2021年高考理科数学一轮复习：专题1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 题型全归纳与高效训练突破

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TOC \ "1-3" \h \u 一、题型全归纳1
题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断1
题型二 全称命题与特称命题3
题型三 由命题的真假确定参数的取值范围4
二、高效训练突破5
一、题型全归纳
题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
【题型要点】判断含有逻辑联结词命题真假的步骤
【例1】(2020·惠州调研)已知命题p，q，则“﹁p为假命题”是“p∧q是真命题”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B.
【解析】：充分性：若﹁p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命题．必要性：p∧q是真命题，则p，q均为真命题，则﹁p为假命题．所以“﹁p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件．
【例2】已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2，q4：p1∧(¬p2)中，真命题是( )
A．q1，q3 B．q2，q3
C．q1，q4 D．q2，q4
【答案】 C
【解析】 因为y＝2x在R上为增函数，y＝－2－x＝－在R上为增函数，故p1是真命题．y＝2x＋2－x在R上为减函数是错误的，故p2是假命题．所以q1：p1∨p2是真命题，因此排除B项和D项，q2：p1∧p2是假命题，q3：(¬p1)∨p2是假命题，排除A项．故选C．
【例3】(2019·高考全国卷Ⅲ)记不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y≥6，,2x－y≥0))表示的平面区域为D.命题p：∃(x，y)∈D，2x＋y≥9；命题q：∀(x，y)∈D，2x＋y≤12.下面给出了四个命题
①p∨q ②﹁p∨q ③p∧﹁q ④﹁p∧﹁q
这四个命题中，所有真命题的编号是( )
A．①③ B．①②
C．②③ D．③④
【答案】A.
【解析】：解法一：作出不等式组表示的平面区域D如图中阴影部分所示
直线2x＋y＝9和直线2x＋y＝12均穿过了平面区域D，不等式2x＋y≥9表示的区域为直线2x＋y＝9及其右上方的区域，所以命题p正确；不等式2x＋y≤12表示的区域为直线2x＋y＝12及其左下方的区域，所以命题q不正确．所以命题p∨q和p∧﹁q正确．故选A.
解法二：在不等式组表示的平面区域D内取点(7，0)，点(7，0)满足不等式2x＋y≥9，所以命题p正确；点(7，0)不满足不等式2x＋y≤12，所以命题q不正确．所以命题p∨q和p∧﹁q正确．故选A.
题型二 全称命题与特称命题
【题型要点】
1.全称命题与特称命题的否定
①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；
②否定结论：对原命题的结论进行否定．
2.全称命题与特称命题真假的判断方法
【例1】(2020·西安模拟)命题“∀x＞0，eq \f(x,x－1)＞0”的否定是( )
A．∃x＜0，eq \f(x,x－1)≤0 B．∃x＞0，0≤x≤1
C．∀x＞0，eq \f(x,x－1)≤0 D．∀x＜0，0≤x≤1
【答案】D
【解析】因为eq \f(x,x－1)＞0，所以x＜0或x＞1，所以eq \f(x,x－1)＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是∃x＞0，0≤x≤1，故选B.
【例2】 (2020·河南八所重点高中第二次联考)已知集合A是奇函数集，B是偶函数集．若命题p：∀f(x)∈A，|f(x)|∈B，则﹁p为( )
A．∀f(x)∈A，|f(x)|∉B B．∀f(x)∉A，|f(x)|∉B
C．∃f(x)∈A，|f(x)|∉B D．∃f(x)∉A，|f(x)|∉B
【答案】C.
【解析】：全称命题的否定为特称命题，一是要改写量词，二是要否定结论，所以由命题p：∀f(x)∈A，|f(x)|∈B，得﹁p为∃f(x)∈A，|f(x)|∉B，故选C.
题型三 由命题的真假确定参数的取值范围
【题型要点】根据命题的真假求参数取值范围的解题策略
(1)含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)简单命题的真假，求出此时命题成立的参数的取值范围，再求出含逻辑联结词的命题成立的参数的取值范围．
(2)与全称命题或特称命题真假有关的参数的值或范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．
【例1】已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】 当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝eq \f(1,4)－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥eq \f(1,4)－m，所以m≥eq \f(1,4).故选A．
【例2】(2020·开封一模)已知p：存在x0∈R，mxeq \\al(2,0)＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p或q为假命题，则实数m的取值范围为__________．
【答案】[2，＋∞)
【解析】 依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则有Δ＝m2－4＜0，－2＜m＜2.因此由p，q均为假命题得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≥0，,m≤－2或m≥2，))即m≥2.
所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．
【例3】(2020·安徽江淮十校第三次联考)若命题“∀x∈，1＋tan x≤m”的否定是假命题，则实数m的取值范围是________．
【答案】：[1＋eq \r(3)，＋∞)
【解析】：根据题意得不等式1＋tan x≤m，∀x∈恒成立，因为y＝1＋tan x在x∈上为增函数，所以(1＋tan x)max＝1＋tan eq \f(π,3)＝1＋eq \r(3)，则有m≥1＋eq \r(3)，即实数m的取值范围是[1＋eq \r(3)，＋∞)．
二、高效训练突破
一、选择题
1.(2020·北京朝阳期中)已知命题p：∀x∈R,2x＞0；命题q：在曲线y＝cs x上存在斜率为eq \r(2)的切线，则下列判断正确的是( )
A．p是假命题 B．q是真命题
C．p∧(¬q)是真命题 D．(¬p)∧q是真命题
【答案】C
【解析】 易知命题p是真命题，对于命题q，y′＝－sin x，设切点坐标为(x0，cs x0)，则切线斜率k＝－sin x0≠eq \r(2)，即不存在x0∈R，使得－sin x0＝eq \r(2)，所以命题q为假命题，所以¬q为真命题，所以p∧(¬q)是真命题，故C项正确．
2．(2020·忻州二中期末)已知命题p：x＞2是x2＞4的充要条件，命题q：若eq \f(a,c2)＞eq \f(b,c2)，则a＞b，那么( )
A．“p∨q”为真 B．“p∧q”为真
C．p真q假 D．p，q均为假
【答案】A
【解析】 由已知得命题p是假命题，命题q是真命题，根据真值表可知A项正确．
3.(2020·太原模拟)已知命题p：∃x0∈R，ex0－mx0＝0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨(¬q)为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．[0,2]
C．R D．∅
【答案】B
【解析】 若p∨(¬q)为假命题，则p假q真．命题p为假命题时，有0≤m＜e；命题q为真命题时，有Δ＝m2－4≤0，即－2≤m≤2.所以当p∨(¬q)为假命题时，m的取值范围是0≤m≤2.
4．(2020·安徽蚌埠第一次教学质量检查)命题p：存在常数列不是等比数列，则命题﹁p为( )
A．任意常数列不是等比数列 B．存在常数列是等比数列
C．任意常数列都是等比数列 D．不存在常数列是等比数列
【答案】C.
【解析】：因为特称命题的否定是全称命题，命题p：存在常数列不是等比数列的否定命题﹁p：任意常数列都是等比数列，故选C.
5.(2020·河北唐山第一次模拟)已知命题p：f(x)＝x3－ax的图象关于原点对称；命题q：g(x)＝xcs x的图象关于y轴对称．则下列命题为真命题的是( )
A．﹁p B．q
C．p∧q D．p∧(﹁q)
【答案】D.
【解析】：对于f(x)＝x3－ax，有f(－x)＝(－x)3－a(－x)＝－(x3－ax)＝－f(x)，为奇函数，其图象关于原点对称，所以p为真命题；对于g(x)＝xcs x，有g(－x)＝(－x)cs(－x)＝－xcs x＝－g(x)，为奇函数，其图象关于原点对称，所以q为假命题，则﹁p为假命题，p∧q为假命题，p∧(﹁q)为真命题，故选D.
6.(2020·惠州第一次调研)设命题p：若定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则∀x∈R，f(－x)≠f(x)．命题q：f(x)＝x|x|在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．则下列判断错误的是( )
A．p为假命题 B．﹁q为真命题
C．p∨q为真命题 D．p∧q为假命题
【答案】C.
【解析】：函数f(x)不是偶函数，仍然有∃x，使得f(－x)＝f(x)，p为假命题；f(x)＝x|x|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2（x≥0），,－x2（x＜0）))在R上是增函数，q为假命题．所以p∨q为假命题，故选C.
7.已知命题p：方程x2－2ax－1＝0有两个实数根；命题q：函数f(x)＝x＋eq \f(4,x)的最小值为4.给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧(﹁q)；④(﹁p)∨(﹁q)，则其中真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C.
【解析】：由于Δ＝4a2＋4＞0，所以方程x2－2ax－1＝0有两个实数根，即命题p是真命题；当x＜0时，f(x)＝x＋eq \f(4,x)的值为负值，故命题q为假命题．所以p∨q，p∧(﹁q)，(﹁p)∨(﹁q)是真命题，故选C.
8.下列说法错误的是( )
A．命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”
B．若命题p：存在x0∈R，xeq \\al(2,0)＋x0＋10，ex>x＋1，命题q：∃x∈(0，＋∞)，ln x≥x，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．(﹁p)∧q
C．p∧(﹁q) D．(﹁p)∧(﹁q)
【答案】C.
【解析】：令f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，当x>0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)>f(0)＝0，所以ex>x＋1，命题p为真命题；
令g(x)＝ln x－x，x>0，则g′(x)＝eq \f(1,x)－1＝eq \f(1－x,x)，x∈(0，1)时，g′(x)>0；x∈(1，＋∞)时，g′(x)2成立的必要不充分条件，即q是假命题，则“‘p∨q’为真、‘p∧q’为假、‘﹁q’为真”，故B满足题意．
C．当xx＋1”，则命题p可写为____________________．
【答案】：∃x0∈(0，＋∞)，eq \r(x0)≤x0＋1
【解析】：因为p是﹁p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可．
3.已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“﹁q”同时为假命题，则x＝________．
【答案】：－2
【解析】：若p为真，则x≥－1或x≤－3，
因为“﹁q”为假，则q为真，即x∈Z，
又因为“p∧q”为假，所以p为假，故－30，,1＋m≥5，,1－m≤－1，))解得m≥4.故实数m的取值范围为[4，＋∞)．
(2)根据条件可知p，q一真一假．
当p真q假时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤5，,x>6或x5或x