x=2对称，故A正确，B错误；
对于任意正整数n，都有i=1nf(4in)=0，故C正确；
同样地，对于任意正整数n，存在k∈R，i=1ng(k4in)f(4in)=0，故D正确.
故选ACD.
三、填空题
【答案】
0.6
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】
随机变量ξ服从正态分布N(1, σ2)，得到曲线关于x＝1对称，先求出P(1≤ξ≤2)＝0.3，再求出P(0<ξ<2)．
【解答】
解：由题意得，
P1<ξ<2=Pξ<2−Pξ<1=0.8−0.5=0.3,
则P0<ξ<2=2P1<ξ<2=0.6.
故答案为：0.6.
【答案】
[3,+∞)
【考点】
函数的值域及其求法
【解析】
根据绝对值内x的范围分段求范围，然后值域为各段的并集．
【解答】
解：由绝对值的几何意义,y为横轴上的点到−1与2间的距离和,故值域为[3,+∞).
故答案为：[3,+∞).
【答案】
80
【考点】
函数模型的选择与应用
对数及其运算
【解析】
利用对数运算，列出等式，直接计算即可.
【解答】
解：由题意，当静止时，速度为0，此时耗氧量为20,
所以0=a+lg22010，即a+1=0,
所以a=−1,即v=−1+lg2Q10，
所以−1+lg2Q10≥2，
所以Q≥80,
所以耗氧量至少需要80.
故答案为：80.
【答案】
98,23π
【考点】
组合几何体的面积、体积问题
球的性质
棱柱的结构特征
【解析】
作出完整截面,即可计算面积.
【解答】
解：连接FD1,AD1，如图所示，
易得AD1//BC1//EF,
平面AEF截正方体所得的截面即为等腰梯形AD1FE，
且AD1=2, EF=22,AE=D1F=52，梯形的高为ℎ=324，
所以S=12×22+2×324=98.
过点E向平面AA1CC1做垂线,垂足为M，M点即为截面小圆的圆心,
设小圆半径为r,交直线CC1为N,
因为球半径为104,所以r2+216=1042,
所以r=22,
因为MC=24，所以∠NMC=π3，
所以交线的长为2π3×22=2π3.
故答案为：98；2π3.
四、解答题
【答案】
解：(1)已知f(x)<0的解集为(−3,1)，
故f(x)=0的一个根为−3，
所以−a=−3，
得a=3．
(2)g(x)=x+f(x)=x+x+3x−1=x+x−1+4x−1=x−1+4x−1+2，
因为x>1，
所以x−1+4x−1≥2(x−1)4x−1=4，
当且仅当x−1=4x−1，即x=3时取等号，
所以当x=3时，g(x)取得最小值为6．
【考点】
分式不等式的解法
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)已知f(x)<0的解集为(−3,1)，
故f(x)=0的一个根为−3，
所以−a=−3，
得a=3．
(2)g(x)=x+f(x)=x+x+3x−1=x+x−1+4x−1=x−1+4x−1+2，
因为x>1，
所以x−1+4x−1≥2(x−1)4x−1=4，
当且仅当x−1=4x−1，即x=3时取等号，
所以当x=3时，g(x)取得最小值为6．
【答案】
(1)证明：取AC的中点为G，连结GE，GB
在△ACC1中，EG为中位线，所以EF//CC1，EG=12CC1.
又因为CC1//BB1，CC1=BB1，F为BB1的中点，
所以EG//BF，EG=BF，
所以EFBG为平行四边形，
所以EF//GB.
又EF⊄平面ABC，GB⊂平面ABC，
所以EF//平面ABC．
(2)解：因为VC−ABE=VE−ABC，
又因为E为AC1的中点，
所以E到底面ABC的距离是C1到底面ABC的距离的一半，
即三棱锥E−ABC的高ℎ=12CC1=3.
又△ABC的面积为S=34×232=33，
所以VC−ABE=VE−ABC=13Sℎ=13×33×3=3．
【考点】
直线与平面平行的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
(1)证明：取AC的中点为G，连结GE，
在△ACC1中，EG为中位线，所以EF//CC1，EG=12CC1.
又因为CC1//BB1，CC1=BB1，F为BB1的中点，
所以EG//BF，EG=BF，
所以EFBG为平行四边形，
所以EF//GB.
又EF⊄平面ABC，GB⊂平面ABC，
所以EF//平面ABC．
(2)解：因为VC−ABE=VE−ABC，
又因为E为AC1的中点，
所以E到底面ABC的距离是C1到底面ABC的距离的一半，
即三棱锥E−ABC的高ℎ=12CC1=3.
又△ABC的面积为S=34×232=33，
所以VC−ABE=VE−ABC=13Sℎ=13×33×3=3．
【答案】
解：(1)函数的定义域为(0,+∞)，
当a=−1时，f(x)=lnx−x+1，f′(x)=1x−1=1−xx，
所以y=f(x)在(0,1)上为增函数，在(1,+∞)上为减函数，
故当x=1时，f(x)取极大值f(1)=0，无极小值．
(2)原问题等价于−a>ln(x+1)x在x∈[1,+∞)上恒成立，
设g(x)=ln(x+1)x⇒g′(x)=x1+x−ln(x+1)x2，
设ℎ(x)=x1+x−ln(x+1)
⇒ℎ′(x)=1(1+x)2−11+x
=−x(1+x)2<0(x≥1)，
所以ℎ(x)是减函数，
所以ℎ(x)≤ℎ(1)=12−ln2<04>e⇒2>e12，
据此可得g′(x)<0恒成立，
所以g(x)是减函数，
g(x)max=g(1)=ln2，
所以−a>ln2，
所以a<−ln2．
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)函数的定义域为(0,+∞)，
当a=−1时，f(x)=lnx−x+1，f′(x)=1x−1=1−xx，
所以y=f(x)在(0,1)上为增函数，在(1,+∞)上为减函数，
故当x=1时，f(x)取极大值f(1)=0，无极小值．
(2)原问题等价于−a>ln(x+1)x在x∈[1,+∞)上恒成立，
设g(x)=ln(x+1)x⇒g′(x)=x1+x−ln(x+1)x2，
设ℎ(x)=x1+x−ln(x+1)
⇒ℎ′(x)=1(1+x)2−11+x
=−x(1+x)2<0(x≥1)，
所以ℎ(x)是减函数，
所以ℎ(x)≤ℎ(1)=12−ln2<04>e⇒2>e12，
据此可得g′(x)<0恒成立，
所以g(x)是减函数，
g(x)max=g(1)=ln2，
所以−a>ln2，
所以a<−ln2．
【答案】
(1)证明：因为BC=12AD，且E为线段AD的中点，
所以BC=DE.
又因为BC//AD，
所以四边形BCDE为平行四边形，
所以BE//CD.
又因为CD⊂平面PCD，BE⊄平面PCD，
所以BE//平面PCD.
又平面BEGF∩平面PCD=GF，
所以BE//GF.
又BE⊥AD，且平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以BE⊥平面PAD，
所以GF⊥平面PAD.
又PA⊂平面PAD，
所以GF⊥PA.
(2)因为PA=PD，E为线段AD的中点，
所以PE⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，
所以PE⊥平面ABCD.
以E为坐标原点，EA→的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系E−xyz：
则P(0,0,1)，B(0,1,0)，E(0,0,0)，D(−1,0,0)，
则PB→=(0,1,−1)，BE→=(0,−1,0)，DP→=(1,0,1)，
设DG→=λDP→，得G(λ−1,0,λ)，
所以EG→=(λ−1,0,λ)，设平面BEGF的法向量为n→=(x,y,z)，
则BE→⋅n→=0，EG→⋅n→=0，
即y=0，(λ−1)x+λz=0.
不妨令x=λ，可得n→=(λ,0,1−λ)为平面BEGF的一个法向量，
设直线PB与平面BEGF所成角为α，
于是有sinα=|cs⟨n→，PB→⟩|
=n→⋅PB→|n→|⋅|PB→|
=λ−12λ2+(λ−1)2
=105；
得λ=13或λ=−1（舍），
所以存在点G(−23,0,13)，使得直线PB与平面BEGF所成角的正弦值为105．
故G为DP的靠近D点的三等分点．
【考点】
用空间向量求直线与平面的夹角
两条直线垂直的判定
【解析】
(1)暂无．
(2)暂无．
【解答】
(1)证明：因为BC=12AD，且E为线段AD的中点，
所以BC=DE.
又因为BC//AD，
所以四边形BCDE为平行四边形，
所以BE//CD.
又因为CD⊂平面PCD，BE⊄平面PCD，
所以BE//平面PCD.
又平面BEGF∩平面PCD=GF，
所以BE//GF.
又BE⊥AD，且平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以BE⊥平面PAD，
所以GF⊥平面PAD.
又PA⊂平面PAD，
所以GF⊥PA.
(2)因为PA=PD，E为线段AD的中点，
所以PE⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，
所以PE⊥平面ABCD.
以E为坐标原点，EA→的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系E−xyz：
则P(0,0,1)，B(0,1,0)，E(0,0,0)，D(−1,0,0)，
则PB→=(0,1,−1)，BE→=(0,−1,0)，DP→=(1,0,1)，
设DG→=λDP→，得G(λ−1,0,λ)，
所以EG→=(λ−1,0,λ)，设平面BEGF的法向量为n→=(x,y,z)，
则BE→⋅n→=0，EG→⋅n→=0，
即y=0，(λ−1)x+λz=0.
不妨令x=λ，可得n→=(λ,0,1−λ)为平面BEGF的一个法向量，
设直线PB与平面BEGF所成角为α，
于是有sinα=|cs⟨n→，PB→⟩|
=n→⋅PB→|n→|⋅|PB→|
=λ−12λ2+(λ−1)2
=105；
得λ=13或λ=−1（舍），
所以存在点G(−23,0,13)，使得直线PB与平面BEGF所成角的正弦值为105．
故G为DP的靠近D点的三等分点．
【答案】
解：(1)甲地区比乙地区的新增人数的均值小；
甲地区比乙地区的方差大.
(2)(i)由题意得ξ1的概率分布列为：
所以E(ξ1)=1.38×16+1.17×13+1.16×12=1.2，
ξ2的概率分布列为：
所以E(ξ2)=1.4×(1−p)2+1.25×2p(1−p)+0.6p2
=−0.5p2−0.3p+1.4.
(ii)当E(ξ1)
当E(ξ1)>E(ξ2)时，25
当25
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
【解析】
（1）根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，得到①甲地区比乙地区的新增人数的平均数低．②甲地区比乙地区的方差大．
(2)(i)求出ξ1的概率分布列，得到Eξ1＝1.2，由题意得ξ∼B(2, p)，求出ξ的概率分布列，再由由题意得下调次数ξ和利润ξ2的关系求出ξ2的概率分布列和Eξ2＝−0.5p2−0.3p+1.4．
(ii)当Eξ1
解：(1)甲地区比乙地区的新增人数的均值小；
甲地区比乙地区的方差大.
(2)(i)由题意得ξ1的概率分布列为：
所以E(ξ1)=1.38×16+1.17×13+1.16×12=1.2，
ξ2的概率分布列为：
所以E(ξ2)=1.4×(1−p)2+1.25×2p(1−p)+0.6p2
=−0.5p2−0.3p+1.4.
(ii)当E(ξ1)
当E(ξ1)>E(ξ2)时，25
当25
解：(1)因为fx=x2+xlna，x∈(0,1)，
所以f′x=lna+2x，x∈(0,1).
若0
若a≥1，lna≥0，当x∈(0,1)时，f′x>0，函数fx单调递增；
若e−2
综上所述，当0
当a≥1时，函数fx在x∈(0,1)单调递增．
(2)因为 aexlnx
设H(x)=lnxx，则 H′(x)=1−lnxx2，
所以，当x∈(0,1)时，H′(x)>0，函数H(x)单调递增.
当x∈(0,1)时，H(x)<0，
若aex≥1>x，则Haex≥0>H(x)；
若0
且Hx在0,1上单调递增，
所以aex>x.
综上可知，aex>x对任意x∈0,1恒成立，即a>xex对任意x∈0,1恒成立．
设G(x)=xex，x∈0,1，
则G′(x)=1−xex>0，
所以G(x)在0,1单调递增，
所以G(x)
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
【解答】
解：(1)因为fx=x2+xlna，x∈(0,1)，
所以f′x=lna+2x，x∈(0,1).
若0
若a≥1，lna≥0，当x∈(0,1)时，f′x>0，函数fx单调递增；
若e−2
综上所述，当0
当a≥1时，函数fx在x∈(0,1)单调递增．
(2)因为 aexlnx
设H(x)=lnxx，则 H′(x)=1−lnxx2，
所以，当x∈(0,1)时，H′(x)>0，函数H(x)单调递增.
当x∈(0,1)时，H(x)<0，
若aex≥1>x，则Haex≥0>H(x)；
若0
且Hx在0,1上单调递增，
所以aex>x.
综上可知，aex>x对任意x∈0,1恒成立，即a>xex对任意x∈0,1恒成立．
设G(x)=xex，x∈0,1，
则G′(x)=1−xex>0，
所以G(x)在0,1单调递增，
所以G(x)
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