作业17－立体几何1（含答案解析）学案

这是一份作业17－立体几何1（含答案解析）学案，共12页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．(2020·陕西省宝鸡市模拟)已知α，β是两个不同的平面，l，又m，n是三条不同的直线，则不正确的命题是( )
A．若m⊥α，n∥α，则m⊥n
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β
D．若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥β
答案 B
解析 A中，若n∥α，则在α中存在一条直线l，使得l∥n，又m⊥α，l⊂α，则m⊥l，又l∥n，那么m⊥n，故正确；B中，若m∥α，n∥α，则m∥n或相交或异面，故不正确；C中，若l∥β，则存在a⊂β，使l∥a，又l⊥α，∴a⊥α，则α⊥β，故正确；D中，若α∥β，且l∥α，则l⊂β或l∥β，又l⊄β，∴l∥β，故正确．故选B.
2.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为棱DD1上的点，F为AB的中点，则三棱锥B1－BFE的体积为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,12) D.eq \f(1,6)
答案 C
解析 由等体积法可知VB1－BFE＝VE－BFB1＝eq \f(1,3)S△BB1F·AD＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×eq \f(1,2)×1＝eq \f(1,12).故选C.
3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，异面直线AC1与BB1所成的角为30°，则AA1＝( )
A.eq \r(3) B．3
C.eq \r(5) D.eq \r(6)
答案 D
解析 如图，连接A1C1，由长方体的性质知BB1∥AA1，则∠A1AC1即为异面直线AC1与BB1所成的角，所以∠A1AC1＝30°.在Rt△A1B1C1中，A1C1＝eq \r(A1B12＋B1C12)＝eq \r(2).在Rt△A1AC1中，tan∠A1AC1＝eq \f(A1C1,AA1)，即AA1＝eq \f(A1C1,tan∠A1AC1)＝eq \f(\r(2),\f(\r(3),3))＝eq \r(6).故选D.
4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，给出下列四个结论：
①点P在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1PC的体积不变；
②点P在直线BC1上运动时，直线AP与平面AD1C所成角的大小不变；
③点P在直线BC1上运动时，二面角P－AD1－C的大小不变；
④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则点M的轨迹是过点D1的直线．
其中正确结论的序号是( )
A．①②④ B．②③④
C．①③④ D．①②③
答案 C
解析 如图，①∵VA－D1PC＝VP－AD1C，BC1∥平面AD1C，∴BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，∴三棱锥A－D1PC的体积不变，∴①正确；②∵直线AB与平面AD1C所成的角和直线AC1与平面AD1C所成的角不相等，∴②不正确；③∵AP⊂平面BC1D1A，∴二面角P－AD1－C的大小即平面BC1D1A与平面CAD1所成角的大小，∴③正确；④∵M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，∴点M的轨迹是平面A1B1C1D1与线段DC1的垂直平分线所在平面的交线，而DD1＝D1C1，∴④正确．故正确结论的序号是①③④.
5.(2020·合肥肥东县高级中学调研)如图，已知P是矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PC的中点．若∠PDA＝45°，则EF与平面ABCD所成角的大小是( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
答案 C
解析 如图，取PD中点G，连接AG，FG，
∵E，F分别为AB，PC的中点，
∴AE＝eq \f(1,2)AB，GF∥DC且GF＝eq \f(1,2)DC，
又∵在矩形ABCD中AB∥CD且AB＝CD，
∴AE∥GF且AE＝GF，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∴AG∥EF，
∴AG与平面ABCD所成的角等于EF与平面ABCD所成的角，
∵PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PA⊥AD，
过G作GH⊥AD，垂足为H，GH⊂平面PAD，则GH∥PA，
∴GH⊥平面ABCD，
∴∠GAH为AG与平面ABCD所成的角，即为所求角，
∵∠PDA＝45°，G为PD的中点，
∴∠GAH＝45°，
即EF与平面ABCD所成的角为45°.故选C.
6．(2020·皖南八校联考)已知圆锥顶点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为eq \f(3,4)，PA与圆锥底面所成角为60°，若△PAB的面积为eq \r(7)，则该圆锥体积为( )
A．2eq \r(2)π B.eq \r(2)π
C.eq \f(2\r(6),3)π D.eq \f(\r(6),3)π
答案 C
解析 如图所示，设底面半径为OA＝r，
∵PA与圆锥底面所成角为60°，
∴∠PAO＝60°，
∴PA＝PB＝2r，∵母线PA，PB所成角的余弦值为eq \f(3,4)，
∴sin∠APB＝eq \f(\r(7),4)，∴eq \f(1,2)(2r)2·eq \f(\r(7),4)＝eq \r(7)⇒r＝eq \r(2)，
∴V＝eq \f(1,3)·S底面·PO＝eq \f(1,3)·(πr2)·eq \r(3)r＝eq \f(2\r(6),3)π.故选C.
7．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O，在构成的三棱锥O－AEF中，下列结论错误的是( )
A．AO⊥平面EOF
B．三棱锥O－AEF的体积为eq \f(1,3)
C．直线AH与平面EOF所成角的正切值为2eq \r(2)
D．AE⊥平面OAH
答案 D
解析 对于A，翻折前，AB⊥BE，AD⊥DF，故翻折后，OA⊥OE，OA⊥OF.又OE∩OF＝O，OE，OF⊂平面EOF，∴OA⊥平面EOF，故正确．
对于B，∵OA⊥平面EOF，∴VO－AEF＝VA－OEF＝eq \f(1,3)·S△OEF·AO＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×1×2＝eq \f(1,3)，故正确．
对于C，连接OH，AH，则∠OHA为AH与平面EOF所成的角．
∵OE＝OF＝1，H是EF的中点，OE⊥OF，
∴OH＝eq \f(1,2)EF＝eq \f(\r(2),2).
又OA＝2，∴tan∠OHA＝eq \f(OA,OH)＝2eq \r(2)，故正确．
对于D，∵OA⊥平面EOF，EF⊂平面EOF，∴OA⊥EF.又OH⊥EF，OA∩OH＝O，OA，OH⊂平面OAH，∴EF⊥平面OAH.
∴EA不可能与平面OAH垂直，故错误．故选D.
8．(2020·厦门市毕业班质量检查)一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，∠B＝∠F＝90°，∠A＝60°，∠D＝45°，BC＝DE.现将两块三角板拼接在一起，取BC中点O与AC中点M，则下列直线与平面OFM所成的角不为定值的是( )
A．AC B．AF
C．BF D．CF
答案 B
解析 因为O，M为中点，所以OM∥AB，所以OM⊥BC，
又OF⊥BC，且OM∩OF＝O，OM，OF⊂平面OMF，
所以BC⊥平面OMF，
所以BF，CF与平面OFM所成的角分别为∠BFO和∠CFO，它们相等，等于45°，
根据直线与平面所成角的定义，知AC与平面OFM所成的角为∠CMO＝∠CAB＝60°.
故只有AF与平面OFM所成的角不为定值．故选B.
9．(2020·北流市实验中学模拟)如图，将边长为eq \r(2)的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得AC＝1，则三棱锥A－BCD的体积为( )
A.eq \f(\r(3),6) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(1,3)
答案 A
解析 如图所示，图1中，连接AC与BD相交于点O，AC⊥BD，
则OA＝OC＝eq \f(1,2)AC＝1，
图2中，△OAC是等边三角形，OA⊥BD，OC⊥BD，OA∩OC＝O，OA⊂平面OAC，OC⊂平面OAC，∴BD⊥平面OAC，
∴三棱锥A－BCD的体积＝eq \f(1,3)×S△OAC×BD＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)×12×2＝eq \f(\r(3),6).故选A.
10．(2020·长郡中学高三适应性考试)已知三棱柱ABC－A1B1C1内接于一个半径为eq \r(3)的球，四边形A1ACC1与B1BCC1均为正方形，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，C1M＝eq \f(1,2)A1B1，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为( )
A.eq \f(3,10) B.eq \f(\r(30),10)
C.eq \f(7,10) D.eq \f(\r(70),10)
答案 B
分析 画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．
解析 如图，取BC的中点为O，连接ON，OA，MN，
则MN∥eq \f(1,2)B1C1綊OB，则四边形MNOB是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO或其补角，
∵M，N分别是A1B1，A1C1的中点，C1M＝eq \f(1,2)A1B1，
∴A1C1⊥B1C1，
由四边形A1ACC1与B1BCC1均为正方形，可得BC＝CA＝CC1，
设BC＝CA＝CC1＝a，
三棱柱ABC－A1B1C1外接球可看作棱长为a的正方体外接球，
∵三棱柱ABC－A1B1C1内接于一个半径为eq \r(3)的球，
∴eq \r(a2＋a2＋a2)＝2eq \r(3)，解得a＝2，
∴BC＝CA＝CC1＝2，CO＝1，AO＝eq \r(5)，AN＝eq \r(5)，NO＝MB＝eq \r(B1M2＋BB12)＝eq \r(（\r(2)）2＋22)＝eq \r(6)，
在△ANO中，由余弦定理可得：
cs∠ANO＝eq \f(AN2＋NO2－AO2,2AN·NO)＝eq \f(6,2×\r(5)×\r(6))＝eq \f(\r(30),10).故选B.
二、多项选择题(在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求)
11．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下列四个命题中正确的是( )
A．若α∥β，则l⊥m B．若α⊥β，则l∥m
C．若l∥m，则α⊥β D．若l∥m，则α∥β
答案 AC
12.如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，△ABC内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点．以下各命题中，真命题是( )
A．BC⊥PC
B．OM与平面APC相交
C．点B到平面PAC的距离等于线段BC的长
D．三棱锥M－PAC的体积等于三棱锥P－ABC的体积的一半
答案 ACD
13.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论正确的是( )
A．D1O∥平面A1BC1
B．D1O⊥平面MAC
C．异面直线BC1与AC所成的角为60°
D．MO⊥平面ABCD
答案 ABC
14．(2020·潍坊高密市高三模拟)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，过对角线BD1作平面α交棱AA1于点F，交棱CC1于点E，下列说法正确的是( )
A．平面α分正方体所得两部分的体积相等
B．四边形BFD1E一定是平行四边形
C．平面α与平面DBB1不可能垂直
D．四边形BFD1E的面积有最大值
答案 ABD
解析 对于A：由正方体的对称性可知，平面α分正方体所得两部分的体积相等，故A正确；
对于B：因为平面ABB1A1∥平面CC1D1D，平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BF，平面BFD1E∩平面CC1D1D＝D1E，所以BF∥D1E.
同理可证：D1F∥BE，故四边形BFD1E一定是平行四边形，故B正确；
对于C：当E，F为棱中点时，EF⊥平面BB1D，又因为EF⊂平面BFD1E，
所以平面BFD1E⊥平面DBB1，故C不正确；
对于D：当F与A重合，当E与C1重合时，四边形BFD1E的面积有最大值，故D正确．故选ABD.
三、填空题
15．(2020·浙江)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________．
答案 1
解析 设圆锥底面半径为r，母线长为l，则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(π×r×l＝2π，,2×π×r＝\f(1,2)×2×π×l，))解得r＝1，l＝2.
16．(2020·江苏)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半轻为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是________ cm3.
答案 12eq \r(3)－eq \f(π,2)
解析 正六棱柱体积为6×eq \f(\r(3),4)×22×2＝12eq \r(3) (cm3)，
圆柱体积为πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)×2＝eq \f(π,2) (cm3)，
所求几何体体积为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(12\r(3)－\f(π,2))) cm3.
17．(2020·运城市联合体模拟)棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1封闭薄壁容器内有一个高为2，底面半径为1的圆柱水平移动，在移动过程中，该圆柱的一个底面恒在平面ABCD内，则该圆柱不能到达的区域的体积为________．
答案 17－2π
解析 该圆柱到达的区域为一个柱体，该柱体的底面积S＝32－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(π,4)))＝5＋π，高为2，体积为10＋2π，所以该圆柱不能到达的区域的体积为33－(10＋2π)＝17－2π.
18．在120°的二面角内有一点P，P到二面角的两个半平面的距离分别为1和3，则P到该二面角棱的距离为________．
答案 eq \f(2\r(21),3)
解析 如图，设点P在两个半平面内的射影分别为C，B，则
在△PCB中，PC＝1，PB＝3，∠CPB＝60°，CB2＝1＋9－2×1×3×cs∠CPB＝7，∴CB＝eq \r(7).
设P到棱的距离为l，则l＝eq \f(CB,sin120°)＝eq \f(2\r(21),3).
19．(2020·深圳市第二次调研)已知正方形ABCD边长为3，点E，F分别在边AB，AD上运动(E不与A，B重合，F不与A，D重合)，将△AEF以EF为折痕折起，当A，E，F位置变化时，所得五棱锥A－EBCDF体积的最大值为________．
答案 2eq \r(3)
解析 不妨设|AE|＝3a，|AF|＝3b，a，b∈(0，1)．
在直角三角形AEF中，易知EF边上的高为h＝eq \f(3ab,\r(a2＋b2)).
又五棱锥A－EBCDF的底面面积为S＝9eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(ab,2)))，
欲使五棱锥A－EBCDF的体积最大，需平面AEF⊥平面EBCDF.
∴Vmax＝eq \f(1,3)Sh＝9eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(ab,2)))·eq \f(ab,\r(a2＋b2)).
∵a2＋b2≥2ab，∴Vmax≤9eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(ab,2)))·eq \f(ab,\r(2ab))＝eq \f(9\r(2),4)(2eq \r(ab)－abeq \r(ab))．
令t＝eq \r(ab)，则t∈(0，1)，∴Vmax≤eq \f(9\r(2),4)(2t－t3)，t∈(0，1)，
令f(t)＝2t－t3，t∈(0，1)，则f′(t)＝2－3t2，
易知当t＝eq \f(\r(6),3)时，f(t)取得最大值eq \f(4\r(6),9).
∴Vmax≤eq \f(9\r(2),4)×eq \f(4\r(6),9)＝2eq \r(3).
综上所述，当a＝b＝eq \f(\r(6),3)时，五棱锥A－EBCDF的体积取得最大值2eq \r(3).
20.(2020·山东日照市第一中学模拟)古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比为常数λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2AD＝2AA1＝6，点E在棱AB上，BE＝2AE，动点P满足BP＝eq \r(3)PE.若点P在平面ABCD内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为________；若点P在长方体ABCD－A1B1C1D1内部运动，F为棱C1D1的中点，M为CP的中点，则三棱锥M－B1CF的体积的最小值为________．
答案 2eq \r(3) eq \f(9,4)
解析 (1)以AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立如图所示的坐标系，在xAy坐标平面中，B(6，0)，E(2，0)，设P(x，y)，
由BP＝eq \r(3)PE得(x－6)2＋y2＝3[(x－2)2＋y2]，
所以x2＋y2＝12，
所以若点P在平面ABCD内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为2eq \r(3).
(2)在A－xyz空间直角坐标系中，B(6，0，0)，E(2，0，0)，设点P(x，y，z)，由BP＝eq \r(3)PE得(x－6)2＋y2＋z2＝3[(x－2)2＋y2＋z2]，
所以x2＋y2＋z2＝12，
由题得F(3，3，3)，B1(6，0，3)，C(6，3，0)，
所以eq \(FB1,\s\up6(→))＝(3，－3，0)，eq \(B1C,\s\up6(→))＝(0，3，－3)，设平面B1CF的法向量为n＝(x0，y0，z0)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(FB1,\s\up6(→))＝3x0－3y0＝0，,n·\(B1C,\s\up6(→))＝3y0－3z0＝0，))故n＝(1，1，1)为其一个法向量，
由题得eq \(CP,\s\up6(→))＝(x－6，y－3，z)，
所以点P到平面B1CF的距离为h＝eq \f(|\(CP,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(|x＋y＋z－9|,\r(3))，
因为(x2＋y2＋z2)(12＋12＋12)≥(x＋y＋z)2，当且仅当x＝y＝z时取等号，所以－6≤x＋y＋z≤6，
所以hmin＝eq \f(|6－9|,\r(3))＝eq \r(3)，所以点M到平面B1CF的最小距离为eq \f(\r(3),2)，
由题得△B1CF为等边三角形，且边长为eq \r(32＋32)＝3eq \r(2)，
所以三棱锥M－B1CF的体积的最小值为eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)×(3eq \r(2))2×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(9,4).
1.如图，一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝4 cm，AC＝6 cm，BD＝8 cm，CD＝2eq \r(17) cm，则这个二面角的度数为( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
答案 B
解析 设所求二面角的大小为θ，则〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝θ，因为eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，所以eq \(DC,\s\up6(→))2＝(eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))2＝eq \(DB,\s\up6(→))2＋eq \(BA,\s\up6(→))2＋eq \(AC,\s\up6(→))2＋2eq \(DB,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＋2eq \(DB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋2eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→)).而依题意可知BD⊥AB，AC⊥AB，所以2eq \(DB,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝0，2eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，所以|eq \(DC,\s\up6(→))|2＝|eq \(DB,\s\up6(→))|2＋|eq \(BA,\s\up6(→))|2＋|eq \(AC,\s\up6(→))|2－2eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))，即4×17＝82＋42＋62－2×8×6csθ，所以csθ＝eq \f(1,2)，而θ∈[0，π]，所以θ＝60°，故选B.
2．(2020·厦门市高中毕业班质检)若平面α⊥平面β，m是β内的任意一条直线，则下列结论正确的是( )
A．任意直线l⊂α，都有l⊥β
B．存在直线l⊂α，使得l∥β
C．任意直线l⊂α，都有l∥m
D．存在直线l⊂α，使得l∥m
答案 B
解析 如图所示，因为平面A1B1C1D1⊥平面DD1C1C，
所以设α＝平面A1B1C1D1，β＝平面DD1C1C，
连接B1D1，则B1D1⊂平面A1B1C1D1，但B1D1不垂直于平面DD1C1C，故A错误；
如A1B1⊂平面A1B1C1D1，A1B1∥平面DD1C1C，故B正确；
连接DC1，A1B1⊂平面A1B1C1D1，DC1⊂平面DD1C1C，但A1B1不平行于DC1，故C错误；
如m＝CC1⊂平面DD1C1C，m⊥平面A1B1C1D1，所以m垂直于平面A1B1C1D1内所有的直线，故不存在直线与之平行，故D错误．故选B.
3．(2020·深圳市第二次调研考试)设α为平面，m，n为两条直线，若m⊥α，则“m⊥n”是“n⊂α”的( )
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 当m⊥α时，如果m⊥n，不一定能推出n⊂α，因为直线n可以在平面α外．当m⊥α时，如果n⊂α，根据线面垂直的性质一定能推出m⊥n，所以若m⊥α，则“m⊥n”是“n⊂α”的必要不充分条件．故选C.
4．【多选题】(2020·山东师范附中模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为2，如图，M为CC1上的动点，AM⊥平面α.下面说法正确的是( )
A．直线AB与平面α所成角的正弦值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2)))
B．点M与点C1重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大
C．点M为CC1的中点时，若平面α经过点B，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形
D．已知N为DD1中点，当AM＋MN的和最小时，M为CC1的中点
答案 AC
解析 对于A，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，∴点A(2，0，0)，B(2，2，0)，设点M(0，2，a)(0≤a≤2)，
∵AM⊥平面α，∴eq \(AM,\s\up6(→))为平面α的一个法向量，且eq \(AM,\s\up6(→))＝(－2，2，a)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，2，0)，
则|cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AM,\s\up6(→))〉|＝eq \f(|\(AB,\s\up6(→))·\(AM,\s\up6(→))|,|\(AB,\s\up6(→))|·|\(AM,\s\up6(→))|)＝eq \f(4,2×\r(a2＋8))＝eq \f(2,\r(a2＋8))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2)))，
∴直线AB与平面α所成角的正弦值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2)))，A正确；
对于B，当M与点C1重合时，如图，连接A1D，BD，A1B，AC1，AC，
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CC1⊥平面ABCD，
∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥CC1，
∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∵CC1∩AC＝C，CC1，AC⊂平面ACC1，∴BD⊥平面ACC1，
∵AC1⊂平面ACC1，∴AC1⊥BD，同理得AC1⊥A1D，
∵A1D∩BD＝D，A1D，BD⊂平面A1BD，∴AC1⊥平面A1BD，
易知△A1BD是边长为2eq \r(2)的等边三角形，其面积为S△A1BD＝eq \f(\r(3),4)×(2eq \r(2))2＝2eq \r(3)，周长为2eq \r(2)×3＝6eq \r(2).
设E，F，Q，N，G，H分别为棱A1D1，A1B1，BB1，BC，CD，DD1的中点，
易知六边形EFQNGH是边长为eq \r(2)的正六边形，且平面EFQNGH∥平面A1BD，
正六边形EFQNGH的周长为6eq \r(2)，面积为6×eq \f(\r(3),4)×(eq \r(2))2＝3eq \r(3)，
则△A1BD的面积小于正六边形EFQNGH的面积，它们的周长相等，B错误；
对于C，建立如图所示的坐标系，设平面α交棱A1D1于点E(b，0，2)，点M(0，2，1)，eq \(AM,\s\up6(→))＝(－2，2，1)，
∵AM⊥平面α，DE⊂平面α，
∴AM⊥DE，即eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(DE,\s\up6(→))＝－2b＋2＝0，得b＝1，∴E＝(1，0，2)，
∴点E为棱A1D1的中点，同理可知，点F为棱A1B1的中点，则F(2，1，2)，eq \(EF,\s\up6(→))＝(1，1，0)，
而eq \(DB,\s\up6(→))＝(2，2，0)，∴eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(DB,\s\up6(→))，∴EF∥DB且EF≠DB，
由空间中两点间的距离公式可得DE＝eq \r(12＋02＋22)＝eq \r(5)，BF＝eq \r(（2－2）2＋（1－2）2＋（2－0）2)＝eq \r(5)，∴DE＝BF，∴四边形BDEF为等腰梯形，C正确；
对于D，将矩形ACC1A1与矩形CC1D1D延展为一个平面，如图所示，
若AM＋MN最短，则A，M，N三点共线，
∵CC1∥DD1，∴eq \f(MC,DN)＝eq \f(AC,AD)＝eq \f(2\r(2),2\r(2)＋2)＝2－eq \r(2)，
∵MC＝2－eq \r(2)≠eq \f(1,2)CC1，所以点M不是棱CC1的中点，D错误．故选AC.