中考复习专题九 一次函数 知识点总结与练习

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一次函数
1、一次函数的定义
一般地，形如（，是常数，且）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。当时，一次函数，又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．
⑵当，时，仍是一次函数．
⑶当，时，它不是一次函数．
⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
2、正比例函数及性质
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) = 1 \* GB3 ① k不为零 = 2 \* GB3 ② x指数为1 = 3 \* GB3 ③ b取零
当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．
解析式：y=kx（k是常数，k≠0）
必过点：（0，0）、（1，k）
走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限
增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小
倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
3、一次函数及性质
一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注：一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零) = 1 \* GB3 ① k不为零 = 2 \* GB3 ②x指数为1 = 3 \* GB3 ③ b取任意实数
一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）
（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0) （2）必过点：（0，b）和（-，0）
（3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限
b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限
直线经过第一、二、三象限 直线经过第一、三、四象限
直线经过第一、二、四象限 直线经过第二、三、四象限
（4）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.
（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.
（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；
当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.
4、一次函数y=kx＋b的图象的画法.
根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.
5、正比例函数与一次函数之间的关系
一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）
6、正比例函数和一次函数及性质
6、直线（）与（）的位置关系
（1）两直线平行且 （2）两直线相交
（3）两直线重合且 （4）两直线垂直
7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：
（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
（3）解方程得出未知系数的值；
（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
【抛砖引玉】
【例1】下列函数关系式：①y=﹣2x+1；②y=x；③y=2x2+1；④y=，其中一次函数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】本题考查一次函数的定义，解题的关键是正确理解一次函数的定义，①y=﹣2x+1和②y=x是一次函数.
答案：B
【例2】如图，平面直角坐标系xOy中，O为坐标系原点，A（3，0），B（3，1），C（0，1），将△OAB沿直线OB折叠，使得点A落在点D处，OD与BC交于点E，则OD所在直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【解析】延长CD、AB交于点F，由折叠的性质可得出OB平分∠AOF，根据角平分线的性质结合勾股定理即可求出BF的长度，进而可得出点F的坐标，再根据点F的坐标利用待定系数法，即可求出OD所在直线的解析式．∵将△OAB沿直线OB折叠，使得点A落在点D处，∴∠AOB=∠DOB，∴OB平分∠AOF，∴=．∵A（3，0），B（3，1），C（0，1），∴四边形OABC为矩形，∴∠A=90°，OA=3，AB=1，∴OF=3BF．设BF=a，则OF=3a，AF=1+a．在Rt△OAF中，OF2=OA2+AF2，即（3a）2=32+（1+a）2，解得：a=或a=﹣1（舍去），∴点F的坐标为（3，）．设OD所在直线的解析式为y=kx，将点F（3，）代入y=kx中，=3k，解得：k=，∴OD所在直线的解析式为y=x．
答案：C．
【例3】 已知关于x的方程mx+3=4的解为x=1，则直线y=（m﹣2）x﹣3一定不经过第 象限．
【解析】本题考查了一次函数与一元一次方程，关于x的方程mx+3=4的解为x=1，∴m+3=4，∴m=1，∴直线y=（m﹣2）x﹣3为直线y=﹣x﹣3，∴直线y=（m﹣2）x﹣3一定不经过第一象限.
答案：一．
【例4】如图，直线l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且OM=ON=3．
（1）求这条直线的函数表达式；
（2）Rt△ABC与直线l在同一个平面直角坐标系内，其中∠ABC=90°，AC=2，A（1，0），B（3，0），将△ABC沿着x轴向左平移，当点C落在直线l上时，求线段AC扫过的面积．
【解析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、解直角三角形、一次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的面积以及坐标与图形变化中的平移.（1）根据OM=ON=3结合图形可得出点M、N的坐标，由点M、N的坐标利用待定系数法即可求出直线MN的函数表达式；
（2）通过解直角三角形可得出点C的坐标，设平移后点A、C的对应点分别为A′、C′，利用一次函数图象上点的坐标特征可找出点C′的坐标，根据平移的性质结合平行四边形的面积公式即可求出线段AC扫过的面积．
答案：解：（1）设该直线的函数表达式为y=kx+b（k≠0），
∵OM=ON=3，且M、N分别在x轴负半轴、y轴负半轴上，
∴M（﹣3，0），N（0，﹣3）．
将M（﹣3，0）、N（0，﹣3）代入y=kx+b，
，解得：，
∴这条直线的函数表达式为y=﹣x﹣3
（2）∵A（1，0），B（3，0），
∴AB=2．
∵∠ABC=90°，AC=2，
∴BC=4，
∴C（3，4）．
设平移后点A、C的对应点分别为A′、C′，
当y=﹣x﹣3=4时，x=﹣7，
∴C′（﹣7，4），
∴CC′=10．
∵线段AC扫过的四边形ACC′A′为平行四边形，
∴S=CC′•BC=10×4=40．
答：线段AC扫过的面积为40．
【沙场点兵】
1. 若y=（a+3）x+a2﹣9是正比例函数，则a= ．
2. 在糖水中继续放入糖x（g）、水y（g），并使糖完全溶解，如果甜度保持不变，那么y与x的函数关系一定是（ ）
A.正比例函数 B．反比例函数
C．图象不经过原点的一次函数 D．二次函数
若函数y=（a+3）x+a2﹣9是正比例函数，则a= ．
已知函数y=（m﹣1）x|m|+3是一次函数，则m= ．
5. 如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（0，3），直线BC交坐标轴于B，C，且∠CBA=45°，求直线BC的解析式．
6. 如图，直线l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且OM=ON=3．
（1）求这条直线的函数表达式；
（2）Rt△ABC与直线l在同一个平面直角坐标系内，其中∠ABC=90°，AC=2，A（1，0），B（3，0），将△ABC沿着x轴向左平移，当点C落在直线l上时，求线段AC扫过的面积．
【实战演练】
一．选择题
1. （2017•齐齐哈尔）已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
2. （2017•大庆）对于函数y=2x﹣1，下列说法正确的是（ ）
A．它的图象过点（1，0） B．y值随着x值增大而减小
C．它的图象经过第二象限 D．当x＞1时，y＞0
二．填空题
3. （2016•资阳）已知关于x的方程mx+3=4的解为x=1，则直线y=（m﹣2）x﹣3一定不经过第 象限．
4. （2015•西藏）某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃．登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在位置的气温是y℃，用函数解析式表示y与x的关系为 ．
三．解答题
5. （2016•宜昌）如图，直线y=x+与两坐标轴分别交于A、B两点．
（1）求∠ABO的度数；
（2）过A的直线l交x轴正半轴于C，AB=AC，求直线l的函数解析式．
6. （2012•聊城）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．
一次
函数
，
符号
图象
性质
随的增大而增大
随的增大而减小

b>0
b<0
b=0
k>0
经过第一、二、三象限
经过第一、三、四象限
经过第一、三象限
图象从左到右上升，y随x的增大而增大
k<0
经过第一、二、四象限
经过第二、三、四象限
经过第二、四象限
图象从左到右下降，y随x的增大而减小
正比例函数
一次函数
概 念
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数
一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，是y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
自变量
范 围
X为全体实数
图 象
一条直线
必过点
（0，0）、（1，k）
（0，b）和（-，0）
走 向
k>0时，直线经过一、三象限；
k<0时，直线经过二、四象限
k＞0，b＞0,直线经过第一、二、三象限
k＞0，b＜0直线经过第一、三、四象限
k＜0，b＞0直线经过第一、二、四象限
k＜0，b＜0直线经过第二、三、四象限
增减性
k>0，y随x的增大而增大；（从左向右上升）
k<0，y随x的增大而减小。（从左向右下降）
倾斜度
|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
图像的
平 移
b>0时，将直线y=kx的图象向上平移个单位；
b<0时，将直线y=kx的图象向下平移个单位.