2021年新初三数学北师大新版开学考模拟试卷1

这是一份2021年新初三数学北师大新版开学考模拟试卷1，共33页。
2021年新初三数学北师大新版开学考模拟试卷1
一．选择题（共10小题）
1．（2017秋•启东市期中）已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（　　）

A．1 B．2 C．5 D．无法确定
2．（2020秋•田家庵区期中）如图，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，若EC＝3，则OF长度是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2021春•自贡期末）已知a＜b，下列不等式成立的是（　　）
A．a+2＜b+1 B．﹣3a＞﹣2b C．m﹣a＞m﹣b D．am2＜bm2
4．（2007秋•安岳县期末）设a，b，c，d都是整数，且a＜2b，b＜3c，c＜4d，d＜20，则a的最大值是（　　）
A．480 B．479 C．448 D．447
5．（2020春•古丈县期末）下列现象中是平移的是（　　）
A．翻开书中的每一页纸张
B．飞碟的快速转动
C．将一张纸沿它的中线折叠
D．电梯的上下移动
6．（2020春•定州市校级期末）已知三角形ABC顶点坐标分别是A（0，5），B（﹣3，﹣3），C（1，0），将三角形ABC平移后顶点A的对应点A1的坐标是（4，10），则点B的对应点B1的坐标为（　　）
A．（7，2） B．（2，7） C．（2，1） D．（1，2）
7．（2020春•龙岗区期中）下列各式分解因式结果是（a﹣2）（b+3）的是（　　）
A．﹣6+2b﹣3a+ab B．﹣6﹣2b+3a+ab
C．ab﹣3b+2a﹣6 D．ab﹣2a+3b﹣6
8．（2020春•沙坪坝区校级月考）分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（　　）
A．（x﹣3）（b2+b） B．b（x﹣3）（b+1）
C．（x﹣3）（b2﹣b） D．b（x﹣3）（b﹣1）
9．（2018秋•青州市期末）已知x为整数，且分式的值为整数，满足条件的整数x的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2020春•长清区期末）如图，若DE是△ABC的中位线，△ABC的周长为2，则△ADE的周长为（　　）

A．1 B．2 C．5 D．4
二．填空题（共5小题）
11．（2013春•苏州期末）若多项式x2+kx﹣6有一个因式是（x﹣2），则k＝　 　．
12．（2015秋•道里区期末）观察给定的分式：，…，探索规律，猜想第8个分式是　 　．
13．（2016秋•禹州市期中）如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝　 　，△ABC与△APQ全等．

14．（2021春•自贡期末）若a＜b，那么﹣2a+9　 　﹣2b+9（填“＞”“＜”或“＝”）．
15．（2020春•港南区期末）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条”之”字路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为　 　m2．

三．解答题（共10小题）
16．（2020秋•长春期末）分解因式：
（1）x2y﹣xy；
（2）x2﹣4y2．
17．（2021春•自贡期末）已知代数式mn+2m﹣2＝0（n≠﹣2）．
（1）①用含n的代数式表示m；
②若m、n均取整数，求m、n的值．
（2）当n取a、b时，m对应的值为c、d．当﹣2＜b＜a时，试比较c、d的大小．
18．若不等式组无解，那么不等式组有没有解？若有解，请求出不等式组的解集；若没有请说明理由？
19．（2020春•番禺区校级期中）点P为△ABC三内角平分线的交点，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，求：点P到三边的距离．

20．（2019春•任丘市期末）已知：D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点．
求证：DE∥BC，且DE＝BC．

21．（2021•蓬安县模拟）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．

22．（2015春•湘潭县期末）如图，已知△ABC的面积为16，BC的长为8，现将△ABC沿BC向右平移m个单位到△A′B′C′的位置．若四边形ABB′A′的面积为32，求m的值．

23．（2019春•硚口区期中）如图1，A（﹣1，﹣1），B（4，2），C（1，3）
（1）直接写出S△ABC＝　 　；
（2）已知点D（﹣1，m），满足S△BCD＝S△ABC，求m的值；
（3）如图2，把直线AC以每秒1个单位长度的速度向右平移，求平移多少秒时该直线恰好经过B点．

24．（2013春•衢江区期末）给定下面一列分式：，…，（其中x≠0）
（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？
（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第2013个分式．
25．（2020•丛台区校级一模）1637年笛卡儿（R．Descartes，1596﹣1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：
分解因式：x3+2x2﹣3．观察知，显然x＝1时，原式＝0，因此原式可分解为（x﹣1）与另一个整式的积．令：x3+2x2﹣3＝（x﹣1）（x2+bx+c），而（x﹣1）（x2+bx+c）＝x3+（b﹣1）x2+（c﹣b）x﹣c，因等式两边x同次幂的系数相等，
则有：，得，从而x3+2x2﹣3＝0．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）若x+1是多项式x3+ax+1的因式，求a的值并将多项式x3+ax+1分解因式．
（2）若多项式3x4+ax3+bx﹣34含有因式x+1及x﹣2，求a，b的值．

2021年新初三数学北师大新版开学考模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2017秋•启东市期中）已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（　　）

A．1 B．2 C．5 D．无法确定
【考点】平行线的性质；直角三角形全等的判定．菁优网版权所有
【分析】因为知道AD的长，所以只要求出AD边上的高，就可以求出△ADE的面积．过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，构造出Rt△EDF≌Rt△CDG，求出GC的长，即为EF的长，然后利用三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，
∵∠EDF+∠FDC＝90°，
∠GDC+∠FDC＝90°，
∴∠EDF＝∠GDC，
于是在Rt△EDF和Rt△CDG中，
，
∴△DEF≌△DCG，
∴EF＝CG＝BC﹣BG＝BC﹣AD＝3﹣2＝1，
所以，S△ADE＝（AD×EF）÷2＝（2×1）÷2＝1．
故选：A．

【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目需要作辅助线构造直角三角形，利用全等三角形和面积公式来解答．对同学们的创造性思维能力要求较高，是一道好题．
2．（2020秋•田家庵区期中）如图，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，若EC＝3，则OF长度是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【分析】根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到∠OEF＝∠COE＝15°，然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG＝30°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半，即可得到EF的长，进而得出OF的长．
【解答】解：∵∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，
∴CE＝EG＝3，
∵EF∥OB，
∴∠COE＝∠OEF＝15°
∴∠EFG＝15°+15°＝30°，∠EOF＝∠OEF，
∴OF＝EF＝2EG＝2×3＝6．
故选：D．

【点评】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握角平分线的性质，证出∠EFG＝30°是解决问题的关键．
3．（2021春•自贡期末）已知a＜b，下列不等式成立的是（　　）
A．a+2＜b+1 B．﹣3a＞﹣2b C．m﹣a＞m﹣b D．am2＜bm2
【考点】不等式的性质．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式(组)及应用；运算能力．
【分析】根据不等式的性质，可得答案．
【解答】解：A、不等式的两边都减1，不等号的方向不变，故A错误；
B、不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变，B选项没有乘以同一个负数，故B错误；
C、∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b
∴m﹣a＞m﹣b，故C正确；
D、∵m2≥0，a＜b
∴am2≤bm2，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．（2007秋•安岳县期末）设a，b，c，d都是整数，且a＜2b，b＜3c，c＜4d，d＜20，则a的最大值是（　　）
A．480 B．479 C．448 D．447
【考点】不等式的解集．菁优网版权所有
【专题】计算题；符号意识．
【分析】根据d＜20，d都整数，就可以求出d的值，进而就可以得到a，b，c的值．
【解答】解：∵a，b，c，d都是整数，且a＜2b，b＜3c，c＜4d，d＜20，
∴d＝19，c＜4×19＝76，
∴c＝75，b＜3×75＝225，
∴b＝224，a＜2×224＝448，
∴a＝447，
故选：D．
【点评】主要考查了不等式的运用．根据题意分别求出对应的值利用不等关系求解．
5．（2020春•古丈县期末）下列现象中是平移的是（　　）
A．翻开书中的每一页纸张
B．飞碟的快速转动
C．将一张纸沿它的中线折叠
D．电梯的上下移动
【考点】生活中的平移现象．菁优网版权所有
【专题】常规题型；空间观念．
【分析】根据平移的性质，不改变图形的形状和大小．
【解答】解：A不是沿某一直线方向移动，不属于平移．B不是沿某一直线方向移动，不属于平移．C新图形与原图形的形状和大小不同，不属于平移．因此C错误．
故选：D．
【点评】本题需掌握平移的概念：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移．注意平移是图形整体沿某一直线方向移动．
6．（2020春•定州市校级期末）已知三角形ABC顶点坐标分别是A（0，5），B（﹣3，﹣3），C（1，0），将三角形ABC平移后顶点A的对应点A1的坐标是（4，10），则点B的对应点B1的坐标为（　　）
A．（7，2） B．（2，7） C．（2，1） D．（1，2）
【考点】坐标与图形变化﹣平移．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系．
【分析】根据点A的坐标以及平移后点A的对应点A1的坐标可以找出三角形平移的方向与距离，再结合点B的坐标即可得出结论．
【解答】解：∵点A（0，5）平移后的对应点A1为（4，10），
4﹣0＝4，10﹣5＝5，
∴△ABC向右平移了4个单位长度，向上平移了5个单位长度，
∴点B（﹣3，﹣3）的对应点B1的坐标为（﹣3+4，﹣3+5），
即B1（1，2）．
故选：D．
【点评】本题考查了坐标与图形变化中的平移，解题的关键是找出三角形平移的方向与距离．解决该题型题目时，根据图形一个顶点以及平移后对应点的坐标找出平移方向和距离是关键．
7．（2020春•龙岗区期中）下列各式分解因式结果是（a﹣2）（b+3）的是（　　）
A．﹣6+2b﹣3a+ab B．﹣6﹣2b+3a+ab
C．ab﹣3b+2a﹣6 D．ab﹣2a+3b﹣6
【考点】因式分解的意义．菁优网版权所有
【专题】运算能力．
【分析】依据多项式乘以多项式法则，将（a﹣2）（b+3）展开，与四个选项对比即得结果．
【解答】解：（a﹣2）（b+3）＝﹣6﹣2b+3a+ab．
故选：B．
【点评】本题是因式分解的逆过程，用多项式乘以多项式法则进行计算．
多项式乘以多项式法则：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
8．（2020春•沙坪坝区校级月考）分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（　　）
A．（x﹣3）（b2+b） B．b（x﹣3）（b+1）
C．（x﹣3）（b2﹣b） D．b（x﹣3）（b﹣1）
【考点】因式分解﹣提公因式法．菁优网版权所有
【分析】确定公因式是b（x﹣3），然后提取公因式即可．
【解答】解：b2（x﹣3）+b（x﹣3），
＝b（x﹣3）（b+1）．
故选：B．
【点评】需要注意提取公因式后，第二项还剩因式1．
9．（2018秋•青州市期末）已知x为整数，且分式的值为整数，满足条件的整数x的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】分式的值．菁优网版权所有
【专题】分式．
【分析】先化简得到原式＝，然后利用整数的整除性得到2只能被﹣1，1，﹣2，2这几个整数整除，从而得到x的值．
【解答】解：∵原式＝＝，
∴x+1为±1，±2时，的值为整数，
∵x2﹣1≠0，
∴x≠±1，
∴x为﹣2，0，﹣3，个数有3个．
故选：C．
【点评】本题考查了分式的值：把满足条件的字母的值代入分式，通过计算得到对应的分式的值．
10．（2020春•长清区期末）如图，若DE是△ABC的中位线，△ABC的周长为2，则△ADE的周长为（　　）

A．1 B．2 C．5 D．4
【考点】三角形中位线定理．菁优网版权所有
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据三角形中位线的性质知AD＝AB、AE＝AC、DE＝BC；然后由三角形的周长公式可以求得△ADE的周长．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴点D、E分别是线段AB、AC的中点，
∴DE＝BC，AD＝AB、AE＝AC；
又∵△ABC的周长为2，
∴AB+BC+AC＝2，
∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝（AB+BC+AC）＝1；
故选：A．
【点评】本题考查了三角形中位线定理．解得该题的关键是熟记三角形中位线定理．
二．填空题（共5小题）
11．（2013春•苏州期末）若多项式x2+kx﹣6有一个因式是（x﹣2），则k＝　1　．
【考点】因式分解的意义．菁优网版权所有
【分析】多项式x2+kx﹣6有一个因式是（x﹣2），则另一个因式一定也是一个一次项系数是1的一次式，设另一个式子是（x+a），根据多项式乘法展开后再利用对应项的系数相等即可求解．
【解答】解：设另一个式子是（x+a），
则（x﹣2）•（x+a），
＝x2+（a﹣2）x﹣2a，
＝x2+kx﹣6，
∴a﹣2＝k，﹣2a＝﹣6，
解得a＝3，k＝1．
故应填1．
【点评】本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算，并且考查了代数式相等条件：对应项的系数相同．
12．（2015秋•道里区期末）观察给定的分式：，…，探索规律，猜想第8个分式是　﹣　．
【考点】分式的定义．菁优网版权所有
【专题】规律型．
【分析】观察分式的分子、分母、符号的变化规律，依据规律回答即可．
【解答】解：第一个分式为＝；
第二个分式为﹣＝﹣；
第三个分式为＝；
…
第n个分式为，
第8个分式为＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查的是分式的定义，找出分子、分母以及分式的符号的变化规律是解题的关键．
13．（2016秋•禹州市期中）如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝　5或10　，△ABC与△APQ全等．

【考点】直角三角形全等的判定．菁优网版权所有
【分析】分两种情况：①当AP＝BC＝5时；②当AP＝CA＝10时；由HL证明Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；即可得出结果．
【解答】解：∵AX⊥AC，
∴∠PAQ＝90°，
∴∠C＝∠PAQ＝90°，
分两种情况：
①当AP＝BC＝5时，
在Rt△ABC和Rt△QPA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；
②当AP＝CA＝10时，
在△ABC和△PQA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；
综上所述：当点P运动到AP＝5或10时，△ABC与△APQ全等；
故答案为：5或10．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；熟练掌握直角三角形全等的判定方法，本题需要分类讨论，难度适中．
14．（2021春•自贡期末）若a＜b，那么﹣2a+9　＞　﹣2b+9（填“＞”“＜”或“＝”）．
【考点】不等式的性质．菁优网版权所有
【分析】不等式两边加或减某个数或式子，乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以一个负数，不等号的方向改变．
【解答】解：∵a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，
∴﹣2a+9＞﹣2b+9
【点评】能够通过观察理解由已知变化到所要比较的式子，是如何的得到的是解题的关键．
15．（2020春•港南区期末）如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条”之”字路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为　540　m2．

【考点】生活中的平移现象．菁优网版权所有
【专题】几何图形问题．
【分析】把两条”之”字路平移到长方形地块ABCD的最上边和最左边，则余下部分EFCG是矩形，根据矩形的面积公式即可求出结果．
【解答】解：如图，把两条”之”字路平移到长方形地块ABCD的最上边和最左边，则余下部分EFGH是矩形．
∵CF＝32﹣2＝30（米），CG＝20﹣2＝18（米），
∴矩形EFCG的面积＝30×18＝540（平方米）．
答：绿化的面积为540m2．
故答案为：540．

【点评】将长方形地块内部修筑的两条”之”字路平移到长方形ABCD的最上边和最左边，使余下部分EFGH是一个矩形，是解决本题的关键．
三．解答题（共10小题）
16．（2020秋•长春期末）分解因式：
（1）x2y﹣xy；
（2）x2﹣4y2．
【考点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣运用公式法．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】（1）找出多项式的公因式xy，提出即可；
（2）根据平方差公式找出公式中ab的值，再根据公式分解即可．
【解答】解：（1）x2y﹣xy，
＝xy（x﹣1）．

解：（2）x2﹣4y2，
＝x2﹣（2y）2，
＝（x+2y）（x﹣2y）．
【点评】本题考查学生对分解因式的方法的运用，分解因式的步骤是先看能否用提公因式法分解因式，再看能否用公式法分解因式或用十字相乘法．
17．（2021春•自贡期末）已知代数式mn+2m﹣2＝0（n≠﹣2）．
（1）①用含n的代数式表示m；
②若m、n均取整数，求m、n的值．
（2）当n取a、b时，m对应的值为c、d．当﹣2＜b＜a时，试比较c、d的大小．
【考点】二元一次方程组的应用；不等式的性质．菁优网版权所有
【专题】分类讨论；一次方程（组）及应用；一元一次不等式(组)及应用；运算能力．
【分析】（1）①由已知代数式mn+2m﹣2＝0按照等式的性质变形即可得出答案；②根据m、n均为整数，2＝1×2＝（﹣1）×（﹣2），分别列出关于m和n的方程组，求解即可；
（2）根据题意先用含a的式子分别表示出c和d，再利用求差法计算即可．
【解答】解：（1）①∵mn+2m﹣2＝0，
∴（n+2）m＝2，
∵n≠﹣2，
∴m＝；
②∵m、n均为整数，2＝1×2＝（﹣1）×（﹣2），
∴或或或．
解得：或或或；
（2）∵当n＝a时，m＝c＝，当n＝b时，m＝d＝，
∴c﹣d＝﹣
＝
＝，
∵﹣2＜b＜a，
∴a+2＞0，b+2＞0，b﹣a＜0，
∴＜0，
∴c﹣d＜0，
∴c＜d．
【点评】本题考查了等式的性质、解二元一次方程组、求差法及不等式的性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
18．若不等式组无解，那么不等式组有没有解？若有解，请求出不等式组的解集；若没有请说明理由？
【考点】不等式的解集．菁优网版权所有
【分析】首先根据不等式无解确定字母a的取值范围，然后确定第二个不等式组有解与否即可．
【解答】解：由已知条件知﹣a≥a，
得a≤0；
所以a+1＜1﹣a，
故不等式组，有解，
解集为a+1＜x＜1﹣a．
当a＝0时，无解．
【点评】本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得零一个未知数．
19．（2020春•番禺区校级期中）点P为△ABC三内角平分线的交点，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，求：点P到三边的距离．

【考点】角平分线的性质．菁优网版权所有
【专题】应用题；运算能力；推理能力．
【分析】根据点P为三角形三个内角平分线的交点，作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，连接PA，PB，PC，可得PD＝PE＝PF，根据三角形的面积公式即可求出点P到三边的距离．
【解答】解：∵点P为三角形三个内角平分线的交点，作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，连接PA，PB，PC，如图，

∴PD＝PE＝PF，
设PD＝PE＝PF＝R，
由三角形的面积公式得：S△ACB＝S△APC+S△APB+S△BPC，
∴×AC×BC＝×AC×R+×BC×R+×AB×R，
6×8＝6R+8R+10R，
R＝2，
即PD＝2cm．
答：点P到三边的距离为2cm．
【点评】本题考查了角平分线的性质和三角形面积的应用，解决本题的关键是掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等．
20．（2019春•任丘市期末）已知：D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点．
求证：DE∥BC，且DE＝BC．

【考点】平行线的判定；三角形中位线定理．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】延长DE到F，使EF＝DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质得到AD＝CF，∠A＝∠ECF，证明四边形DBCF是平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论．
【解答】证明：延长DE到F，使EF＝DE，连接CF，
在△ADE和△CFE中，
∵AE＝CE，∠AED＝∠CEF，DE＝FE，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴AD＝CF，∠A＝∠ECF，
∴AD∥CF，
∵AD∥CF，BD＝AD＝CF，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DE∥BC，DF＝BC，
∴DE＝DF＝BC．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．
21．（2021•蓬安县模拟）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．

【考点】直角三角形全等的判定；等腰三角形的判定．菁优网版权所有
【专题】证明题；推理填空题．
【分析】（1）根据已知条件，用HL公理证：Rt△ABC≌Rt△DCB；
（2）利用Rt△ABC≌Rt△DCB的对应角相等，即可证明△OBC是等腰三角形．
【解答】证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°
AC＝BD，BC为公共边，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；

（2）△OBC是等腰三角形，
∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC，
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰三角形．
【点评】此题主要考查学生对直角三角形全等的判定和等腰三角形的判定与性质的理解和掌握．
22．（2015春•湘潭县期末）如图，已知△ABC的面积为16，BC的长为8，现将△ABC沿BC向右平移m个单位到△A′B′C′的位置．若四边形ABB′A′的面积为32，求m的值．

【考点】平移的性质．菁优网版权所有
【分析】首先过点A向BC作垂线，垂足为H，然后根据三角形的面积的求法，求出AH的值是多少；最后根据平行四边形的面积的求法，求出BB′的值，即可求出m的值是多少．
【解答】解：如图1，过点A向BC作垂线，垂足为H，，
∵△ABC的面积＝16，BC＝8，
∴×BC×AH＝16，
∴，
解得AH＝4，
又∵四边形ABB′A′的面积为32，
∴BB′×4＝32，
∴BB′＝32÷4＝8，
∴m＝BB′＝8，
即m的值是8．
【点评】（1）此题主要考查了平移的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
（2）此题还考查了三角形、平行四边形的面积的求法，要熟练掌握．
23．（2019春•硚口区期中）如图1，A（﹣1，﹣1），B（4，2），C（1，3）
（1）直接写出S△ABC＝　7　；
（2）已知点D（﹣1，m），满足S△BCD＝S△ABC，求m的值；
（3）如图2，把直线AC以每秒1个单位长度的速度向右平移，求平移多少秒时该直线恰好经过B点．

【考点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移．菁优网版权所有
【专题】平面直角坐标系；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据A（﹣1，﹣1），B（4，2），C（1，3），利用割补法即可求出三角形ABC的面积；
（2）延长BC交直线x＝1于点P，作CM⊥PD于点M，作BN⊥PD于点N，根据面积列等式，先求出点P的坐标，再求m的值即可；
（3）作BH⊥y轴交AC于点H，根据面积列等式即可求出BH的长，进而可求出平移时间．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，﹣1），B（4，2），C（1，3）
∴S△ABC＝20﹣2×4﹣1×3﹣3×5＝7；
故答案为：7；
（2）如图，

延长BC交直线x＝1于点P，
作CM⊥PD于点M，作BN⊥PD于点N，
∴M（﹣1，3），N（﹣1，2），
设P（﹣1，a），
∴S△CPM+S四边形CMNB＝S△PNB，
即2（a﹣3）+（2+5）×1＝5（a﹣2），
解得a＝，
∴P（﹣1，）．
∵SPBD﹣S△PCD＝S△BCD，
即5|m﹣|﹣2|m﹣|＝7，
解得m＝6或m＝；
（3）如图，

作BH⊥y轴交AC于点H，
∵S△ABC＝S△ABH+S△BCH＝7，
∴BH（1+3）＝7，
解得BH＝，
∴÷1＝．
答：平移秒时该直线恰好经过B点．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移、三角形的面积，解决本题的关键是利用割补法表示图形的面积．
24．（2013春•衢江区期末）给定下面一列分式：，…，（其中x≠0）
（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？
（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第2013个分式．
【考点】分式的定义．菁优网版权所有
【专题】规律型．
【分析】（1）将任意一个分式除以前面一个分式，可得出规律．
（2）由（1）可知任意一个分式除以前面一个分式恒等于一个代数式，由此可得出第2013个分式．
【解答】解：（1）第二个分式除以第一个分式得，第三个分式除以第二个分式得，
同理，第四个分式除以第三个分式也是，故规律是任意一个分式除以前面一个分式恒等于；
（2）由（1）可知该第2013个分式应该是．
【点评】本题考查了数字的变化类的相关知识，根据题干的规律找到一般表达式是解题的关键，难度中等．
25．（2020•丛台区校级一模）1637年笛卡儿（R．Descartes，1596﹣1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下：
分解因式：x3+2x2﹣3．观察知，显然x＝1时，原式＝0，因此原式可分解为（x﹣1）与另一个整式的积．令：x3+2x2﹣3＝（x﹣1）（x2+bx+c），而（x﹣1）（x2+bx+c）＝x3+（b﹣1）x2+（c﹣b）x﹣c，因等式两边x同次幂的系数相等，
则有：，得，从而x3+2x2﹣3＝0．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）若x+1是多项式x3+ax+1的因式，求a的值并将多项式x3+ax+1分解因式．
（2）若多项式3x4+ax3+bx﹣34含有因式x+1及x﹣2，求a，b的值．
【考点】因式分解的意义；因式分解﹣分组分解法；因式分解﹣十字相乘法等．菁优网版权所有
【专题】阅读型；待定系数法；因式分解；整式；运算能力；推理能力．
【分析】（1）令x3+ax+1＝（x+1）（x2+bx+c），根据等式两边x同次幂的系数相等确定a、b、c的值，再因式分解多项式；
（2）令3x4+ax3+bx﹣34＝（x+1）（x﹣2）（3x2+cx+d），根据等式两边x同次幂的系数相等得方程组，求解a、b即可．
【解答】解：（1）令x3+ax+1＝（x+1）（x2+bx+c），
而（x+1）（x2+bx+c）＝x3+（b+1）x2+（c+b）x+c，
∵等式两边x同次幂的系数相等，
即x3+（b+1）x2+（c+b）x+c＝x3+ax+1
∴
解得
∴a的值为0，x3+1＝（x+1）（x2﹣x+1）
（2）（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2
令3x4+ax3+bx﹣34＝（x2﹣x﹣2）（3x2+cx+d），
而（x2﹣x﹣2）（3x2+cx+d）＝3x4+（c﹣3）x3+（d﹣c﹣6）x2﹣（2c+d）x﹣2d，
∵等式两边x同次幂的系数相等，
即3x4+（c﹣3）x3+（d﹣c﹣6）x2﹣（2c+d）x﹣2d＝3x4+ax3+bx﹣34
∴
解得
答：a、b的值分别为8、﹣39．
解法二：由题意，，
解得．
【点评】本题考查了因式分解、整式的乘法、解方程组等知识点，读懂题例理解题意是解决本题的关键．

考点卡片
1．因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：

3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
2．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
　　（1）找出公因式；
　　（2）提公因式并确定另一个因式：
　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
　　②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
　　③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
3．因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
　　平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
　　完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
　2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
4．因式分解-分组分解法
1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．
例如：①ax+ay+bx+by
＝x（a+b）+y（a+b）
＝（a+b）（x+y）
②2xy﹣x2+1﹣y2
＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1
＝1﹣（x﹣y）2
＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）
5．因式分解-十字相乘法等
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）

②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，
把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
6．分式的定义
（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．
（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．
（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
（5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．
7．分式的值
分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
8．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
9．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
10．不等式的解集
（1）不等式的解的定义：
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
（2）不等式的解集：
能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．
（3）解不等式的定义：
求不等式的解集的过程叫做解不等式．
（4）不等式的解和解集的区别和联系
不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内．
11．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
12．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
13．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
14．直角三角形全等的判定
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
15．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

16．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
17．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
18．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
19．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE＝BC．

20．生活中的平移现象
1、平移的概念
在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．
3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离．
21．平移的性质
（1）平移的条件
平移的方向、平移的距离
（2）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．　　②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
22．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
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日期：2021/7/2 10:16:41；用户：总部9；邮箱：zybzb9@xyh.com；学号：40292140