课时过关检测（十五） 导数与函数的单调性

课时过关检测（十五）  导数与函数的单调性

A级——基础达标

1．函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是(　　)

解析：选D　由函数f(x)的图象可知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以在(－∞，0)上，f′(x)＞0；在(0，＋∞)上，f′(x)＜0，选项D满足．

2．已知a为实数，f(x)＝ax3＋3x＋2，若f′(－1)＝－3，则函数f(x)的单调递增区间为(　　)

A．(－，)　　　　　　　 B．

C．(0，) D．

解析：选B　f(x)＝ax3＋3x＋2，则f′(x)＝3ax2＋3，

又f′(－1)＝3a＋3＝－3，解得a＝－2，

∴f′(x)＝－6x2＋3，由f′(x)＞0，解得－＜x＜.

故f(x)的单调递增区间为.

3．已知函数f(x)＝x3＋ax＋4，则“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A　f′(x)＝x2＋a，当a>0时，f′(x)>0，即a>0时，f(x)在R上单调递增；由f(x)在R上单调递增，可得a≥0.故“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．

4．已知函数f(x)＝sin 2x＋4cos x－ax在R上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)

A．[0,3] B．[3，＋∞)

C．(3，＋∞) D．[0，＋∞)

解析：选B　f′(x)＝2cos 2x－4sin x－a＝2(1－2sin2x)－4sin x－a＝－4sin2x－4sin x＋2－a＝－(2sin x＋1)2＋3－a.

由题设，f′(x)≤0在R上恒成立，

因此a≥3－(2sin x＋1)2恒成立，则a≥3.

5．(多选)已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么下列图象中不可能是函数f(x)的图象的是(　　)

解析：选BCD　由导函数图象可得：当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)在(－∞，0)上单调递增；当0<x<2时，f′(x)<0，即函数f(x)在(0,2)上单调递减；当x>2时，f′(x)>0，即函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增．故选B、C、D.

6．(多选)(2021·潍坊中学高二月考)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f′(x)，g′(x)为其导函数，当x＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＜0且g(－3)＝0，则使得不等式f(x)·g(x)＜0成立的x的取值范围是(　　)

A．(－∞，－3) B．(－3,0)

C．(0,3) D．(3，＋∞)

解析：选BD　∵f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，

令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝－h(x)，

故h(x)＝f(x)·g(x)为R上的奇函数，

∵当x＜0时，h′(x)＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＜0，

∴h(x)＝f(x)·g(x)在区间(－∞，0)上单调递减，

∴奇函数h(x)在区间(0，＋∞)上也单调递减，如图，

由g(－3)＝0，∴h(－3)＝－h(3)＝0，

∴当x∈(－3,0)∪(3，＋∞)时，h(x)＝f(x)·g(x)＜0，故选B、D.

7．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间为        ．

解析：f′(x)＝[(x－3)ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.

令f′(x)>0，解得x>2.故所求单调递增区间为(2，＋∞)．

答案：(2，＋∞)

8．已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)≥0的解集为                ．

解析：由f(x)图象特征可得，在和[2，＋∞)上f′(x)≥0, 在 上f′(x)<0，所以xf′(x)≥0⇔或⇔0≤x≤或x≥2，所以xf′(x)≥0的解集为∪[2，＋∞)．

答案：∪[2，＋∞)

9．函数f(x)＝ln x－在定义域内为        函数(填“增”或“减”)．

解析：由已知得f(x)的定义域为(0，＋∞)．

∵f(x)＝ln x－，

∴f′(x)＝－＝.

∵x>0，∴4x2＋3x＋1>0，x(1＋2x)2>0.

∴当x>0时，f′(x)>0.

∴f(x)在(0，＋∞)内为增函数．

答案：增

10．若y＝x＋(a＞0)在[2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是        ．

解析：由y′＝1－≥0，得x≤－a或x≥a.

∴y＝x＋的单调递增区间为(－∞，－a]，[a，＋∞)．

∵函数在[2，＋∞)上单调递增，

∴[2，＋∞)⊆[a，＋∞)，∴a≤2.又a＞0，∴0＜a≤2.

答案：(0,2]

11．已知函数f(x)＝(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．

(1)求实数k的值；

(2)求函数f(x)的单调区间．

解：(1)f′(x)＝(x＞0)．

又由题意知f′(1)＝＝0，所以k＝1.

(2)由(1)知，f′(x)＝(x＞0)．

设h(x)＝－ln x－1(x＞0)，

则h′(x)＝－－＜0，

所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减．

由h(1)＝0知，当0＜x＜1时，h(x)＞0，所以f′(x)＞0；

当x＞1时，h(x)＜0，所以f′(x)＜0.

综上，f(x)的单调增区间是(0,1)，单调减区间为(1，＋∞)．

12．已知函数f(x)＝x3＋x2.

(1)求曲线f(x)在点处的切线方程；

(2)讨论函数y＝f(x)ex的单调性．

解：(1)∵f(x)＝x3＋x2，∴f′(x)＝x2＋2x.

∴f′＝0.

又f＝，

∴曲线f(x)在处的切线方程为y＝.

(2)令g(x)＝f(x)ex＝ex，

∴g′(x)＝ex＋ex

＝x(x＋1)(x＋4)ex.

令g′(x)＝0，解得x＝0，x＝－1或x＝－4，

当x＜－4时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；

当－4＜x＜－1时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；

当－1＜x＜0时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；

当x＞0时，g′(x)＞0，g(x)单调递增．

综上可知，g(x)在(－∞，－4)和(－1,0)上单调递减，在(－4，－1)和(0，＋∞)上单调递增．

B级——综合应用

13．(多选)(2021·全国统一考试模拟演练)已知函数f(x)＝xln(1＋x)，则(　　)

A．f(x)在(0，＋∞)单调递增

B．f(x)有两个零点

C．曲线y＝f(x)在点处切线的斜率为－1－ln 2

D．f(x)是偶函数

解析：选AC　f(x)＝xln(1＋x)定义域为(－1，＋∞)，其导函数f′(x)＝ln(x＋1)＋.

选项A，当x＞0时，f′(x)＝ln(x＋1)＋＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故A正确；

选项B，当－1＜x＜0时，f′(x)＜0，f(x)在(－1,0)上单调递减，又因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝0，所以f(x)≥0且只有一个零点，故B错误；

选项C，f′＝ln＋＝－1－ln 2，故C正确；

选项D，因为f(x)的定义域为(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)不是偶函数，故D错误．

14．若函数f(x)＝－x3＋x2＋2ax在上存在单调递增区间，则a的取值范围是        ．

解析：对f(x)求导，得f′(x)＝－x2＋x＋2a

＝－2＋＋2a.

由题意知，f′(x)＞0在上有解，

当x∈时，f′(x)的最大值为f′＝＋2a.令＋2a＞0，解得a＞－，

所以a的取值范围是.

答案：

15．已知二次函数h(x)＝ax2＋bx＋2，其导函数y＝h′(x)的图象如图所示，f(x)＝6ln x＋h(x)．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若函数f(x)在区间上是单调函数，求实数m的取值范围．

解：(1)由已知，h′(x)＝2ax＋b，其图象为直线，且过(0，－8)，(4,0)两点，把两点坐标代入h′(x)＝2ax＋b，得解得所以h(x)＝x2－8x＋2，f(x)＝6ln x＋x2－8x＋2.

(2)由(1)得f′(x)＝＋2x－8＝.

因为x＞0，所以f′(x)，f(x)的变化如表所示.

所以f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3，＋∞)，单调递减区间为(1,3)，要使函数f(x)在区间上是单调函数，则解得＜m≤.故实数m的取值范围是.

C级——迁移创新

16．(2021·北京高三一模)已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2·在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围．

解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

且f′(x)＝，

当a>0时，f(x)的递增区间为(0,1)，递减区间为(1，＋∞)；

当a<0时，f(x)的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(0,1)；

当a＝0时， f(x)为常函数．

(2)由(1)及题意得f′(2)＝－＝1，即a＝－2，

∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝.

∴g(x)＝x3＋x2－2x，

∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.

∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，

即g′(x)在区间(t,3)上有变号零点．

由于g′(0)＝－2，∴

当g′(t)<0时，即3t2＋(m＋4)t－2<0对任意t∈[1,2]恒成立，

由于g′(0)<0，故只要g′(1)<0且g′(2)<0，

即m<－5且m<－9，即m<－9；

由g′(3)>0，即m>－.∴－<m<－9.

即实数m的取值范围是.