2020-2021学年4.1 样本的数字特征同步训练题

这是一份2020-2021学年4.1 样本的数字特征同步训练题，共10页。试卷主要包含了8，方差是3，2,3，91．，故选B，5×2＋3＋2等内容，欢迎下载使用。

1.16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩前8位进入决赛．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，那么其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是( )
A．平均数 B．众数
C．中位数 D．方差
2．某鞋店试销一款新女鞋，销售情况如下表：
如果你是鞋店经理，那么下列统计量中对你来说最重要的是( )
A．平均数 B．众数
C．中位数 D．方差
3．据了解，某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下：
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数．
(2)假设副董事长的工资从5 000元提高到20 000元，董事长的工资从5 500元提高到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少(精确到元)?
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．
4.样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本的方差为( )
A.eq \r(\f(6,5)) B.eq \f(6,5)
C.eq \r(2) D．2
5．某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们某次的数学考试成绩如下(单位：分)：
甲组 60,90,85,75,65,70,80,90,95,80；
乙组 85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.
(1)试分别计算两组数据的极差、方差和标准差；
(2)哪一组的成绩较稳定？
6.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20名工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图，则
(1)这20名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是________．
(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为______．
(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为______．
7．某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下：
甲：1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67；
乙：1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75.
经预测，跳高1.65 m就很可能获得冠军．该校为了获取冠军，可能派哪位选手参赛？若预测跳高1.70 m以上方可获得冠军，则可派哪位选手参赛呢？
1．下列关于平均数、中位数、众数的说法中正确的一项是( )
A．中位数可以准确地反映出总体的情况
B．平均数可以准确地反映出总体的情况
C．众数可以准确地反映出总体的情况
D．平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况
2．一个样本的容量为60，分成5组，已知第一组、第三组的频数分别是9,10，第二、五组的频率都为eq \f(1,5)，则该样本的中位数在( )
A．第二组 B．第三组
C．第四组 D．第五组
3．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为( )
A.eq \r(3) B.eq \f(2\r(10),5)
C．3 D.eq \f(8,5)
4．甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表：
则这四人中，成绩发挥最稳定的是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )
A．57.2,3.6 B．57.2,56.4
C．62.8,63.6 D．62.8,3.6
6．(探究题)甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们成绩(环数)的频数条形统计图如图所示，则甲、乙、丙三人训练成绩的方差seq \\al(2,甲)，seq \\al(2,乙)，seq \\al(2,丙)的大小关系是( )
A．seq \\al(2,丙)＞seq \\al(2,乙)＞seq \\al(2,甲) B．seq \\al(2,甲)＞seq \\al(2,丙)＞seq \\al(2,乙)
C．seq \\al(2,丙)＞seq \\al(2,甲)＞seq \\al(2,乙) D．seq \\al(2,乙)＞seq \\al(2,丙)＞seq \\al(2,甲)
7．样本a1，a2，a3，…，a10的平均数为12，样本b1，b2，…，b8的平均数为5，则样本a1，b1，a2，b2，…，a8，b8，a9，a10的平均数为________．
8．对一个做直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据，
上述统计数据的平均值是________，标准差是________．
9．(易错题)一组数据的平均值是eq \(x,\s\up6(－))，标准差是s，将这组数据中的每个数据都乘以2，所得到的一组新数据的平均值是________，标准差是________．
10．据报道，某销售公司有33名职工，他们所在部门及相应每人所创年利润如下表所示(单位：万元)：
(1)求该公司职工每人所创年利润的平均数、中位数、众数、极差；
(2)假设部门A所创年利润从5.5万元提高到30万元，部门B所创年利润由5万元提高到20万元，那么新的平均数、中位数、众数、极差又是多少？
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工每人所创年利润的平均水平？
1．(多选题)为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)统计如下：
甲：26,31,29,28,31.
乙：32,28,31,30,29.
以下结论正确的有( )
A．甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温
B．甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温
C．甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差
D．甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差
2．为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．
3．(学科素养—数据处理)某纺织厂订购一批棉花，其各种长度的纤维所占的比例如下表所示：
(1)请估计这批棉花纤维的平均长度与方差；
(2)如果规定这批棉花纤维的平均长度为4.90厘米，方差不超过1.200，两者允许误差均不超过0.10视为合格产品．请你估计这批棉花的质量是否合格？
§4 用样本估计总体的数字特征
4．1 样本的数字特征
必备知识基础练
1．解析：判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前8位，所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8位高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8位的成绩即可，小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，第8位的成绩就是这15位同学成绩的中位数．
答案：C
2．解析：鞋店经理最关心的是哪种鞋号的鞋销量最大，即数据的众数．
答案：B
3．解析：(1)平均数eq \(x,\s\up6(－))＝1 500＋eq \f(1,33)×(4 000＋3 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×20)≈1 500＋591＝2 091(元)，
中位数是1 500元，众数是1 500元．
(2)新的平均数eq \x\t(x′)＝1 500＋eq \f(1,33)×(28 500＋18 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×20)≈1 500＋1 788＝3 288(元)，
中位数是1 500元，众数是1 500元．
(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司职工的工资水平．因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数的偏差较大，所以平均数不能客观、真实地反映这个公司职工的工资水平．
4．解析：由平均数为1可得eq \f(a＋0＋1＋2＋3,5)＝1，解得a＝－1.所以样本的方差s2＝
eq \f(－1－12＋0－12＋1－12＋2－12＋3－12,5)＝2，故选D.
答案：D
5．解析：(1)甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35(分)，
平均分eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,10)×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)，
方差seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,10)×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119(分2)，
标准差s甲＝eq \r(s\\al(2,甲))＝eq \r(119)≈10.91(分)．
乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30(分)，
平均分eq \(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,10)×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5(分)，
方差seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,10)×[(85－81.5)2＋(95－81.5)2＋(75－81.5)2＋(70－81.5)2＋(85－81.5)2＋(80－81.5)2＋(85－81.5)2＋(65－81.5)2＋(90－81.5)2＋(85－81.5)2]＝75.25(分2)．
标准差s乙＝eq \r(s\\al(2,乙))＝eq \r(75.25)≈8.67(分)．
(2)由于乙组的方差(标准差)小于甲组的方差(标准差)，因此乙组的成绩较稳定．
由极差也可得到乙组的成绩比较稳定．
6．解析：(1)(0.040×10＋0.025×10)×20＝13.
(2)设中位数为x，则0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，解得x＝62.5.
(3)0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64.
答案：(1)13 (2)62.5 (3)64
7．解析：甲的平均成绩和方差如下：
eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,8)×(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋1.67)＝1.69，
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,8)×[(1.70－1.69)2＋(1.65－1.69)2＋…＋(1.67－1.69)2]＝0.0006.
乙的平均成绩和方差如下：
eq \(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,8)×(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)＝1.68，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,8)×[(1.60－1.68)2＋(1.73－1.68)2＋…＋(1.75－1.68)2]＝0.00315.
显然，甲的平均成绩高于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定，由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若跳高1.65 m就很可能获得冠军，应派甲参赛．
在这8次选拔赛中乙有4次成绩在1.70 m以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩的稳定性也不如甲，但成绩突破1.70 m的概率大于甲，所以若跳高1.70 m以上方可获得冠军，应派乙参赛．
关键能力综合练
1．解析：根据平均数、中位数、众数的定义可知平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况．
答案：D
2．解析：第二组的频数为60×eq \f(1,5)＝12，
∵9＋12＝21＜30,9＋12＋10＝31＞30，
∴中位数在第三组．
答案：B
3．解析：因为eq \x\t(x)＝eq \f(100＋40＋90＋60＋10,100)＝3，
所以s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \x\t(x))2＋(x2－eq \x\t(x))2＋…＋(xn－eq \x\t(x))2]＝eq \f(1,100)(20×22＋10×12＋30×12＋10×22)＝eq \f(160,100)＝eq \f(8,5)，
所以s＝eq \f(2\r(10),5).故选B.
答案：B
4．解析：方差是反映一组数据离散程度的量，方差越小，数据波动程度越小．反之，方差越大，数据波动程度越大．甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数都相等，且乙选手成绩的方差最小，因此这四人中成绩发挥最稳定的应该是乙．
答案：B
5．解析：每一个数据都加上60，所得新数据的平均数增加60，而方差保持不变．
答案：D
6．解析：由于方差为表示数据离散程度的量 ，且数据越集中，方差越小，由条形图知，乙图最集中，丙图最分散，故Seq \\al(2,乙)＜Seq \\al(2,甲)＜Seq \\al(2,丙)
答案：C
7．解析：由题知eq \(a,\s\up6(－))＝12，eq \(b,\s\up6(－))＝5，则新样本的平均数为eq \f(12×10＋5×8,10＋8)＝eq \f(80,9).
答案：eq \f(80,9)
8．解析：上述统计数据的平均值eq \(a,\s\up6(－))＝eq \f(1,8)×(40＋41＋43＋43＋44＋46＋47＋48)＝44，
方差s2＝eq \f(1,8)×[(40－44)2＋(41－44)2＋(43－44)2＋(43－44)2＋(44－44)2＋(46－44)2＋(47－44)2＋(48－44)2]＝7.
标准差s＝eq \r(s2)＝eq \r(7).
答案：44 eq \r(7)
9．解析：设该组数据为x1，x2，…，xn，都乘以2后的新数据为2x1,2x2，…，2xn.
由题意知eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(x1＋x2＋…＋xn,n)，
则eq \f(2x1＋2x2＋…＋2xn,n)＝2eq \(x,\s\up6(－)).
又s＝ eq \r(\f(x1－\(x,\s\up6(－))2＋x2－\(x,\s\up6(－))2＋…＋xn－\(x,\s\up6(－))2,n))，
所以 eq \r(\f(2x1－2\(x,\s\up6(－))2＋2x2－2\(x,\s\up6(－))2＋…＋2xn－2\(x,\s\up6(－))2,n))＝2s.
答案：2eq \(x,\s\up6(－)) 2s
10．解析：(1)eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(5.5＋5＋3.5×2＋3＋2.5×5＋2×3＋1.5×20,33)≈2.1(万元)，中位数为1.5万元，众数为1.5万元，极差为4万元．
(2)eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(30＋20＋3.5×2＋3＋2.5×5＋2×3＋1.5×20,33)≈3.3(万元)，中位数为1.5万元，众数为1.5万元，极差为28.5万元．
(3)中位数或众数均能反映该公司职工每人所创年利润的平均水平．这是因为公司中少数人每人所创年利润与大多数人每人所创年利润差别较大，这样导致平均数与中位数或众数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工每人所创年利润的平均水平．
学科素养升级练
1．解析：eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(26＋28＋29＋31＋31,5)＝29，eq \(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(28＋29＋30＋31＋32,5)＝30，seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,5)×[(26－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(31－29)2]＝eq \f(18,5)，s甲＝eq \f(3\r(10),5)，seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,5)×[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2]＝2，s乙＝eq \r(2)，故eq \(x,\s\up6(－))甲＜eq \(x,\s\up6(－))乙，s甲＞s乙，即甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温，甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．故选A、D.
答案：AD
2．解析：设样本数据为x1，x2，x3，x4，x5，
则平均数eq \x\t(x)＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)÷5＝7，
方差s2＝[(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2]÷5＝4.
从而有x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝35 ①，
(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20 ②.
由题意可知，样本数据均为整数，若样本数据中的最大值为11，不妨设x5＝11，则②式变为(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＝4，由于样本数据互不相同，因此这是不可能成立的．
若样本数据为4,6,7,8,10，代入验证知①②式均成立，此时样本数据中的最大值为10.
答案：10
3．解析：(1)eq \x\t(x)＝3×25%＋5×40%＋6×35%＝4.85(厘米)．
s2＝(3－4.85)2×0.25＋(5－4.85)2×0.4＋(6－4.85)2×0.35＝1.327 5(平方厘米)．
由此估计这批棉花纤维的平均长度为4.85厘米，方差为1.327 5平方厘米．
(2)因为4.90－4.85＝0.05<0.10，
1．327 5－1.200＝0.127 5>0.10，故棉花纤维长度的平均值达到标准，但方差超过标准，所以可认为这批产品不合格．
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
平均数、众数、中位数的计算与应用
鞋号
34
35
36
37
38
39
40
41
数量/双
2
5
9
16
9
5
3
2
职务
董事长
副董事长
董事
总经理
经理
管理员
职员
人数
1
1
2
1
5
3
20
工资
5 500
5 000
3 500
3 000
2 500
2 000
1 500
知识点二
方差、标准差的计算与应用
知识点三
样本数字特征的综合应用
关键能力综合练
进阶训练第二层
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
选手
甲
乙
丙
丁
平均数/环
9.2
9.2
9.2
9.2
方差
0.035
0.015
0.025
0.027
观测序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
观测数据ai
40
41
43
43
44
46
47
48
部门
A
B
C
D
E
F
G
人数
1
1
2
1
5
3
20
每人所创年利润
5.5
5
3.5
3
2.5
2
1.5
学科素养升级练
进阶训练第三层
纤维长度(厘米)
3
5
6
所占的比例(%)
25
40
35