2019-2020学年天津市和平区益中学校八年级（下）开学数学试卷

这是一份2019-2020学年天津市和平区益中学校八年级（下）开学数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）已知四边形ABCD是平行四边形，则下列各图中∠1与∠2一定不相等的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形的四条边都相等
B．平行四边形的对角线相等
C．平行四边形的对角互补，邻角相等
D．平行四边形的对边平行且相等
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．有一组对角是直角的四边形一定是矩形
B．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．对角互补的平行四边形是矩形
4．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，如果EF∥AD，EF与GH相交于点O，那么图中的平行四边形一共有（ ）
A．4个B．5个C．8个D．9个
5．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠DAC＝∠ACB，则应增加的条件不能是（ ）
A．AD＝BCB．OA＝OC
C．AB＝CDD．∠ABC+∠BCD＝180°
6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，CD：DA＝2：3，△AOB的周长为13cm（ ）
A．6cmB．9cmC．3cmD．12cm
7．（3分）如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝125°（ ）
A．125°B．65°C．55°D．45°
8．（3分）平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O（如图），则图中全等三角形的对数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
9．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝3，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长是（ ）
A．6B．8C．9D．10
10．（3分）四边形ABCD中，从∠A，∠B，∠D的度数之比中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．1：2：3：4B．2：3：2：3C．2：2：3：3D．1：2：2：3
11．（3分）如图所示，平行四边形ABCD中，AB＝4，对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，且OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为（ ）
A．10B．12C．14D．16
12．（3分）平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若AC＝3，BD＝m，那么m的取值范围是（ ）
A．9＜m＜15B．2＜m＜14C．6＜m＜8D．4＜m＜20
13．（3分）在平行四边形ABCD中，∠B＝110°，延长AD至F，连接EF，则∠E+∠F＝（ ）
A．110°B．30°C．50°D．70°
14．（3分）如图，将平行四边形ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处（ ）
A．AF＝EFB．AB＝EFC．AE＝AFD．AF＝BE
15．（3分）如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD＝35°，则∠B的度数为何？（ ）
A．50°B．55°C．70°D．75°
16．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．8B．9C．10D．11
17．（3分）如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，得△BDC′，那么下列说法错误的是（ ）
A．AB＝C′DB．EB＝EDC．△EBA≌△EDC′D．∠ABE＝∠CBD
18．（3分）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点且AE＝CF；②BE∥DF；③AB＝DE；⑤S△ADE＝S△ABE；⑥AF＝CE这些结论中正确的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
19．（3分）如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，若AB＝2．则PE+PC的最小值为（ ）
A．B．C．D．
20．（3分）如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，O是AC的中点，AB＝，BC＝3，下列结论：①∠CAE＝30°；③S△ADC＝2S△ABE；④BO⊥CD，其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④
二、填空题
21．（3分）在平行四边形ABCD中，∠C＝∠B+∠D，则∠A＝ 度．
22．（3分）平行四边形ABCD中，AB、BC长分别为12和26，边AD与BC之间的距离为8 ．
23．（3分）平行四边形ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成5cm，7cm的两条线段，则平行四边形ABCD的周长是 cm．
24．（3分）已知平行四边形ABCD中，E是AB的中点，AB＝，DE＝4，则平行四边形AB边上的高＝ ．
25．（3分）如图，AB∥CD，AD∥BC，则与△BCE面积相等的三角形有 个．
26．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，若点E为BC上一动点，连接CF，G为线段CF中点．若点E从点B出发，则在此过程中，点G运动的路径长为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共40分）
27．如图，E、F分别为平行四边形ABCD的边BC、AD上的点，且∠1＝∠2．
求证：四边形AECF是平行四边形．
28．在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AB
（1）求证：EF＝BF；
（2）在上述条件下，若AC＝BD，G是BD上一点，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状
29．一个对角线相等的四边形ABCD，E、F分别为AB，CD的中点，AC于M，N，求证：△OMN是等腰三角形．
30．如图，在正方形ABCD中，E为CD的中点，且∠BAE＝∠AEF．
（1）求证：∠FAE＝45°；
（2）求的值．
31．如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），b满足|a+1|+（b﹣3）2＝0
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）如果在第三象限内有一点M（﹣2，m），请用含m的式子表示△ABM的面积；
（3）在（2）条件下，当m＝﹣1时，使得△ABM的面积与△BMP的面积相等，请求出点P的坐标．
2019-2020学年天津市和平区益中学校八年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）已知四边形ABCD是平行四边形，则下列各图中∠1与∠2一定不相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由对顶角的性质得出A正确；由平行四边形的性质得出B、D正确．
【解答】解：A正确；
∵∠1和∠2是对顶角，
∴∠5＝∠2；
B、D正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB∥CD，
∴∠1＝∠4；
C不正确；
故选：C．
2．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形的四条边都相等
B．平行四边形的对角线相等
C．平行四边形的对角互补，邻角相等
D．平行四边形的对边平行且相等
【分析】根据平行四边形的性质进行判断便可．
【解答】解：A．平行四边形的对边分别相等，选项A错误；
B．平行四边形的对角线互相平分，选项B错误；
C．平行四边形的邻角互补，选项C错误；
D．平行四边形的对边平行且相等；
故选：D．
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．有一组对角是直角的四边形一定是矩形
B．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．对角互补的平行四边形是矩形
【分析】由矩形的判定方法得出A、B、C不正确，D正确，即可得出结论．
【解答】解：∵有一组对角是直角的四边形不一定是矩形，
∴选项A不正确；∵有一组邻角是直角的四边形不一定是矩形，
∴选项B不正确；
∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴选项C不正确；
∵对角互补的平行四边形一定是矩形，
∴选项D正确；
故选：D．
4．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，如果EF∥AD，EF与GH相交于点O，那么图中的平行四边形一共有（ ）
A．4个B．5个C．8个D．9个
【分析】根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵AD∥EF，CD∥GH，
∴AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，
∴平行四边形有：▱ABCD，▱ABHG，▱BCFE，▱AGOE，▱OFCH．
即共有9个平行四边形，
故选：D．
5．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠DAC＝∠ACB，则应增加的条件不能是（ ）
A．AD＝BCB．OA＝OC
C．AB＝CDD．∠ABC+∠BCD＝180°
【分析】根据平行四边形的判定可判断A；根据平行四边形的判定定理判断B即可；根据等腰梯形的等腰可以判断C；根据平行线的判定可判断D．
【解答】解：∵∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥BC，
A、根据平行四边形的判定有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
B、可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判断平行四边形；
C、可能是等腰梯形，符合题意；
D、根据AD∥BC和∠ABC+∠BAD＝180°，不符合题意．
故选：C．
6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，CD：DA＝2：3，△AOB的周长为13cm（ ）
A．6cmB．9cmC．3cmD．12cm
【分析】根据平行四边形的性质，先求出AB的长，再根据所给比值，求出AD的长，进一步求解BC即可．
【解答】解：∵平行四边形ABCD
∴OA+OB＝（BD+AC）＝3cm
又∵△AOB的周长为13cm，
∴AB＝CD＝4cm，
又∵CD：DA＝2：6，
∴BC＝AD＝6cm
故选：A．
7．（3分）如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝125°（ ）
A．125°B．65°C．55°D．45°
【分析】根据平行四边形的性质可得∠BCD＝∠A，再根据补角定义即可得∠1的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A＝125°，
∴∠1＝180°﹣∠BCD＝55°．
故选：C．
8．（3分）平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O（如图），则图中全等三角形的对数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】平行四边形的性质是：对边相互平行且相等，对角线互相平分．这样不难得出：AD＝BC，AB＝CD，AO＝CO，DO＝BO，再利用“对顶角相等”就很容易找到全等的三角形：△ACD≌△CAB（SSS），△ABD≌△CDB（SSS），△AOD≌△COB（SAS），△AOB≌△COD（SAS）．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC；
∵OD＝OB，OA＝OC；
∴△AOD≌△COB（SAS）；①
同理可得出△AOB≌△COD（SAS）；②
∵BC＝AD，CD＝AB；
∴△ABD≌△CDB（SSS）；③
同理可得：△ACD≌△CAB（SSS）．④
因此本题共有4对全等三角形，故选：C．
9．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝3，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长是（ ）
A．6B．8C．9D．10
【分析】根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质可知，△CDE的周长＝CD+DE+CE＝CD+DE+AE＝CD+AD＝AB+BC＝3+5＝8．
【解答】解：根据垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等知，EC＝AE；
根据在平行四边形ABCD中有BC＝AD，AB＝CD，
∴△CDE的周长等于CD+DE+CE＝CD+DE+AE＝CD+AD＝AB+BC＝3+5＝7．
故选：B．
10．（3分）四边形ABCD中，从∠A，∠B，∠D的度数之比中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．1：2：3：4B．2：3：2：3C．2：2：3：3D．1：2：2：3
【分析】由于平行四边形的两组对角分别相等，故只有B能判定是平行四边形．其它三个选项不能满足两组对角相等，故不能判定．
【解答】解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知B正确．
故选：B．
11．（3分）如图所示，平行四边形ABCD中，AB＝4，对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，且OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为（ ）
A．10B．12C．14D．16
【分析】根据平行四边形的对边相等得：CD＝AB＝4，AD＝BC＝5．再根据平行四边形的性质和对顶角相等可以证明：△AOE≌△COF．根据全等三角形的性质，得：OF＝OE＝1.5，CF＝AE，故四边形EFCD的周长为CD+EF+AD＝12．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝5，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，
∴△AOE≌△COF（AAS）．
∴OF＝OE＝2.5，CF＝AE．
故四边形EFCD的周长为CD+EF+AD＝12．
故选：B．
12．（3分）平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若AC＝3，BD＝m，那么m的取值范围是（ ）
A．9＜m＜15B．2＜m＜14C．6＜m＜8D．4＜m＜20
【分析】根据平行四边形的性质和三角形三边的关系即可得m的取值范围．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC＝4.5BD＝m，
∵AB﹣OA＜OB＜AB+OA，
∴2﹣1.5＜OB＜5+1.5，
∴5.5＜OB＜7.6，
∴9＜BD＜15，
∴m的取值范围是9＜m＜15．
故选：A．
13．（3分）在平行四边形ABCD中，∠B＝110°，延长AD至F，连接EF，则∠E+∠F＝（ ）
A．110°B．30°C．50°D．70°
【分析】要求∠E+∠F，只需求∠ADE，而∠ADE＝∠A与∠B互补，所以可以求出∠A，进而求解问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠ADE＝180°﹣∠B＝70°
∵∠E+∠F＝∠ADE
∴∠E+∠F＝70°
故选：D．
14．（3分）如图，将平行四边形ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处（ ）
A．AF＝EFB．AB＝EFC．AE＝AFD．AF＝BE
【分析】根据平行四边形的性质及折叠变换进行推理，可知A、B、D均成立，只有C不成立．
【解答】解：∵平行四边形ABCD沿AE翻折
∴△ABE≌△AFE，
∴AB＝AF，BE＝EF，∠AEB＝∠AEF，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EAF，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴AF＝EF，
∴AF＝BE
∴四边形ABEF为平行四边形，
∴AB＝EF＝AF＝BE，
∴以上结论中只有C不成立．
故选：C．
15．（3分）如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD＝35°，则∠B的度数为何？（ ）
A．50°B．55°C．70°D．75°
【分析】由平角的定义求出∠CED的度数，由三角形内角和定理求出∠D的度数，再由平行四边形的对角相等即可得出结果．
【解答】解：∵四边形CEFG是正方形，
∴∠CEF＝90°，
∵∠CED＝180°﹣∠AEF﹣∠CEF＝180°﹣15°﹣90°＝75°，
∴∠D＝180°﹣∠CED﹣∠ECD＝180°﹣75°﹣35°＝70°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B＝∠D＝70°（平行四边形对角相等）．
故选：C．
16．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，AC＝6，则BD的长是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长．
【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO＝DO，AO＝CO，
∵AB⊥AC，AB＝4，
∴∠BAO＝90°，OA＝3
∴BO＝＝5，
∴BD＝2BO＝10，
故选：C．
17．（3分）如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，得△BDC′，那么下列说法错误的是（ ）
A．AB＝C′DB．EB＝EDC．△EBA≌△EDC′D．∠ABE＝∠CBD
【分析】根据图形的翻折可得CD＝C'D，又AB＝CD，即AB＝C'D，根据AAS可证△EBA≌△EDC'，即EB＝ED，因此只有D不能得证，故选D．
【解答】解：根据图形的翻折可得CD＝C'D，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，
∴AB＝C'D，
故A选项成立，
在△EBA和△EDC'中，
，
∴△EBA≌△EDC'（AAS），
故C选项成立，
由△EBA≌△EDC'，
得EB＝ED，
故B选项成立，
综上，只有D选项不能证明，
故选：D．
18．（3分）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点且AE＝CF；②BE∥DF；③AB＝DE；⑤S△ADE＝S△ABE；⑥AF＝CE这些结论中正确的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据平行四边形的判定及性质及全等三角形的判定及性质对各个选项进行分析，从而判断各个结论的正确性．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠BAE＝∠DCF，
AB＝CD（故③不正确），
∵AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF（故①正确），
同理：DE＝BF，
∴四边形EBFD为平行四边形，
∴BE∥DF（故②正确），
∵AB＝CD，AD＝BC，
∴△ABC≌△CDA，
∴两三角形AC边上的高的相等，
∵△ABE，△ADE分别是△ABC与△CDA中的小三角形，
∴S△ADE＝S△ABE（故⑤正确），
∵AE＝CF，
∴AF＝CE（故⑥正确），
∴正确的有：①②④⑤⑥共5项．
故选：C．
19．（3分）如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，若AB＝2．则PE+PC的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】作点C关于AB的对称点Q，连接EQ交AB于P，则，得到PE+PC的最小值＝EQ，过E作EF⊥BC于F，根据矩形的性质得到EF＝1B＝2，BF＝AE＝AD＝1，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：作点C关于AB的对称点Q，连接EQ交AB于P，
则此时，PE+PC的值最小，
过E作EF⊥BC于F，
则四边形ABFE是矩形，
∴EF＝1B＝2，BF＝AE＝，
∴QF＝3，
∴EQ＝＝＝，
故选：D．
20．（3分）如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，O是AC的中点，AB＝，BC＝3，下列结论：①∠CAE＝30°；③S△ADC＝2S△ABE；④BO⊥CD，其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④
【分析】根据梯形的性质和直角三角形中的边角关系，逐个进行验证，即可得出结论．
【解答】解：在直角三角形ABC中，∵AB＝，
∴tan∠ACB＝．
∴∠ACB＝30°．
∴∠BAC＝60°，AC＝2AB＝2
∵AD∥BC，AE∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∴CE＝AD＝2．
∴BE＝1．
在直角三角形ABE中，tan∠BAE＝．
∴∠CAE＝30°．①是正确的
∴AE＝2BE＝8．
∵AE＝CE，
∴平行四边形ADCE是菱形．
∴∠DCE＝∠DAE＝60°．
∴∠BAE＝30°
又∵∠CAE＝30°
∴∠BAO＝60°
又∵AB＝AO
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO＝60°．
∴∠OBE＝30°．
∴∠OBC+∠DCE＝90°，
∴BO⊥CD．④是正确的．
∵AD∥BC，AD＝2BE．
∴S△ADC＝2S△ABE，③是正确的．
∴①②③④都是正确的，故选D．
二、填空题
21．（3分）在平行四边形ABCD中，∠C＝∠B+∠D，则∠A＝ 120 度．
【分析】根据平行四边形的对边平行，对角相等，可得AD∥BC，∠B＝∠D，∠A＝∠C，易得∠C＝2∠D，∠C+∠D＝180°，解方程组即可求得．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B＝∠D，
∴∠C＝∠B+∠D＝2∠D，∠C+∠D＝180°，
∴∠A＝∠C＝120°，
故答案为：120．
22．（3分）平行四边形ABCD中，AB、BC长分别为12和26，边AD与BC之间的距离为8 ．
【分析】根据平行四边形的面积＝AE×BC＝CD×AF，即可求出AB与CD之间的距离．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E．
由题意得，S四边形ABCD＝AE×BC＝CD×AF，
∵AB＝12，BC＝26，
∴26×8＝12×AF，
∴AF＝，
即AB与CD间的距离为．
故答案是：．
23．（3分）平行四边形ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成5cm，7cm的两条线段，则平行四边形ABCD的周长是 34或38 cm．
【分析】此题注意要分情况讨论：根据角平分线的定义以及平行线的性质，可以发现一个等腰三角形，进而得到平行四边形的周长．
【解答】解：如图所示：
在平行四边形ABCD中，AB＝CD，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
①当AE＝5cm时，平行四边形的周长＝2（5+12）＝34（cm）；
②当AE＝7cm时，平行四边形的周长＝2（5+12）＝38（cm）；
若点E在CD边上，同理可得▱ABCD的周长为34cm或38cm．
综上所述，▱ABCD的周长为34cm或38cm．
故答案为：34或38．
24．（3分）已知平行四边形ABCD中，E是AB的中点，AB＝，DE＝4，则平行四边形AB边上的高＝ ．
【分析】根据题意画出图形，设AC与DE相交于点O，根据平行四边形的性质可得AE∥CD，△AOE∽△COD，相似比为1：2，根据AC＝3，DE＝4，可得OA＝1，OE＝，根据勾股定理逆定理可得△AOE是直角三角形，从而可得△ADC的面积，由平行四边形ABCD的面积等于△ADC的面积的2倍，可得平行四边形的面积，进而可得平行四边形AB边上的高．
【解答】解：如图，设AC与DE相交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CD，
∴△AOE∽△COD，
∵E是AB的中点，
∴相似比为1：2，
∴＝＝，
∵AC＝3，DE＝4，
∴OA＝1，OE＝，
∵AE＝AB＝＝，
∴OA2+OE6＝AE2，
∴∠AOE＝90°，
∴AC⊥DE，
∵OD＝4﹣＝，
∴S△ADC＝AC•OD＝8，
∴S平行四边形ABCD＝2S△ADC＝8，
∵AB＝，
∴平行四边形AB边上的高＝8÷＝．
故答案为：．
25．（3分）如图，AB∥CD，AD∥BC，则与△BCE面积相等的三角形有 3 个．
【分析】根据同底等高的三角形面积相等即可判断．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△ACE与△BCE的面积相等，
∵EF∥AC，
∴△ACE与△ACF的面积相等，
∵AD∥BC，
∴△ABF与△ACF的面积相等，
∴△BCE面积相等的三角形有△ACE、△ACF，
故答案为3．
26．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，若点E为BC上一动点，连接CF，G为线段CF中点．若点E从点B出发，则在此过程中，点G运动的路径长为 ．
【分析】延长AB至点D，使BD＝AB，连接DE，证明△ADE≌△ACF可得AF＝AE，CF＝DE，所以AF＝CF，得点F在AC的垂直平分线上，作FH⊥AC于点H，GI⊥AC于点I，点G的运动路线为射线IG，当点E运动到点C时，停止运动，根据含30度角的直角三角形即可求出结果．
【解答】解：如图，延长AB至点D，连接DE，
则AD＝2AB＝AC，AE＝DE，
∵∠1＝60°﹣∠CAE＝∠8，AE＝AF，
在△ADE和△ACF中，
，
∴△ADE≌△ACF（SAS），
∴AF＝AE，CF＝DE，
∴AF＝CF，
∴点F在AC的垂直平分线上．
作FH⊥AC于点H，GI⊥AC于点I，
则GI＝FH，
∴点G的运动路线为射线IG，
当点E运动到点C时，停止运动，
在图2中，AF＝AE＝AC＝6AB＝2，
∴FH＝，GI＝．
∴点G的运动路径长为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共5小题，共40分）
27．如图，E、F分别为平行四边形ABCD的边BC、AD上的点，且∠1＝∠2．
求证：四边形AECF是平行四边形．
【分析】只要证明AE∥FC即可解决问题；
【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠1＝∠EAF，
∵∠1＝∠8，
∴∠EAF＝∠2，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
28．在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AB
（1）求证：EF＝BF；
（2）在上述条件下，若AC＝BD，G是BD上一点，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状
【分析】（1）根据平行四边形性质推出BD＝2BO，推出AB＝BO，根据三线合一定理得出BE⊥AC，在△BEC中，根据直角三角形斜边上中线性质求出EF＝BF＝CF即可；
（2）根据矩形性质和已知求出G为OD中点，根据三角形中位线求出EG∥AD，EG＝BC，求出EG∥BC，EG＝BC，求出BF＝EG，BF∥EG，EG＝GF，得出平行四边形，根据菱形的判定推出即可．
【解答】（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD＝2BO，
∵BD＝2AB，
∴AB＝BO，
∵E为OA中点，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∵F为BC中点，
∴EF＝BF＝CF，
即EF＝BF；
（2）四边形EBFG是菱形，
证明：连接CG，
∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD，BD＝3BO＝2OD，
∴BD＝2AB＝5CD，
∴OC＝CD，
∵BG：GD＝3：1，OB＝OD，
∴G为OD中点，
∴CG⊥OD（三线合一定理），
即∠CGB＝90°，
∵F为BC中点，
∴GF＝BC＝，
∵E为OA中点，G为OD中点，
∴EG∥AD，EG＝，
∴EG∥BC，EG＝，
∵F为BC中点，
∴BF＝BC，
即EG∥BF，EG＝BF，
∴四边形EBFG是平行四边形，
∵EG＝GF，
∴平行四边形EBFG是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．
29．一个对角线相等的四边形ABCD，E、F分别为AB，CD的中点，AC于M，N，求证：△OMN是等腰三角形．
【分析】取AD的中点Q，连接EQ、FQ，根据三角形中位线定理得到EQ∥AC，EQ＝BD，FQ＝AC，FQ∥AC，根据平行线的性质、等腰三角形的性质和判定定理证明即可．
【解答】证明：取AD的中点Q，连接EQ，
∵E，F、Q分别为AB、AD的中点，
∴EQ∥BD，EQ＝，FQ＝，FQ∥AC，
∴∠QEF＝∠OMN，∠QFE＝∠ONM，
∵AC＝BD，
∴QE＝QF，
∴∠QEF＝∠QFE，
∴∠OMN＝∠ONM，
∴OM＝ON，即△OMN是等腰三角形．
30．如图，在正方形ABCD中，E为CD的中点，且∠BAE＝∠AEF．
（1）求证：∠FAE＝45°；
（2）求的值．
【分析】（1）过点A作AH⊥EF于点H，根据正方形的性质证明△ADE≌△AHE，Rt△ABF≌Rt△AHF，进而可得结论；
（2）设正方形ABCD的边长为2a，BF＝x，CE＝DE＝CD＝a，CF＝BC﹣BF＝2a﹣x，结合（1），根据勾股定理即可得BF＝x＝a，CF＝2a﹣x＝a，进而可得结论．
【解答】（1）证明：如图，过点A作AH⊥EF于点H，
∴∠AHE＝∠AHF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠BAD＝∠D＝∠C＝90°，AB＝AD，
∴∠BAE＝∠AED，
∵∠BAE＝∠AEF．
∴∠AED＝∠AEF．
在△ADE和△AHE中，
，
∴△ADE≌△AHE（AAS），
∴AD＝AH，∠1＝∠2，
在Rt△ABF和Rt△AHF中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△AHF（HL），
∴∠2＝∠4，
∴∠FAE＝∠2+∠3＝DAH+∠DAB＝45°；
（2）解：设正方形ABCD的边长为2a，BF＝x，
∴CE＝DE＝CD＝a，
由（1）知：△ADE≌△AHE，Rt△ABF≌Rt△AHF，
∴HE＝DE，HF＝BF，
∴EF＝HE+HF＝DE+BF＝a+x，
在Rt△CEF中，根据勾股定理，得
CE2+CF2＝EF7，
∴a2+（2a﹣x）4＝（a+x）2，
解得x＝a，
∴BF＝x＝a，CF＝6a﹣x＝a，
∴＝＝．
31．如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），b满足|a+1|+（b﹣3）2＝0
（1）填空：a＝ ﹣1 ，b＝ 3 ；
（2）如果在第三象限内有一点M（﹣2，m），请用含m的式子表示△ABM的面积；
（3）在（2）条件下，当m＝﹣1时，使得△ABM的面积与△BMP的面积相等，请求出点P的坐标．
【分析】（1）根据已知等式得出a+1＝0，b﹣3＝0，求出即可；
（2）根据三角形面积公式求出即可；
（3）P点可以在y轴的负半轴上，也可以在y轴的正半轴上，根据面积公式求出即可．
【解答】解：（1）∵a、b满足|a+1|+（b﹣3）7＝0，
∴a+1＝6，b﹣3＝0，
∴a＝﹣5，b＝3，
故答案为：﹣1，8；
（2）如图1，过M作ME⊥x轴于E，
∵A（﹣1，3），0），
∴AB＝4，
∵在第三象限内有一点M（﹣8，m），
∴ME＝|m|＝﹣m，
∴S△ABC＝AB•ME＝；
（3）设BM交y轴于F，
设P点的坐标为（0，y），
设直线BM的解析式是y＝kx+b，
把B（5，0）和M（﹣2，
解得：，
∴直线BM的解析式是y＝x﹣，
当x＝8时，y＝﹣，
∴点F的坐标为（7，﹣），
①当P在y轴的负半轴上时，且此时点P不能在线段OF上）
此时y＜﹣，
∵△BMP的面积与△ABM的面积相等，
∴×（﹣（3+8）×1，
解得：y＝﹣，此时点P的坐标为（0，﹣）；
②当P在y轴的正半轴上时，如图3所示：
∵△BMP的面积与△ABM的面积相等，
∴×[y﹣（﹣（3+4）×1，
解得：y＝，此时P点的坐标为（0，）；
综合上述：P点的坐标为（0，﹣）或（0，）．