多维层次练30-平面向量的数量积及其应用（全国百强重点中学复习资料，含答案解析）-新高考学案

这是一份多维层次练30-平面向量的数量积及其应用（全国百强重点中学复习资料，含答案解析）-新高考学案，共10页。
1．在△ABC中，|BC|＝4，(eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(AC,\s\up15(→)))·eq \(BC,\s\up15(→))＝0，则eq \(BA,\s\up15(→))·eq \(BC,\s\up15(→))＝( )
A．4 B．－4
C．－8 D．8
解析：设M为BC的中点，则eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(AC,\s\up15(→))＝2eq \(AM,\s\up15(→))，
因为(eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(AC,\s\up15(→)))·eq \(BC,\s\up15(→))＝0，
所以2eq \(AM,\s\up15(→))·eq \(BC,\s\up15(→))＝0，
所以eq \(AM,\s\up15(→))⊥eq \(BC,\s\up15(→))，所以△ABC是等腰三角形且AB＝AC，
则eq \(BA,\s\up15(→))·eq \(BC,\s\up15(→))＝|eq \(BA,\s\up15(→))||eq \(BC,\s\up15(→))|cs ∠B＝(|eq \(BA,\s\up15(→))|cs ∠B)·eq \(BC,\s\up15(→))＝BM·BC＝2×4＝8，故选D.
答案：D
2．若平面向量a与b的夹角为120°，a＝(1，0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝( )
A．4 B．3
C．2 D．eq \r(3)
解析：因为a＝(1，0)，所以|a|＝1，所以|a＋2b|＝eq \r(a2＋2a·2b＋4b2)＝eq \r(1＋4＋4|a||b|cs 120°)＝eq \r(3)，故选D.
答案：D
3．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且a与b的夹角为θ，则“|a－b|＝1”是“θ＝eq \f(π,3)”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由|a－b|＝1得|a－b|2＝1，即|a|2＋|b|2－2a·b＝1，即1＋1－2a·b＝1，可得a·b＝eq \f(1,2)，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(\f(1,2),1×1)＝eq \f(1,2)，故θ＝eq \f(π,3)，充分性成立．当θ＝eq \f(π,3)时，a·b＝eq \f(1,2)，则|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝1＋1－2×eq \f(1,2)＝1＋1－1＝1，即|a－b|＝1，必要性成立．故“|a－b|＝1”是“θ＝eq \f(π,3)”的充要条件．故选C.
答案：C
4．在△OAB中，eq \(OA,\s\up15(→))＝a，eq \(OB,\s\up15(→))＝b，OD是AB边上的高eq \(AD,\s\up15(→))＝λeq \(AB,\s\up15(→))，则实数λ等于( )
A.eq \f(a·（b－a）,|a－b|2) B.eq \f(a·（a－b）,|a－b|2)
C.eq \f(a·（b－a）,|a－b|) D.eq \f(a·（a－b）,|a－b|)
解析：由eq \(AD,\s\up15(→))＝λeq \(AB,\s\up15(→))，得eq \(OD,\s\up15(→))－eq \(OA,\s\up15(→))＝λ(eq \(OB,\s\up15(→))－eq \(OA,\s\up15(→)))，即eq \(OD,\s\up15(→))＝(1－λ)a＋λb.又因为eq \(OD,\s\up15(→))·eq \(AB,\s\up15(→))＝0，所以[(1－λ)a＋λb]·(b－a)＝0，即(1－2λ)a·b－(1－λ)a2＋λb2＝0，所以－a·b＋a2＝(a2＋b2－2a·b)λ，所以λ＝eq \f(a2－a·b,|a－b|2)＝eq \f(a·（a－b）,|a－b|2).故选B.
答案：B
5．(多选题)已知e1，e2是两个单位向量，λ∈R时，|e1＋λe2|的最小值为eq \f(\r(3),2)，则下列结论正确的是( )
A．e1，e2的夹角是eq \f(π,3)
B．e1，e2的夹角是eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)
C．|e1＋e2|＝1或eq \r(3)
D．|e1＋e2|＝1或eq \f(\r(3),2)
解析：设e1与e2的夹角为θ，因为e1，e2是两个单位向量，所以|e1＋λe2|＝eq \r(（e1＋λe2）2)＝eq \r(λ2＋2λe1·e2＋1)＝eq \r(（λ＋cs θ）2＋1－cs2 θ)，当λ＝－cs θ时，|e1＋λe2|取得最小值eq \f(\r(3),2)，所以1－cs2 θ＝eq \f(3,4)，所以cs θ＝±eq \f(1,2)，所以e1与e2的夹角为eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)，所以|e1＋e2|2＝1或3，所以|e1＋e2|＝1或eq \r(3).故选BC.
答案：BC
6．已知向量a＝(2，t)，b＝(－1，3)，若a，b的夹角为钝角，则实数t的取值范围是( )
A．teq \f(2,3)
C．t