2021年上海市闵行区高考二模数学试卷

闵行区2020学年第二学期高三年级质量调研考试

数 学 试 卷

考生注意：

1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页．

2．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考生号、姓名等填写清楚．

3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分．

4．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）

考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．设集合，，则       ．

2．复数为虚数单位）的共轭复数为      ． 

3．在无穷等比数列中，则      ．

4．已知函数，若，则      ．

5．已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，它的终边过点．

则      ．

6．若直线的参数方程为，则直线的倾斜角为      ．

7．在的二项展开式中，中间一项的系数为　   ．（用数字作答）

8．如右图，在正六棱柱的所有棱中任取两条，则它们所在的直线是互相垂直的异面直线的概率为        ．

9．已知双曲线的两焦点分别为，为双曲线上一点，轴，且是与的等差中项，则双曲线的渐近线方程为       .

10．若四边形是边长为的菱形，为其所在平面上的任意点，则的取值范围是       .

11．已知函数若在区间上的最大值存在，记该最大值为，则满足等式的实数的取值集合是        .
12．已知数列（）满足（）,且，，则     ．(结果用含的式子表示)

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．设，，则是成立的（    ）

    (A) 充分非必要条件               (B) 必要非充分条件

(C) 充要条件                     (D) 既非充分亦非必要条件

14．右图是函数在一个周期内的图像，该图像分别与轴、轴相交于、两点，与过点的直线相交于另外两点、，为轴上的基本单位向量，则（    ）
    (A)          (B)          (C)          (D)

15．已知函数（），， 且，给出以下结论:

① 恒成立；②恒成立.则（     ）

(A) ①正确，②正确              (B) ①正确，②错误 

(C) ①错误，②正确              (D) ①错误，②错误 

16．在直角坐标平面上，到两条直线与的距离和为的点的轨迹所围成的图形的面积是（     ）
    (A)         (B)         (C)         (D)  

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．

17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

   已知函数．

(1) 证明在区间上是增函数；

(2) 若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围．

18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

   如图，在四棱锥中，已知平面，，，，且．

(1) 求四棱锥的体积；

(2) 求直线与平面所成的角．

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

   某植物园中有一块等腰三角形的花圃，腰长为米，顶角为，现在花圃内修一条步行道（步行道的宽度忽略不计），将其分成面积相等的两部分，分别种植玫瑰和百合．步行道用曲线表示（两点分别在腰上，以下结果精确到）．

(1) 如果曲线是以为圆心的一段圆弧（如图1），求的长；

(2) 如果曲线是直道（如图2），求的最小值，并求此时直道的长度．

20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)

如图，已知椭圆的左右顶点分别为，是椭圆上异于的一点，直线，直线分别交直线于两点，线段的中点为.

(1)设直线的斜率分别为，求的值；

(2)设的面积分别为，如果，求直线的方程；

(3) 在轴上是否存在定点，使得当直线的斜率存在时， 为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)

    对于有限集（），如果存在函数（除外），其图像在区间上是一段连续曲线，且满足，其中，那么称这个函数是变换，集合是集合，数列是数列.

例如，是集合，此时函数是变换，数列或等都是数列．

(1)判断数列是否是数列？说明理由；

(2)若各项均为正数的递增数列（）是数列，若变换，求的值；

(3)元素都是正数的有限集（），若，总有，其中．试判断集合是否是集合？请说明理由．

闵行区2020学年第二学期高三年级质量调研考试

数学试卷参考答案与评分标准

一. 填空题 1．； 2．； 3．；  4．；  5．； 6．；

 7．；8．；9．； 10．； 11．；12．. 

二. 选择题  13．A；   14．D；  15．A；   16．B．

三.  解答题

17．[证明]（1）任取，则:

，…………2分

，       ………………………4分

，即函数在上单调递增.  …… 6分

[解]（2）在上存在零点 

所以只需求函数在上的值域，    ……………8分

由（1）可知函数在上是减函数， …………10分

所以，     ………………………12分

即，

所以的取值范围为．        ………………………14分

18．[解]（1）在梯形中，，，则

所以，………………………2分

又四棱锥的高，

所以棱锥的体积．…………6分

（2）平面，平面内

所以，                ………………………8分

，．所以面，

所以为直线与平面所成的角．………………………10分

中，，

,                  ………………………12分

所以

即直线与平面所成的角为.………………………14分

19．[解]（1）设，依题知，扇形的面积为……2分

又的面积为

由得

         ………………………4分

解得，（米）

故的长约为米                   ………………………6分

（2）如图2，线段平分的面积.设，

由知          ………………………8分

又(当且仅当时取等号)，……10分

此时（米），            ………………………12分

（米）

综上，的最小值约为米，此时直道的长度约为米．…14分

20．[解]（1）可求点的坐标分别为， 2分

设，则，

所以；…4分

（2）设点，

则直线的方程为………………………6分
令得，所以点的坐标为………8分

由得，所以，

所以直线的方程为.………………………10分

（3）同（2），设点，

直线的方程为

同理可求直线的方程为：，

令得， 所以点的坐标为

中点      ………………………12分

………………………14分

要使为定值，只需，

解得，此时

所以在轴上存在定点，使得为定值.………16分

21． [解]（1）记，存在函数，……………2分

使得，所以数列是数列．………………………4分

（2）因为函数在区间上是减函数，

所以，………………………6分

因为递增数列（）是数列，

所以……8分
记，则

所以．              ………………………10分

(3)不妨设
1°当时，考察
因为，故，
且，…………12分

即所以是等比数列，，

此时存在变换，使得，故集合是集合．………14分
2°当时，考察
因为，

故，………………………16分
即，所以是等比数列，，此时存在变换，使得，故集合是一个集合．
综合1°2°可知，集合是一个集合．………………………18分