2018年郑州市外国语中学中考三模数学试卷

这是一份2018年郑州市外国语中学中考三模数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 9 的平方根是
A. 3B. ±3C. 3D. ±3

2. 2018 年 4 月 16 日，美国商务部宣布立即重启对中兴通讯的制载禁令，中兴通讯将被禁止以任何形式从美国进口商品．这意味着中兴通讯在 2017 年 3 月认罪并签署的和解协议宣告失败，已缴纳的 8.92 亿美元仍不足以息事宁人，对于严重依赖从美国进口芯片等元器件的中兴通讯来说，无疑是一场灾难，8.92 亿用科学记数法应该表示为
A. 8.92×109B. 8.92×108C. 8.92×107D. 89.2×108

3. 如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为
A. B.
C. D.

4. 下列计算正确的是
A. a3+a3=a6B. x−32=x2−9
C. a3⋅a3=a6D. 2+3=5

5. 一名射击运动员连续打靶 8 次，命中的环数如图所示，这组数据的众数与中位数分别为
A. 9 与 8B. 8 与 9C. 8 与 8.5D. 8.5 与 9

6. 若关于 x 的方程 kx2+2x−1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是
A. k>−1B. k<−1
C. k≥−1 且 k≠0D. k>−1 且 k≠0

7. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，则下列条件中不能判定四边形 ABCD 为矩形的是
A. AB=ADB. OA=OBC. AC=BDD. DC⊥BC

8. 阿信、小怡两人打算搭乘同一班次电车上学，若此班次电车共有 5 节车厢，且阿信从任意一节车厢上车的机会相等，小怡从任意一节车厢上车的机会相等，则两人从同一节车厢上车的概率为
A. 12B. 15C. 110D. 125

9. 如图，在已知的 △ABC 中，按以下步骤作图：
①分别以点 B，C 为圆心，以大于 12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M，N；
②作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD，若 CD=AD，∠B=20∘，
则下列结论中错误的是
A. ∠CAD=40∘B. ∠ACD=70∘
C. 点 D 为 △ABC 的外心D. ∠ACB=90∘

10. 在 Rt△ABC 中，D 为斜边 AB 的中点，∠B=60∘，BC=2 cm，动点 E 从点 A 出发沿 AB 向点 B 运动，动点 F 从点 D 出发，沿折线 D−C−B 运动，两点的速度均为 1 cm/s，到达终点均停止运动，设 AE 的长为 x cm，△AEF 的面积为 y cm2，则 y 与 x 的图象大致为
A. B.
C. D.

二、填空题（共5小题；共25分）
11. 若 x=2−1，则 x2+2x+1= ．

12. 已知反比例函数 y=m−2x，当 x>0 时，y 随 x 增大而减小，则 m 的取值范围是 ．

13. 不等式组 3x−5>1,5x−a≤12 有 2 个整数解，则实数 a 的取值范围是 ．

14. 如图，AB 为半圆 O 的直径，以 AO 为直径作半圆 M，C 为 OB 的中点，D 在半圆 M 上，且 CD⊥MD，延长 AD 交 ⊙O 于点 E，若 AB=4，则图中阴影部分的面积为 ．

15. 已知在等腰 △ABC 中，AB=AC=5，BC=4，点 D 从 A 出发以每秒 5 个单位的速度向点 B 运动，同时点 E 从点 B 出发以每秒 4 个单位的速度向点 C 运动，在 DE 的右侧作 ∠DEF=∠B，交直线 AC 于点 F，设运动的时间为 t 秒，则当 △ADF 是一个以 AD 为腰的等腰三角形时，t 的值为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
16. 先化简，再求值：x2+4x+4x+1÷3x+1−x+1，其中 x=sin30∘+2−1+4．

17. 如图，△ABC 内接于 ⊙O 且 AB=AC，延长 BC 至点 D，使 CD=CA，连接 AD 交 ⊙O 于点 E，连接 BE，CE．
（1）求证：△ABE≌△CDE；
（2）填空：
①当 ∠ABC 的度数为 时，四边形 AOCE 是菱形；
②若 AE=6，EF=4，DE 的长为 ．

18. 2018 年 5 月 12 日是我国第十个全国防灾减灾日，也是汶川地震十周年．为了弘扬防灾减灾文化，普及防灾减灾知识和技能，郑州W中学通过学校安全教育平台号召全校学生进行学习，并对学生学习成果进行了随机抽取，现对部分学生成绩（x 为整数，满分 100 分）进行统计．绘制了如图尚不完整的统计图表：
调查结果统计表
组别分数段频数A50≤x<60aB60≤x<7080C70≤x<80100D80≤x<90150E90≤x<100120合计b
根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：a= b= ；
（2）扇形统计图中，m 的值为 ，“D”所对应的圆心角的度数是 度；
（3）本次调查测试成绩的中位数落在 组内；
（4）若参加学习的同学共有 2000 人，请你估计成绩在 90 分及以上的同学大约有多少人?

19. 某校兴趣小组想测量一座大楼 AB 的高度．如图，大楼前有一段斜坡 BC，已知 BC 的长为 12 米，它的坡度 i=1:3．在离 C 点 40 米的 D 处，用测角仪测得大楼顶端 A 的仰角为 37∘，测角仪 DE 的高为 1.5 米，求大楼 AB 的高度约为多少米?（结果精确到 0.1 米）
（参考数据：sin37∘≈0.60，cs37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，3≈1.73．）

20. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，△ABO 的边 AB 垂直于 x 轴，垂足为点 B，反比例函数 y=kxx<0 的图象经过 AO 的中点 C，交 AB 于点 D．若点 D 的坐标为 −4,n，且 AD=3．
（1）求反比例函数 y=kx 的表达式；
（2）求经过 C，D 两点的直线所对应的函数解析式；
（3）设点 E 是线段 CD 上的动点（不与点 C，D 重合），过点 E 且平行 y 轴的直线 l 与反比例函数的图象交于点 F，求 △OEF 面积的最大值．

21. 暑假到了，即将迎来手机市场的销售旺季．某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示：
甲乙进价元/部40002500售价元/部43003000
该商场计划投入 15.5 万元资金，全部用于购进两种手机若干部，期望全部销售后可获毛利润不低于 2 万元．（毛利润 =（售价 − 进价）× 销售量）
（1）若商场要想尽可能多的购进甲种手机，应该安排怎样的进货方案购进甲乙两种手机?
（2）通过市场调研，该商场决定在甲种手机购进最多的方案上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量．已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的 2 倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过 16 万元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大?并求出最大毛利润．

22. 【问题提出】在 △ABC 中，AB=AC≠BC，点 D 和点 A 在直线 BC 的同侧，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，且 α+β=120∘，连接 AD，求 ∠ADB 的度数．（不必解答）
（1）【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当 α=90∘，β=30∘ 时，利用轴对称知识，以 AB 为对称轴构造 △ABD 的轴对称图形 △ABDʹ，连接 CDʹ（如图 2），然后利用 α=90∘，β=30∘ 以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．
请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△DʹBC 的形状是 三角形；∠ADB 的度数为 ．
（2）【问题解决】在原问题中，当 ∠DBC<∠ABC（如图 1）时，请计算 ∠ADB 的度数；
（3）【拓展应用】在原问题中，过点 A 作直线 AE⊥BD，交直线 BD 于 E，其他条件不变；若 BC=7，AD=2．请直接写出线段 BE 的长为 ．

23. 如图，抛物线 y=−13x2+133m+1x−m（m>13 且为实数）与 x 轴分别交于点 A，B（点 B 位于点 A 的右侧且 AB≠OA），与 y 轴交于点 C．
（1）填空：点 B 的坐标为 ，点 C 的坐标为 （用含 m 的代数式表示）；
（2）当 m=3 时，在直线 BC 上方的抛物线上有一点 M，过 M 作 x 轴的垂线交直线 BC 于点 N，求线段 MN 的最大值；
（3）在第四象限内是否存在点 P，使得 △PCO，△POA 和 △PAB 中的任意两三角形都相似（全等是相似的特殊情况）?如果存在，请直接写出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. D【解析】∵9=3，
∴9 的平方根是 ±3．
2. B【解析】8.92 亿=8.92×108．
3. C
4. C【解析】A、 a3+a3=2a3，故此选项错误；
B、 x−32=x2−6x+9，故此选项错误；
C、 a3⋅a3=a6，故此选项正确；
D、 2+3 无法计算，故此选项错误．
5. C
6. D【解析】∵x 的方程 kx2+2x−1=0 有两个不相等的实数根，
∴k≠0 且 Δ=4−4k×−1>0，解得 k>−1，
∴k 的取值范围为 k>−1 且 k≠0．
7. A【解析】A．不能判定四边形 ABCD 为矩形，故此选项符合题意；
B．由 OA=OB 可证明 AC=BD，能判定四边形 ABCD 为矩形，故此选项不符合题意；
C．AC=BD 能判定四边形 ABCD 为矩形，故此选项不符合题意；
D．DC⊥BC 能判定四边形 ABCD 为矩形，故此选项不符合题意．
8. B【解析】二人上 5 节车厢的情况数是：5×5=25（种），
两人在不同车厢的情况数是：5×4=20（种），
则两人从同一节车厢上车的概率是：525=15．
9. A【解析】∵ 由题意可知直线 MN 是线段 BC 的垂直平分线，
∴BD=CD，∠B=∠BCD，
∵∠B=20∘，
∴∠B=∠BCD=20∘，
∴∠CDA=20∘+20∘=40∘．
∵CD=AD，
∴∠ACD=∠CAD=180∘−40∘2=70∘，
∴ A错误，B正确；
∵CD=AD，BD=CD，
∴CD=AD=BD，
∴ 点 D 为 △ABC 的外心，故C正确；
∵∠ACD=70∘，∠BCD=20∘，
∴∠ACB=70∘+20∘=90∘，故D正确．
10. A
【解析】在 Rt△ABC 中，D 为斜边 AB 的中点，∠B=60∘，BC=2 cm，
∴AD=DC=DB=2 cm，∠CDB=60∘，
∵EF 两点的速度均为 1 cm/s，
∴ 当 0≤x≤2 时，y=12⋅DE⋅DF⋅sin∠CDB=34x2，
当 2≤x≤4 时，y=12⋅AE⋅BF⋅sinB=−34x2+3x．
由图象可知A正确．
第二部分
11. 2
【解析】原式=x+12，
当 x=2−1 时，
原式=22=2.
12. m>2
【解析】∵ 反比例函数 y=m−2x，当 x>0 时，y 随 x 增大而减小，
∴m−2>0，解得：m>2．
13. 8≤a<13
【解析】解不等式 3x−5>1，得：x>2，
解不等式 5x−a≤12，得：x≤a+125，
∵ 不等式组有 2 个整数解，
∴ 其整数解为 3 和 4，
则 4≤a+125<5，
解得：8≤a<13．
14. 34+2π3
【解析】连接 EO，DO，过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，如图所示，
∵AB=4，O 为 AB 中点，M，C 分别为 AO，OB 的中点，
∴AM=OM=OC=CB=1，
∵DC⊥MD，
∴ 在 Rt△MDC 中，DM=1，MC=OM+OC=2，
∴DM=12MC，即 ∠DCM=30∘，
∴∠DMC=60∘，
∵AM=DM，
∴∠MAD=∠MDA=30∘，
∴∠EOB=60∘，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA=30∘，
∴OD=12OA=1，AD=22−12=3，
∵OD⊥AE，
∴AE=2AD=23，
∴DF=12AD=32，AF=32，
∴AC=2AF=3，
则
S阴影=S△AOE+S扇形EOB−S△ACD=12×23×1+60π×22360−12×3×32=34+2π3.
15. 521
【解析】如图 1，过 A 作 AG⊥BC 于 G，
∵AB=AC=5，
∴BG=CG=2，
由勾股定理得：AG=52−22=1，
由图形可知：∠BAC 是钝角，
∴ 当 △ADF 是一个以 AD 为腰的等腰三角形时，如图 2，只能 AD=AF，
由题意 DF=4t，BE=4t，DF∥BE，
∴ 四边形 BEFD 是平行四边形，
∴∠DEF=∠BDE=∠B，
∴△EBD∽△ABC，
∴BDBC=BEAB，
∴5−5t4=4t5，
∴t=521．
第三部分
16. ∵x=sin30∘+2−1+4，
∴x=12+12+2=3，
原式=x+22x+1÷4−x2x+1=−x+2x−2=−5.
17. （1） ∵AB=AC，CD=CA，
∴∠ABC=∠ACB，AB=CD，
∵ 四边形 ABCE 是圆内接四边形，
∴∠ECD=∠BAE，∠CED=∠ABC，
∵∠ABC=∠ACB=∠AEB，
∴∠CED=∠AEB，
∴△ABE≌△CDEAAS．
（2） 60∘；9
【解析】①当 ∠ABC 的度数为 60∘ 时，四边形 AOCE 是菱形；
理由是：连接 AO，OC，如图所示：
∵ 四边形 ABCE 是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠AEC=180∘，
∵∠ABC=60∘，
∴∠AEC=120∘=∠AOC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30∘，
∵AB=AC，
∴△ABC 是等边三角形，
∴∠ACB=60∘，
∵∠ACB=∠CAD+∠D，AC=CD，
∴∠CAD=∠D=30∘，
∴∠ACE=180∘−120∘−30∘=30∘，
∴∠OAE=∠OCE=60∘，
∴ 四边形 AOCE 是平行四边形，
∵OA=OC，
∴ 平行四边形 AOCE 是菱形；
② ∵△ABE≌△CDE，
∴AE=CE=5，BE=ED，∠ABE=∠CBE，
∴∠CBE=∠D，
∵∠EAC=∠CBE，
∴∠EAC=∠D．
又 ∵∠CED=∠AEB，
∴△AEF∽△DEC，
∴AEEF=EDEC，即 64=ED6，解得 DE=9．
18. （1） 50；500
【解析】∵ 被调查的总人数 b=80÷16%=500（人），
∴a=500−80+100+150+120=50（人）．
（2） 30；108
【解析】m%=150500×100%=30%，即 m=30，
“D”所对应的圆心角的度数是 360∘×150500=108∘．
（3） D
【解析】本次调查测试成绩的中位数是第 250，251 个数据的平均数，而这 2 个数据均落在D组，
∴ 本次调查测试成绩的中位数落在D组．
（4） 估计成绩在 90 分及以上的同学大约有：2000×24%=480（人）．
19. 延长 AB 交直线 DC 于点 F，过点 E 作 EH⊥AF，垂足为点 H．
∵ 在 Rt△BCF 中，BFCF=i=1:3，
∴ 设 BF=k，则 CF=3k，BC=2k．
又 ∵BC=12，
∴k=6，
∴BF=6，CF=63．
∵DF=DC+CF，
∴DF=40+63．
∵ 在 Rt△AEH 中，tan∠AEH=AHEH，
∴AH=tan37∘×40+63≈37.8，
∵BH=BF−FH，
∴BH=6−1.5=4.5．
∵AB=AH−HB，
∴AB=37.8−4.5=33.3．
答：大楼 AB 的高度约为 33.3 米．
20. （1） ∵AD=3，D−4,n，
∴A−4,n+3，
∵ 点 C 是 OA 的中点，
∴C−2,n+32，
∵ 点 C，D 在双曲线 y=kx 上，
∴k=−2×n+32,k=−4n,
∴k=−4,n=1,
∴ 反比例函数解析式为 y=−4x．
（2） 由（1）知，n=1，
∴C−2,2，D−4,1，
设直线 CD 的解析式为 y=ax+b，
∴−2a+b=2,−4a+b=1,
∴a=12,b=3,
∴ 直线 CD 的解析式为 y=12x+3．
（3） 如图，
由（2）知，直线 CD 的解析式为 y=12x+3，
设点 Em,12m+3，
由（2）知，C−2,2，D−4,1，
∴−4 ∵EF∥y 轴交双曲线 y=−4x 于点 F，
∴Fm,−4m，
∴EF=12m+3+4m，
∴S△OEF=1212m+3+4m×−m=−1212m2+3m+4=−14m+32+14,
∵−4 ∴ 当 m=−3 时，S△OEF 最大，最大值为 14．
21. （1） 设甲种手机购进 x 部，
由题意，得
300x+500×155000−4000x2500≥20000.
解得：
x≤22.∵
两种手机数量都为整数，
∴x 的最大值为 20．
∴ 乙种手机应该购进 155000−4000×20÷2500=30 部，
∴ 要想尽可能多的购进甲种手机，应该安排怎样的进货方案是：甲种手机购 20 部，乙种手机购 30 部．
（2） 设甲种手机减少 m 部，毛利润为 y 元，
由题意，得
400020−m+250030+2m≤160000.
解得：
m≤5.y=30020−m+50030+2m
，y=700m+21000．
∴k=700>0，
∴y 随 m 的增大而增大，
∴ 当 m=5 时，毛利润最大，最大利润为 24500 元．
22. （1） 等边；30∘
【解析】①如图 2 中，作 ∠ABDʹ=∠ABD，BDʹ=BD，连接 CDʹ，ADʹ，BDʹ，
∵AB=AC，∠BAC=90∘，
∴∠ABC=45∘，
∵∠DBC=30∘，
∴∠ABD=∠ABC−∠DBC=15∘，
在 △ABD 和 △ABDʹ 中，
AB=AB,∠ABD=∠ABDʹ,BD=BDʹ,
∴△ABD≌△ABDʹSAS，
∴∠ABD=∠ABDʹ=15∘，∠ADB=∠ADʹB，
∴∠DʹBC=∠ABDʹ+∠ABC=60∘，
∵BD=BDʹ，BD=BC，
∴BDʹ=BC，
∴△DʹBC 是等边三角形；
② ∵△DʹBC 是等边三角形，
∴DʹB=DʹC，∠BDʹC=60∘，
在 △ADʹB 和 △ADʹC 中，
ADʹ=ADʹ,DʹB=DʹC,AB=AC,
∴△ADʹB≌△ADʹCSSS，
∴∠ADʹB=∠ADʹC，
∴∠ADʹB=12∠BDʹC=30∘，
∴∠ADB=30∘．
（2） ∵∠DBC<∠ABC，
∴60∘<α≤120∘，
如图 3 中，作 ∠ABDʹ=∠ABD，BDʹ=BD，连接 CDʹ，ADʹ，BDʹ，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BAC=α，
∴∠ABC=12180∘−α=90∘−12α，
∴∠ABD=∠ABC−∠DBC=90∘−12α−β，
同（1）①可证 △ABD≌△ABDʹ，
∴∠ABD=∠ABDʹ=90∘−12α−β，BD=BDʹ，∠ADB=∠ADʹB，
∴∠DʹBC=∠ABDʹ+∠ABC=90∘−12α−β+90∘−12α=180∘−α+β，
∵α+β=120∘，
∴∠DʹBC=60∘，
由（1）②可知，△ADʹB≌△ADʹC，
∴∠ADʹB=∠ADʹC，
∴∠ADʹB=12∠BDʹC=30∘，
∴∠ADB=30∘．
（3） 7−3 或 7+3
【解析】第①情况：当 60∘<α<120∘ 时，如图 3−1，由（2）知，∠ADB=30∘，
作 AE⊥BD，交 BD 于点 E，连接 AE，BDʹ，DʹC，ADʹ，
在 Rt△ADE 中，∠ADB=30∘，AD=2，
∴DE=3，
∵△BCDʹ 是等边三角形，
∴BDʹ=BC=7，
∴BD=BDʹ=7，
∴BE=BD−DE=7−3；
第②情况：当 0∘<α<60∘ 时，
如图 4 中，作 ∠ABDʹ=∠ABD，BDʹ=BD，连接 CDʹ，ADʹ，BDʹ，AE，ED，
同理可得：∠ABC=12180∘−α=90∘−12α，
∴∠ABD=∠DBC−∠ABC=β−90∘−12α，
同（1）①可证 △ABD≌△ABDʹ，
∴∠ABD=∠ABDʹ=β−90∘−12α，BD=BDʹ，∠ADB=∠ADʹB，
∴∠DʹBC=∠ABC−∠ABDʹ=90∘−12α−β−90∘−12α=180∘−α+β，
∴DʹB=DʹC，∠BDʹC=60∘．
同（1）②可证 △ADʹB≌△ADʹC，
∴∠ADʹB=∠ADʹC，
∵∠ADʹB+∠ADʹC+∠BDʹC=360∘，
∴∠ADB=∠ADʹB=150∘，
在 Rt△ADE 中，∠ADE=30∘，AD=2，
∴DE=3，
∴BE=BD+DE=7+3．
23. （1） 3m,0；0,−m
【解析】令 y=0，则 x=−m，
∴C0,−m，
令 y=0，则 0=−13x2+133m+1x−m，
∴x1=1，x2=3m，且 m>13，
∴A1,0，B3m,0．
（2） 当 m=3 时，则抛物线解析式 y=−13x2+103x−3，
∴C0,−3，B9,0，
∴ 直线 BC 解析式为 y=13x−3，
设 Ma,−13a2+103a−3，则 Na,13a−3，
∴MN=−13a2+103a−3−13a+3=−13a2+3a，
∴ 当 a=92 时，MN 的最大值为 274．
（3） 存在，P1,3+52,1,3−52,1,3．
【解析】理由如下：
∵O，A，B 都在 x 轴上，
∴ 要使 △PCO，△POA，△PAB 中的任意两个三角形均相似，则三个三角形都是直角三角形，
∴PA⊥x 轴．
①如图 1，
当 ∠OCP=90∘，且 AO⊥CO，PA⊥AB，
∴ 四边形 OACP 是矩形，
∴OA=CP=1，OC=AP=m，
∵△POA∽△BPA，
∴OAAP=APAB，
∴m2=3m−1×1，
∴m2−3m+1=0，
∴m1=3+52，m2=3−52，
∴P1,3+52 或 1,3−52．
②如图 2，
当 ∠OPC=90∘ 时，
∵△POA∽△OCP∽△BOP，
∴APOP=OPOC，OAOP=OPOB，
∴OP2=AP×OC=OA×OB，
∴AP×m=1×3m，
∴AP=3，
∴P1,3．
综上所述：P1,3+52,1,3−52,1,3．