多维层次练24-两角和与差的正弦、余弦和正切公式（全国百强重点中学复习资料，含答案解析）-新高考学案

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多维层次练24  两角和与差的正弦、余弦和正切公式[巩固提升练]1．(2020·河南六市联考)cos 70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为(　　)A．－   B．－  C．   D．解析：原式＝sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°＝sin(20°＋40°)＝sin 60°＝.故选D.答案：D2．(多选题)下列式子正确的有(　　)A．sin 15°＋cos 15°＝B．cos 75°＝C．2tan 15°＋tan2 15°＝1D．tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1解析：因为sin 15°＋cos 15°＝＝＝，所以A正确；cos 75°＝cos(45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝×－×＝，所以B错误．又由tan 30°＝得1－tan2 15°＝＝2tan 15°，所以2tan 15°＋tan2 15°＝1，故C正确．因为1＝tan 45°＝tan(12°＋33°)＝，所以tan 12°＋tan 33°＝1－tan 12°tan 33°.所以tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1，故D正确．答案：ACD3．已知sin＋sin α＝－，则cos等于(　　)A．－   B．－  C．   D．解析：因为sin＋sin α＝－，所以sin(α＋)＋sin(α＋－)＝－，即sin＋sin(α＋)cos －cos(α＋)sin ＝－，即sin－cos＝－，所以－[cos－sin]＝－，所以－cos＝－，可得cos＝，所以cos＝cos＝，故选D.答案：D4．(2020·贵阳模拟)sin4 15°－cos4 15°＝(　　)A．   B．－  C．   D．－解析：原式＝(sin2 15°＋cos2 15°)(sin2 15°－cos2 15°)＝－(cos2 15°－sin2 15°)＝－cos 30°＝－.故选D.答案：D5．已知cos α＋2cos β＝，sin α＝2sin β－，则sin2(α＋β)＝(　　)A．   B．  C．0   D．1解析：由题意可得，(cos α＋2cos β)2＝cos2 α＋4cos2 β＋4cos αcos β＝2，(sin α－2sin β)2＝sin2 α＋4sin2 β－4sin αsin β＝3，两式相加可得1＋4＋4(cos αcos β－sin αsin β)＝5＋4cos(α＋β)＝5，所以cos(α＋β)＝0，所以sin2(α＋β)＝1－cos2(α＋β)＝1.故选D.答案：D6．(2020·汉中模拟)若cos＝，则sin(2α－)＝(　　)A．－   B．  C．－   D．解析：设β＝α＋，则α＝β－，所以2α－＝2β－.因为cos＝，所以cos β＝，所以sin(2α－)＝sin(2β－)＝－cos 2β＝1－2cos2 β＝1－2×＝.故选D.答案：D7．已知cos α＋cos β＝，sin α＋sin β＝，则cos(α－β)＝________．解析：因为cos α＋cos β＝，sin α＋sin β＝，所以(cos α＋cos β)2＝cos2 α＋cos2 β＋2cos αcos β＝，(sin α＋sin β)2＝sin2 α＋sin2 β＋2sin αsin β＝，两式相加得2＋2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝－.答案：－8．已知tan α＝，tan＝，则m＝________．解析：由题意知，tan α＝，tan＝＝，所以＝，解得m＝－6或1.答案：－6或19.如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A、B两点，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知S△OAM＝，点B的纵坐标是.(1)求cos(α－β)的值；(2)求2α－β的值．解：(1)由题意，OA＝OM＝1.因为S△OAM＝，α为锐角，所以sin α＝，cos α＝.又点B的纵坐标是，所以sin β＝，cos β＝－.所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×(－)＋×＝－.(2)因为cos 2α＝2cos2 α－1＝2×－1＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，所以2α∈.因为β∈，所以2α－β∈.又因为sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝－，故2α－β＝－.10．已知coscos＝－，α∈.(1)求sin 2α的值；(2)求tan α－的值．解析：(1)coscos＝cossin(＋α)＝sin＝－，即sin＝－.因为α∈，所以2α＋∈，所以cos＝－，所以sin 2α＝sin＝sincos －cossin ＝×－×＝.(2)因为α∈，所以2α∈，由(1)知sin 2α＝，所以cos 2α＝－.所以tan α－＝－＝＝＝－2×＝2.[综合应用练]11．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则cos 2β＝(　　)A．－   B．－1  C．0   D．1解析：由题意知，cos α＝＝，cos(α－β)＝＝，所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝，所以cos 2β＝2cos2 β－1＝2×－1＝0.答案：C12．(2020·太原第二次模拟)已知α∈，β∈，且sin 2αcos β＝2cos2 α(1＋sin β)，则下列结论一定正确的是(　　)A．2α－β＝   B．2α＋β＝C．α＋β＝   D．α－β＝解析：因为sin 2αcos β＝2cos2 α(1＋sin β)，所以2sin αcos αcos β＝2cos2 α(1＋sin β)，因为α∈，所以cos α≠0，所以sin αcos β－cos αsin β＝cos α，即sin(α－β)＝cos α.因为α∈，β∈，所以α－β＋α＝2α－β＝.故选A.答案：A13．若<α<2π，化简＋＝________．解析：因为<α<2π，所以sin α<0，0<cos α<1，所以原式＝＋＝＋＝＋＝－－＝－.答案：－14．(2020·贵州黔东南模拟改编)已知sin α＋3cos α＝－，则tan 2α＝________，tan＝________．解析：因为(sin α＋3cos α)2＝sin2 α＋6sin αcos α＋9cos2 α＝10(sin2 α＋cos2 α)，所以9sin2 α－6sin αcos α＋cos2 α＝0，则(3tan α－1)2＝0，即tan α＝.所以tan 2α＝＝，tan＝＝2.答案：　215．已知函数f(x)＝(sin ωx－cos ωx)cos ωx＋(ω>0)的图象的一条对称轴为x＝π.(1)求ω的最小值；(2)当ω取最小值时，若f ＝，－<α<0，求sin的值．解：(1)f(x)＝(sin ωx－cos ωx)cos ωx＋＝sin ωxcos ωx－cos2 ωx＋＝sin 2ωx－cos 2ωx＝sin.因为函数f(x)的图象的一条对称轴为x＝π，所以πω－＝＋kπ(k∈Z)，所以ω＝1＋k(k∈Z)．又ω>0，所以ω的最小值为1.(2)由(1)知f(x)＝sin.则f ＝sin＝sin＝.因为－<α<0，所以－<α＋<.所以cos>0，则cos＝.所以sin＝sin＝－sin[2(α＋)]－cos＝－2××－2×＋1＝－.[拔高创新练]16．已知tan 2α＝，α∈，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α，且对任意的实数x，不等式f(x)≥0恒成立，则tan α＝________，sin＝________．解析：由tan 2α＝，即＝，得tan α＝或tan α＝－3.又f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α＝2cos xsin α－2sin α≥0恒成立，所以sin α≤0，tan α＝－3，sin α＝－，cos α＝，所以sin＝sin αcos －cos αsin ＝－.答案：－3　－