2020年上海市松江区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2020年上海市松江区中考一模数学试卷（期末），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，那么下列判断正确的是
A. a>0，b>0，c>0B. a<0，b<0，c<0
C. a<0，b>0，c>0D. a<0，b<0，c>0

2. 如果点 A1,3，Bm,3 是抛物线 y=ax−22+h 上两个不同的点，那么 m 的值为
A. 2B. 3C. 4D. 5

3. 在以 O 为坐标原点的直角坐标平面内，有一点 A3,4，射线 OA 与 x 轴正半轴的夹角为 α，那么 csα 的值为
A. 35B. 43C. 45D. 34

4. 下列两个三角形不一定相似的是
A. 两条直角边比都是 2:3 的两个直角三角形
B. 腰与底的比都是 2:3 的两个等腰三角形
C. 有一个内角为 50∘ 的两个直角三角形
D. 有一个内角为 50∘ 的两个等腰三角形

5. 如果 a+b=c，a−b=3c，且 c≠0，下列结论正确的是
A. a=bB. a+2b=0
C. a 与 b 方向相同D. a 与 b 方向相反

6. 如图，两条宽度都为 1 的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角 α，它们重叠部分（阴影部分）的面积是 1.5，那么 sinα 的值为
A. 34B. 12C. 23D. 32

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 已知：xy=23，那么 2x−yx+y= ．

8. 已知线段 a 是线段 b，c 的比例中项，如果 a=2，b=3，那么 c= ．

9. 若两个相似三角形的面积比为 3:4，则它们的相似比为 ．

10. 已知点 P 是线段 AB 上黄金分割点，AP>PB，且 AP=2，那么 PB= ．

11. 已知 Rt△ABC 中，若 ∠C=90∘，AC=3，BC=2，则 ∠A 的余切值为 ．

12. 已知二次函数 fx=12x2+bx+c 图象的对称轴为直线 x=4，则 f1 f3．（填“>”或“<”）

13. 在直角坐标平面中，将抛物线 y=2x+12 先向上平移 1 个单位，再向右平移 1 个单位，那么平移后的抛物线表达式是 ．

14. 如图，已知 D 是 △ABC 的边 AC 上一点，且 AD=2DC．如果 AB=a，AC=b，那么向量 BD 关于 a，b 的分解式是 ．

15. 如图，在正方形网格中，点 A，B，C 是小正方形的顶点，那么 tan∠BAC 的值为 ．

16. 如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为 20 厘米，宽度为 30 厘米．那么斜面 AB 的坡度为 ．

17. 以一个等腰直角三角形的腰为边分别向形外做等边三角形，我们把这两个等边三角形重心之间的距离称作这个等腰直角三角形的“肩心距”．如果一个等腰直角三角形的腰长为 2，那么它的“肩心距” ．

18. 如图，矩形 ABCD 中，AD=1，AB=k．将矩形 ABCD 绕着点 B 顺时针旋转 90∘ 得到矩形 AʹBCʹDʹ．连接 ADʹ，分别交边 CD，AʹB 于 E，F．如果 AE=2DʹF，那么 k= ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：3−2cs45∘2+3tan30∘2sin260∘−cs60∘−ct30∘．

20. 已知二次函数 y=x2−4x−1．
（1）将函数 y=x2−4x−1 的解析式化为 y=ax+m2+k 的形式，并指出该函数图象顶点 B 坐标；
（2）在平面直角坐标系中 xOy 中，设抛物线 y=x2−4x−1 与 y 轴交点为 C，抛物线的对称轴与 x 轴交点为 A．求四边形 OABC 的面积．

21. 如图：在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠C=90∘，AD=AB=13，BD=24．求边 DC 的长．

22. 如图，小岛 A 在港口 P 的南偏西 45∘ 方向上，一艘船从港口 P，沿着正南方向，以每小时 12 海里的速度航行，1 小时 30 分钟后到达 B 处，在 B 处测得小岛 A 在它的南偏西 60∘ 的方向上．小岛 A 离港口 P 有多少海里?

23. 已知：如图，点 D，F 在 △ABC 边 AC 上，点 E 在边 BC 上，且 DE∥AB，CD2=CF⋅CA．
（1）求证：EF∥BD；
（2）如果 AC⋅CF=BC⋅CE，求证：BD2=DE⋅BA．

24. 如图，已知抛物线 y=−x2+bx+c 过点 A3,0 、点 B0,3．点 Mm,0 在线段 OA 上（与点 A，O 不重合），过点 M 作 x 轴的垂线与线段 AB 交于点 P，与抛物线交于点 Q，连接 BQ．
（1）求抛物线表达式；
（2）连接 OP，当 ∠BOP=∠PBQ 时，求 PQ 的长度；
（3）当 △PBQ 为等腰三角形时，求 m 的值．

25. 已知 tan∠MON=2，矩形 ABCD 的边 AB 在射线 OM 上，AD=2，AB=m，CF⊥ON，垂足为点 F．
（1）如图（1），作 AE⊥ON，垂足为点 E．当 m=2 时，求线段 EF 的长度；
（2）如图（2），连接 OC，当 m=2，且 CD 平分 ∠FCO 时，求 ∠COF 的正弦值；
（3）如图（3），当 △AFD 与 △CDF 相似时，求 m 的值．
答案
第一部分
1. C【解析】抛物线开口向下 a<0；
对称轴在 y 轴右侧，b>0（与 a 异号）；
图象交 y 正半轴，c>0．
2. B【解析】∵ 点 A1,3，Bm,3 是抛物线 y=ax−22+h 上两个不同的点，
∴ 这两个点关于抛物线的对称轴对称，
∴ 由顶点式可知对称轴是 x=2，对称轴位于 A 点的右侧，
∴2 ∴1+m2=2，解之得：m=3．
3. A【解析】∵ 在以 O 为坐标原点的直角坐标平面内有一点 A3,4，
∴OA=32+42=5，
∴csα=35．
4. D【解析】A．两条直角边的比都是 2:3 的两个直角三角形，根据两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意；
B．腰与底的比都是 2:3 的两个等腰三角形，等腰三角形，两条腰相等，根据三边对应成比例，两个三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意；
C．有一个内角为 50∘ 的两个直角三角形，两角对应相等两三角形相似判断，两个三角形相似，故正确，不符合题意；
D．有一个内角为 50∘ 的两个等腰三角形，内角是 50∘ 的等腰三角形需要注意的是，这个角是顶角还是底角，情况不一样不一定相似．
5. D
【解析】将 a+b=c 代入 a−b=3c，
计算得：a=−2b（方向相反）．
6. C【解析】如图示：作 BC⊥CD 交 CD 于 C 点，AD⊥CD 交 CD 于 D 点，
由阴影部分是两条宽度都为 1 的纸条，交叉重叠放在一起可知，阴影部分是一个菱形，则有 AB=AE，AD=1，
∴AB=AE=1sinα，
∴S阴影=AB⋅AD=1sinα×1=1.5，
解之得：sinα=23．
第二部分
7. 15
【解析】∵xy=23，
∴ 设 x=2k，则 y=3k，
代入 2x−yx+y 得：2×2k−3k2k+3k=k5k=15．
8. 43
【解析】∵ 线段 a 是线段 b，c 的比例中项，
∴a2=bc，即 22=3×c，
∴c=43．
9. 32
【解析】∵ 两个相似三角形面积的比为 3:4，
∴ 它们的相似比 =34=32．
10. 5−1
【解析】由于 P 为线段 AB 的黄金分割点，且 AP 是较长线段；
则 AP=AB×5−12=2，
∴AB=5+1，
∴PB=AB−PA=5+1−2=5−1．
11. 32
【解析】如图．
∵∠C=90∘，AC=3，BC=2，ct∠A=ACBC=32．
12. >
【解析】∵ 二次函数 fx=12x2+bx+c 的图象开口向上，对称轴为直线 x=4，
∴ 当 x 的取值越靠近 4 函数值就越小，反之越大，
∴f1>f3．
13. y=2x2+1
【解析】根据二次函数图象平移的特征：函数平移遵循“上加下减，左加右减”则抛物线 y=2x+12 平移后为：y=2x−1+12+1=2x2+1．
14. 23b−a
【解析】∵AD=2DC，
∴AD=23AC．
根据题意，可得：DB=AB−AD=a−23AC=a−23b．
∴BD=23b−a．
15. 2
【解析】如图示：
连接 BC，
根据题意可得：
AC2=32+12=10，
AB2=12+12=2，
BC2=22+22=8，
∴AB2+BC2=AC2，
∴∠ABC=90∘，
∴ 在 Rt△ABC 中，tan∠BAC=BCAB=82=2．
16. 23
【解析】斜面 AB 的坡度为：2030=23．
17. 32+63
【解析】如图示：
等腰直角三角形的腰长为 2，即 AB=AC=2，
∵△DBA 和 △EAC 是等边三角形，△ABC 等腰直角三角形
∴BC=22，DM=EN=3．
延长 DF 交边 BC 于点 F．
∵G1，G2 分别是等边 △ABD 和等边 △ACE 的重心，
∴DM 垂直且平分 AB，EN 垂直且平分 AC，G1M=G2N=33，
又 ∵∠BAC=90∘，
∴AC∥DF．
∴ 点 F 是 BC 的中点．
同理可得 EN 的延长线也交 BC 于点 F．
∴MF=12AC=1，FN=12AB=1，MN=12BC=2．
∵FNNG2=133，FMMG1=133，
∴FNNG2=FMMG1．
∴MN∥G1G2．
∴MNG1G2=FMFG1，即 2G1G2=11+33，解得 G1G2=2+63．
18. 2+1
【解析】∵ 将矩形 ABCD 绕着点 B 顺时针旋转 90∘ 得到矩形 AʹBCʹDʹ，
∴AD=AʹDʹ=1，AB=AʹB=k，∠Aʹ=∠DAB=90∘=∠DCB=∠ABC，
∴AʹDʹ∥BA∥CD，
∴∠AʹDʹF=∠FEC=∠DEA，且 ∠D=∠Aʹ=90∘，
∴△ADE∽△FAʹDʹ，
∴ADAʹF=DEAʹDʹ=AEDʹF，且 AE=2DʹF，
∴DE=2AʹDʹ=2，AʹF=12AD=22，
∵∠Aʹ=∠DCF=90∘，∠AʹFDʹ=∠EFC，
∴△AʹDʹF∽△CEF，
∴ECAʹDʹ=FCAʹF，
∴k−21=k−1−2222，
∴k=2+1．
第三部分
19. 原式=3−2×222+3×332×322−12−3=−2−3.
20. （1） y=x2−4x−1=x−22−5，该函数图象顶点 B 坐标为 2,−5．
（2） 如图．
令 y=0，x=−1，
∴C0,−1．
∵B2,−5，
∴A2,0．
∴ 四边形 OABC 的面积 =12×AB+OC×OA=12×6×2=6．
21. 如图，过点 A 作 AE⊥BD，垂足为 E，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AE⊥BD，AB=AD，
∴∠AEB=∠C=90∘，BE=DE=12，
∴AE=AB2−BE2=169−144=5，
∵∠ABD=∠DBC，∠AEB=∠C=90∘，
∴△ABE∽△DCB，
∴ABBD=AECD，
即：1324=5CD，
∴CD=12013．
22. 过点 A 作 AD⊥PB 于点 D，
根据题意得：PB=12×1.5=18（海里）．
设 BD=x，则 AD=3x，
∴x+18=3x，
解得：x=9+93，
∴AD=27+93，
∵∠APD=45∘，
∴ADAP=27+93AP=22．
解得：AP=272+96．
23. （1） ∵DE∥AB，
∴CDCA=CECB，
∵CD2=CF⋅CA
∴CDCA=CFCD，
∴CECB=CFCD，
∴EF∥BD．
（2） ∵AC⋅CF=BC⋅CE，
∴ACCE=BCCF，
又 ∠C=∠C，
∴△CEF∽△CAB，
∴∠CEF=∠A，
∵EF∥BD，
∴∠CEF=∠EBD，
∴∠EBD=∠A，
∵ED∥AB，
∴∠EDB=∠DBA，且 ∠EBD=∠A，
∴△ABD∽△BDE，
∴BDDE=ABBD，
∴BD2=BA⋅DE．
24. （1） ∵ 将点 A3,0 、点 B0,3 分别代入抛物线解析式 y=−x2+bx+c 得 −9+3b+c=0,c=3.
解之得：c=3,b=2,
∴ 抛物线的解析式为 y=−x2+2x+3．
（2） ∵∠BOP=∠PBQ 且 MQ∥OB，
∴∠OBP=∠BPQ，
∴△OBP∽△BPQ，
设 Qx,−x2+2x+3，
∵P 点在直线 AB 上，并 A3,0．B0,3，
则直线 AB 的解析式为：y=−x+3，
∴Px,3−x，
∴BP=2x，OB=3，PQ=−x2+3x，
∴OBBP=BPBQ，即 32x=2x−x2+3x，
∴x=0或95（0 舍去），
∴PQ=5425．
（3） ∵Mm,0，Pm,3−m，Qm,−m2+2m+3，
∴BP=2m，PQ=−m2+3m 且 ∠BPQ=45∘，
∴ 当 △BPQ 为等腰三角形时，存在如下情况：
①如图 1，当 BQ=PQ 时，即 ∠PBQ=∠BPQ=45∘，
∴△BPQ 为等腰直角三角形，
∴−m2+2m+3=3，
∴m=2．
②当 BP=PQ 时，即 2m=−m2+3m，即 m=3−2或0（0 舍去）．
③如图 2，当 BP=BQ 时，∠BQP=∠BPQ=45∘，
根据 PM=3−m，OM=m，可得 PQ=2m，
则有 −m2+2m+3=3+m，
∴m=1．
综上所述，m 的值为 2，3−2 或 1．
25. （1） 如图 1，延长 FC 交 OM 于点 G．
∵∠BCG+∠CGB=90∘，∠MON+∠CGB=90∘，
∴∠BCG=∠MON，则 tan∠BCG=tan∠MON=2．
∴BG=2BC=4，CG=5BC=25，
在 Rt△AOE 中，设 OE=a，由 tan∠MON=2，可得 OA=5a，
则 OG=5a+6，OF=15OG=a+655，
∴EF=OF−OE=655．
（2） 如图 2，延长 FC 交 OM 于点 G．
由（1）得 CG=25．
∵CD 平分 ∠FCO，
∴∠FCD=∠DCO，
∵CD∥OM，
∴∠FCD=∠CGO，∠DCO=∠COG，
∴∠CGO=∠COG，
∴CO=CG=25．
在 Rt△COB 中，由 BC2+BO2=OC2，得 22+5a+22=252，
解得 a1=−655（舍去），a2=255．
∴OF=a+655=855，cs∠COF=OFOC=45．
∴sin∠COF=35．
（3） 当 D 在 ∠MON 内部时，
①如图 3−1，△FDA∽△FDC 时，此时 CD=AD=2，
∴m=2；
②当 △FDA∽△CDF 时，如图 3−2，
延长 CD 交 ON 于点 Q，过 F 作 FP⊥CQ 于 P，
则 ∠FDC=∠FDA=135∘，
∴∠FDP=45∘，
∵PC=FP⋅tan∠PFC=FP⋅tan∠MON=2FP=2DP=CD+DP，
∴FP=PD=CD=m，
∴FD=2m，
∵△FDA∽△CDF，
∴FDDA=CDFD，
∴FD=AD⋅CD=2m，
∴2m=2m，
∴m=1；
当 D 在 ∠MON 外部时，∠ADF>90∘，∠DFC>90∘，
∴∠ADF=∠DFC，
∴∠DFI=∠FDI，ID=IF，
如图 3−3，△FDA∽△DFC 时，此时 △FDA≌△DFC，
∴CF=AD=2，
∵∠DAF=∠FCD=∠FHD，
∴A，O 重合，
延长 BC 交 ON 于 R，
∴FR=2CF=4，CR=25，BR=2+25，
∴m=CD=AB=12BR=1+5；
如图 3−4，△FDA∽△CFD 时，设 CF=25tt>0，
延长 BC 交 ON 于 R，过 F 作 FS⊥CD 于 S，
∵△DFC≌△FDH，
∴DH=FC，
∴ID=IF=12CF=5t，
∴IS=t，FS=2t，CS=4t，DS=5+1t，DH=FC=25t，
∵△FDA∽△CFD，
∴ADDF=DFFC，
∴DF2=AD⋅FC=2DH=45t，
∵DF2=DS2+FS2，
∴45t=4t2+5+12t2，解得 t1=5−12，t2=0（舍去）
∴DH=25t=5−5>2=AD，矛盾．
综上所述：m=1 或 m=2 或 m=1+5．