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专题30函数与几何综合问题(共30题)-2020年中考数学真题分项汇编（解析版）【全国通用】
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这是一份专题30函数与几何综合问题(共30题)-2020年中考数学真题分项汇编（解析版）【全国通用】，共60页。
2020年中考数学真题分项汇编（全国通用）
专题30函数与几何综合问题【共30题】
一．解答题（共30小题）
1．（2020•扬州）如图，已知点A（1，2）、B（5，n）（n＞0），点P为线段AB上的一个动点，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点P．小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．”
（1）当n＝1时．
①求线段AB所在直线的函数表达式．
②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值．
（2）若小明的说法完全正确，求n的取值范围．
【分析】（1）①把n＝1代入确定出B的坐标，利用待定系数法求出线段AB所在直线的解析式即可；
②若n＝1，完全同意小明的说法，求出正确k的最大值与最小值即可；
（2）若小明的说法完全正确，把A与B坐标代入反比例解析式，并列出不等式，求出解集即可确定出n的范围．
【解析】（1）①当n＝1时，B（5，1），
设线段AB所在直线的函数表达式为y＝kx+b，
把A（1，2）和B（5，1）代入得：k+b=25k+b=1，
解得：k=-14b=94，
则线段AB所在直线的函数表达式为y=-14x+94；
②不完全同意小明的说法，理由为：
k＝xy＝x（-14x+94）=-14（x-92）2+8116，
∵1≤x≤5，
∴当x＝1时，kmin＝2；
当x=92时，kmax=8116，
则不完全同意；
（2）当n＝2时，A（1，2），B（5，2），符合；
当n≠2时，y=n-24x+10-n4，
k＝x（n-24x+10-n4）=n-24（x-n-102n-4）2+(10-n)216(2-n)，
先增大当x取92时，k为8116，为最大，到B为5时减小，
即在直线上A到x=92时增大，到5时减小，
当92＜x≤5时，k在减小，
当n＜2时，k随x的增大而增大，则有n-102n-4≥5，
此时109≤n＜2；
当n＞2时，k随x的增大而增大，则有n-102n-4≤1，
此时n＞2，
综上，n≥109．
2．（2020•泰州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为BC边上的动点（与B、C不重合），PD∥AB，交AC于点D，连接AP，设CP＝x，△ADP的面积为S．
（1）用含x的代数式表示AD的长；
（2）求S与x的函数表达式，并求当S随x增大而减小时x的取值范围．
【分析】（1）由平行线分线段成比例定理，用x表示CD，进而求得结果；
（2）根据三角形的面积公式列出函数解析式，再根据函数性质求出S随x增大而减小时x的取值范围．
【解析】（1）∵PD∥AB，
∴CPCB=CDCA，
∵AC＝3，BC＝4，CP＝x，
∴x4=CD3，
∴CD=34x，
∴AD＝AC﹣CD＝3-34x，
即AD=-34x+3；
（2）根据题意得，S=12AD⋅CP=12x(-34x+3)=-38(x-2)2+32，
∴当x≥2时，S随x的增大而减小，
∵0＜x＜4，
∴当S随x增大而减小时x的取值范围为2≤x＜4．
3．（2020•滨州）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-12x﹣1与直线y＝﹣2x+2相交于点P，并分别与x轴相交于点A、B．
（1）求交点P的坐标；
（2）求△PAB的面积；
（3）请把图象中直线y＝﹣2x+2在直线y=-12x﹣1上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x的取值范围．
【分析】（1）解析式联立，解方程组即可求得交点P的坐标；
（2）求得A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；
（3）根据图象求得即可．
【解析】（1）由y=-12x-1y=-2x+2解得x=2y=-2，
∴P（2，﹣2）；
（2）直线y=-12x﹣1与直线y＝﹣2x+2中，令y＝0，则-12x﹣1＝0与﹣2x+2＝0，
解得x＝﹣2与x＝1，
∴A（﹣2，0），B（1，0），
∴AB＝3，
∴S△PAB=12AB⋅|yP|=12×3×2=3；
（3）如图所示：
自变量x的取值范围是x＜2．
4．（2020•襄阳）如图，反比例函数y1=mx（x＞0）和一次函数y2＝kx+b的图象都经过点A（1，4）和点B（n，2）．
（1）m＝ 4 ，n＝ 2 ；
（2）求一次函数的解析式，并直接写出y1＜y2时x的取值范围；
（3）若点P是反比例函数y1=mx（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积为 2 ．
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式求出m，得出反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数的解析式，能求出n，即可得出B的坐标；
（2）分别把A、B的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式；根据图象求得y1＜y2时x的取值范围；
（3）根据反比例函数系数k的几何意义即可求得．
【解析】（1）∵把A（1，4）代入y1=mx（x＞0）得：m＝1×4＝4，
∴y=4x，
∵把B（n，2）代入y=4x得：2=4n，
解得n＝2；
故答案为4，2；
（2）把A（1，4）、B（2，2）代入y2＝kx+b得：k+b=42k+b=2，
解得：k＝﹣2，b＝6，
即一次函数的解析式是y＝﹣2x+6．
由图象可知：y1＜y2时x的取值范围是1＜x＜2；
（3）∵点P是反比例函数y1=mx（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，
∴S△POM=12|m|=12×4=2，
故答案为2．
5．（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点A（4，32），点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．
（1）m＝ 6 ，点C的坐标为 （2，0） ；
（2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数图象于点E，求△ODE面积的最大值．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得m的值，根据A点的坐标即可求得C的坐标；
（2）根据待定系数法求得直线AB的解析式，设出D、E的坐标，然后根据三角形面积公式得到S△ODE=-38（x﹣1）2+278，由二次函数的性质即可求得结论．
【解析】（1）∵反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点A（4，32），
∴m=4×32=6，
∵AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．
∴C（2，0）；
故答案为6，（2，0）；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（4，32），C（2，0）代入得4k+b=322k+b=0，解得k=34b=-32，
∴直线AB的解析式为y=34x-32；
∵点D为线段AB上的一个动点，
∴设D（x，34x-32）（0＜x≤4），
∵DE∥y轴，
∴E（x，6x），
∴S△ODE=12x•（6x-34x+32）=-38x2+34x+3=-38（x﹣1）2+278，
∴当x＝1时，△ODE的面积的最大值为278．
6．（2020•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═kx（k≠0）于D、E两点，连结CE，交x轴于点F．
（1）求双曲线y=kx（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）求△DEC的面积．
【分析】（1）作DM⊥y轴于M，通过证得△AOB≌△DMA（AAS），求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得双曲线y=kx（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）解析式联立求得E的坐标，然后根据勾股定理求得DE和DB，进而求得CN的长，即可根据三角形面积公式求得△DEC的面积．
【解析】∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），
∴OA＝2，OB＝1，
作DM⊥y轴于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠OAB+∠DAM＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠DAM＝∠ABO，
在△AOB和△DMA中
∠ABO=∠DAM∠AOB=∠DMA=90°AB=DA，
∴△AOB≌△DMA（AAS），
∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2，
∴D（2，3），
∵双曲线y═kx（k≠0）经过D点，
∴k＝2×3＝6，
∴双曲线为y=6x，
设直线DE的解析式为y＝mx+n，
把B（1，0），D（2，3）代入得m+n=02m+n=3，解得m=3n=-3，
∴直线DE的解析式为y＝3x﹣3；
（2）连接AC，交BD于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD垂直平分AC，AC＝BD，
解y=3x-3y=6x得x=2y=3或x=-1y=-6，
∴E（﹣1，﹣6），
∵B（1，0），D（2，3），
∴DE=(2+1)2+(3+6)2=310，DB=(2-1)2+32=10，
∴CN=12BD=102，
∴S△DEC=12DE•CN=12×310×102=152．
7．（2020•牡丹江）如图，已知直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段OA的长是方程x2﹣7x﹣18＝0的一个根，OB=12OA．请解答下列问题：
（1）求点A，B的坐标；
（2）直线EF交x轴负半轴于点E，交y轴正半轴于点F，交直线AB于点C．若C是EF的中点，OE＝6，反比例函数y=kx图象的一支经过点C，求k的值；
（3）在（2）的条件下，过点C作CD⊥OE，垂足为D，点M在直线AB上，点N在直线CD上．坐标平面内是否存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）解一元二次方程，得到点A的坐标，再根据OB=12OA可得点B坐标；
（2）利用待定系数法求出直线AB的表达式，根据点C是EF的中点，得到点C横坐标，代入可得点C坐标，根据点C在反比例函数图象上求出k值；
（3）画出图形，可得点P共有5个位置，分别求解即可．
【解析】（1）∵线段 的长是方程 的一个根，
解得：x＝9或﹣2（舍），而点A在x轴正半轴，
∴A（9，0），
∵OB=12OA，
∴B（0，92），
（2）∵OE＝6，
∴E（﹣6，0），
设直线AB的表达式为y＝kx+b，将点A和B的坐标代入，
得：0=9k+b92=b，解得：k=-12b=92，
∴AB的表达式为：y=-12x+92，
∵点C是EF的中点，
∴点C的横坐标为﹣3，代入AB中，y＝6，
则C（﹣3，6），
∵反比例函数y=kx经过点C，
则k＝﹣3×6＝﹣18；
（3）存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，
如图，共有5种情况，
在四边形DM1P1N1中，
M1和点A重合，
∴M1（9，0），
此时P1（9，12）；
在四边形DP3BN3中，点B和M重合，
可知M在直线y＝x+3上，
联立：y=x+3y=-12x+92，
解得：x=1y=4，
∴M（1，4），
∴P3（1，0），
同理可得：P2（9，﹣12），P4（﹣7，4），P5（﹣15，0）．
故存在点P使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，
点P的坐标为P1（9，12），P2（9，﹣12），P3（1，0），P4（﹣7，4），P5（﹣15，0）．
8．（2020•广元）如图所示，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A（3，4），B（n，﹣1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在x轴上存在一点C，使△AOC为等腰三角形，求此时点C的坐标；
（3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
【分析】（1）先把A点坐标代入反比例函数解析式求得反比例函数的解析，再把B点坐标代入所求得的反比例函数的解析式，求得B点坐标，最后用待定系数法求出一次函数的解析式便可；
（2）分三种情况：OA＝OC，AO＝AC，CA＝CO，分别求解即可；
（3）根据图象得出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的取值范围即可．
【解析】（1）把A（3，4）代入y=mx，
∴m＝12，
∴反比例函数是y=12x；
把B（n，﹣1）代入y=12x得n＝﹣12．
把A（3，4）、B（﹣12，﹣1）分别代入y＝kx+b中，
得3k+b=4-12k+b=-1，
解得k=13b=3，
∴一次函数的解析式为y=13x+3；
（2）∵A（3，4），
∴OA=32+42=5，
∵△AOC为等腰三角形，
分三种情况：
①当OA＝OC时，OC＝5，
此时点C的坐标为（5，0），（﹣5，0）；
②当AO＝AC时，∵A（3，4），点C和点O关于过A点且垂直于x轴的直线对称，
此时点C的坐标为（6，0）；
③当CA＝CO时，点C在线段OA的垂直平分线上，
过A作AD⊥x轴，垂足为D，
由题意可得：OD＝3，AD＝4，AO＝5，设OC＝x，则AC＝x，
在△ACD中，42+（x﹣3）2＝x2，
解得：x=256，
此时点C的坐标为(256，0)；
综上：点C的坐标为：（6，0），（5，0），(256，0)，（﹣5，0）；
（3）由图得：
当一次函数图象在反比例函数图象上方时，
﹣12＜x＜0或x＞3，
即使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围是：﹣12＜x＜0或x＞3．
9．（2020•常州）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y=8x（x＞0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．
（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；
（2）若BD＝10，求△ACD的面积．
【分析】（1）把把点A（a，4）代入反比例函数关系式可求出a的值，确定点A的坐标，进而求出正比例函数的关系式；
（2）根据BD＝10，求出点B的横坐标，求出OB，代入求出BC，根据三角形的面积公式进行计算即可．
【解析】（1）把点A（a，4）代入反比例函数y=8x（x＞0）得，
a=84=2，
∴点A（2，4），代入y＝kx得，k＝2，
∴正比例函数的关系式为y＝2x，
答：a＝2，正比例函数的关系式为y＝2x；
（2）当BD＝10＝y时，代入y＝2x得，x＝5，
∴OB＝5，
当x＝5代入y=8x得，y=85，即BC=85，
∴CD＝BD﹣BC＝10-85=425，
∴S△ACD=12×425×（5﹣2）＝12.6，
10．（2020•荆州）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y=2|x|的图象与性质共探究过程如下：
（1）绘制函数图象，如图1．
列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝ 1 ；
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
-12
12
1
2
3
…
y
…
23
1
2
4
4
2
m
23
…
描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；
（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；
① 函数的图象关于y轴对称 ；
② 当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小 ；
（3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y=2|x|的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝ 4 ；
②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝ 4 ；
③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y=k|x|（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝ 2k ．
【分析】（1）根据表格中的数据的变化规律得出当x＜0时，xy＝﹣2，而当x＞0时，xy＝2，求出m的值；补全图象；
（2）根据（1）中的图象，得出两条图象的性质；
（3）由图象的对称性，和四边形的面积与k的关系，得出答案．
【解析】（1）当x＜0时，xy＝﹣2，而当x＞0时，xy＝2，
∴m＝1，
故答案为：1；补全图象如图所示：
（2）故答案为：①函数的图象关于y轴对称，②当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小；
（3）如图，①由A，B两点关于y轴对称，由题意可得四边形OABC是平行四边形，且S四边形OABC＝4S△OAM＝4×12|k|＝2|k|＝4，
②同①可知：S四边形OABC＝2|k|＝4，
③S四边形OABC＝2|k|＝2k，
故答案为：4，4，2k．
11．（2020•攀枝花）如图，过直线y＝kx+12上一点P作PD⊥x轴于点D，线段PD交函数y=mx（x＞0）的图象于点C，点C为线段PD的中点，点C关于直线y＝x的对称点C'的坐标为（1，3）．
（1）求k、m的值；
（2）求直线y＝kx+12与函数y=mx（x＞0）图象的交点坐标；
（3）直接写出不等式mx＞kx+12（x＞0）的解集．
【分析】（1）根据点C′在反比例函数图象上求出m值，利用对称性求出点C的坐标，从而得出点P坐标，代入一次函数表达式求出k值；
（2）将两个函数表达式联立，得到一元二次方程，求解即可；
（3）根据（2）中交点坐标，结合图象得出结果．
【解析】（1）∵C′的坐标为（1，3），
代入y=mx（x＞0）中，
得：m＝1×3＝3，
∵C和C′关于直线y＝x对称，
∴点C的坐标为（3，1），
∵点C为PD中点，
∴点P（3，2），
将点P代入y＝kx+12，
∴解得：k=12；
∴k和m的值分别为：3，12；
（2）联立：y=12x+12y=3x，得：x2+x﹣6＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣3（舍），
∴直线y＝kx+12与函数y=mx（x＞0）图象的交点坐标为（2，32）；
（3）∵两个函数的交点为：（2，32），
由图象可知：当0＜x＜2时，反比例函数图象在一次函数图象上面，
∴不等式mx＞kx+12（x＞0）的解集为：0＜x＜2．
12．（2020•岳阳）如图，一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），B两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），使平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点，求b的值．
【分析】（1）根据一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），可得m＝4，进而可求反比例函数的表达式；
（2）根据一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），可得y＝x+5﹣b，根据平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点，联立方程根据判别式＝0即可求出b的值．
【解析】（1）∵一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），
∴m＝4，
∴k＝﹣1×4＝﹣4，
∴反比例函数解析式为：y=-4x；
（2）∵一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），
∴y＝x+5﹣b，
∵平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点，
∴x+5﹣b=-4x，
∴x2+（5﹣b）x+4＝0，
∵△＝（5﹣b）2﹣16＝0，
解得b＝9或1，
答：b的值为9或1．
13．（2020•江西）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连结OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，若∠AOD＝45°，OA＝22．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求∠EOD的度数．
【分析】（1）根据题意求得A（2，2），然后代入y=kx（x＞0），求得k的值，即可求得反比例函数的解析式；
（2）根据AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，得出OA＝AE＝BE，根据直角三角形斜边中线的性质得出CE＝AE＝BE，根据等腰三角形的性质越久三角形外角的性质即可得出∠AOE＝2∠EOD，从而求得∠EOD＝15°．
【解析】（1）∵直线AC⊥x轴，垂足为D，∠AOD＝45°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∵OA＝22，
∴OD＝AD＝2，
∴A（2，2），
∵顶点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的解析式为y=4x；
（2）∵AB＝2OA，点E恰为AB的中点，
∴OA＝AE，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴CE＝AE＝BE，
∴∠AOE＝∠AEO，∠ECB＝∠EBC，
∵∠AEO＝∠ECB+∠EBC＝2∠EBC，
∵BC∥x轴，
∴∠EOD＝∠ECB，
∴∠AOE＝2∠EOD，
∵∠AOD＝45°，
∴∠EOD＝15°．
14．（2020•泰安）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A（3，a），点B（14﹣2a，2）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求△ACD的面积．
【分析】（1）点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上，则3×a＝（14﹣2a）×2，即可求解；
（2）a＝4，故点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2），求出一次函数的表达式为：y=-23x+6，则点C（0，6），故OC＝6，进而求解．
【解析】（1）∵点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上，
∴3×a＝（14﹣2a）×2，解得：a＝4，则m＝3×4＝12，
故反比例函数的表达式为：y=12x；
（2）∵a＝4，故点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2），
设直线AB的表达式为：y＝kx+b，则4=3k+b2=6k+6，解得k=-23b=6，
故一次函数的表达式为：y=-23x+6；
当x＝0时，y＝6，故点C（0，6），故OC＝6，
而点D为点C关于原点O的对称点，则CD＝2OC＝12，
△ACD的面积=12×CD•xA=12×12×3＝18．
15．（2020•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=12x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y=kx的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y=12x+5的图象与反比例函数y=kx的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．
【分析】（1）联立y=12x+5①和y＝﹣2x并解得：x=-2y=4，故点A（﹣2.4），进而求解；
（2）S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC=12×OC•AM-12OC•BN，即可求解．
【解析】（1）联立y=12x+5①和y＝﹣2x并解得：x=-2y=4，故点A（﹣2.4），
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：4=k-2，解得：k＝﹣8，
故反比例函数表达式为：y=-8x②；
（2）联立①②并解得：x＝﹣2或﹣8，
当x＝﹣8时，y=12x+5＝1，故点B（﹣8，1），
设y=12x+5交x轴于点C（﹣10，0），过点A、B分别作x轴的垂线交于点M、N，
则S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC=12×OC•AM-12OC•BN=12×4×10-12×10×1=15．
16．（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数y=mx（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△DPQ面积的最大值．
【分析】（1）由A（0，﹣4）、B（2，0）的坐标可求出一次函数的关系式，进而求出点C的坐标，确定反比例函数的关系式；
（2）根据题意，要使三角形PDQ的面积最大，可用点P的横坐标n，表示三角形PDQ的面积，依据二次函数的最大值的计算方法求出结果即可．
【解析】（1）把A（0，﹣4）、B（2，0）代入一次函数y＝kx+b得，
b=-42k+b=0，解得，k=2b=-4，
∴一次函数的关系式为y＝2x﹣4，
当x＝3时，y＝2×3﹣4＝2，
∴点C（3，2），
∵点C在反比例函数的图象上，
∴k＝3×2＝6，
∴反比例函数的关系式为y=6x，
答：一次函数的关系式为y＝2x﹣4，反比例函数的关系式为y=6x；
（2）点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，
∴点P（n，6n），点Q（n，2n﹣4），
∴PQ=6n-（2n﹣4），
∴S△PDQ=12n[6n-（2n﹣4）]＝﹣n2+2n+3＝﹣（n﹣1）2+4，
∴当n＝1时，S最大＝4，
答：△DPQ面积的最大值是4．
17．（2020•天水）如图所示，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于第二、四象限的点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1），过A点作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．
（1）分别求出a和b的值；
（2）结合图象直接写出mx+n＞kx中x的取值范围；
（3）在y轴上取点P，使PB﹣PA取得最大值时，求出点P的坐标．
【分析】（1）根据△AOC的面积为4和反比例函数图象的位置，可以确定k的值，进而确定反比例函数的关系式，代入可求出点A、B的坐标，求出a、b的值；
（2）根据图象直接写出mx+n＞kx的解集；
（3）求出点A（﹣2，4）关于y轴的对称点A′（2，4），根据题意直线A′B与y轴的交点即为所求的点P，求出直线A′B的关系式，进而求出与y轴的交点坐标即可．
【解析】（1）∵△AOC的面积为4，
∴12|k|＝4，
解得，k＝﹣8，或k＝8（不符合题意舍去），
∴反比例函数的关系式为y=-8x，
把点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1）代入y=-8x得，
a＝4，b＝8；
答：a＝4，b＝8；
（2）根据一次函数与反比例函数的图象可知，不等式mx+n＞kx的解集为x＜﹣2或0＜x＜8；
（3）∵点A（﹣2，4）关于y轴的对称点A′（2，4），
又B（8，﹣1），则直线A′B与y轴的交点即为所求的点P，
设直线A′B的关系式为y＝cx+d，
则有2c+d=48c+d=-1，
解得，c=-56d=173，
∴直线A′B的关系式为y=-56x+173，
∴直线y=-56x+173与y轴的交点坐标为（0，173），
即点P的坐标为（0，173）．
18．（2020•青海）如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线y=-12x2+bx+c经过B、D两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积．（请在图1中探索）
（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上．要使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）
【分析】（1）用待定系数法解答便可；
（2）求出抛物线与坐标轴的交点A、D坐标及抛物线顶点M的坐标，再将四边形ABMC的面积分为三角形的面积的和，进行计算便可；
（3）分两种情况：AB为平行四边形的边；AB为平行四边形的对角线．分别解答便可．
【解析】（1）把B（3，0）和D（﹣2，-52）代入抛物线的解析式得，
-92+3b+c=0-2-2b+c=-52，
解得，b=1c=32，
∴抛物线的解析式为：y=-12x2+x+32；
（2）令x＝0，得y=-12x2+x+32=32，
∴C(0，32)，
令y＝0，得y=-12x2+x+32=0，
解得，x＝﹣1，或x＝3，
∴A（﹣1，0），
∵y=-12x2+x+32=-12(x-1)2+2，
∴M（1，2），
∴S四边形ABMC＝S△AOC+S△COM+S△MOM
=12OA⋅OC+12OC⋅xM+12OB⋅yM
=12×1×32+12×32×1+12×3×2=92；
（3）设Q（0，n），
①当AB为平行四边形的边时，有AB∥PQ，AB＝PQ，
a）．Q点在P点左边时，则Q（﹣4，n），
把Q（﹣4，n）代入y=-12x2+x+32，得
n=-212，
∴P（﹣4，-212）；
②Q点在P点右边时，则Q（4，n），
把Q（4，n）代入y=-12x2+x+32，得
n=-52，
∴P（4，-52）；
③当AB为平行四边形的对角线时，如图2，AB与PQ交于点E，
则E（1，0），
∵PE＝QE，
∴P（2，﹣n），
把P（2，﹣n）代入y=-12x2+x+32，得
﹣n=32，
∴n=-32，
∴P（2，32）．
综上，满足条件的P点坐标为：（﹣4，-212）或（4，-52）或（2，32）．
19．（2020•山西）综合与探究
如图，抛物线y=14x2﹣x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，﹣3）．
（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；
（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m（m≥0），过点P作PM⊥x轴，垂足为M．PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；
（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．
【分析】（1）令y＝0，便可由抛物线的解析式求得A、B点坐标，用待定系数法求得直线AD的解析式；
（2）设P（m，14m2﹣m﹣3），用m表示N点坐标，分两种情况：PM＝3MN；PM＝3PN．分别列出m的方程进行解答便可；
（3）分两种情况，Q点在y轴正半轴上时；Q点在y轴负半轴上时．分别解决问题．
【解析】（1）令y＝0，得y=14x2﹣x﹣3＝0，
解得，x＝﹣2，或x＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），则
-2k+b=04k+b=-3，
解得，k=-12b=-1，
∴直线l的解析式为y=-12x-1；
（2）如图1，根据题意可知，点P与点N的坐标分别为
P（m，14m2﹣m﹣3），N（m，-12m﹣1），
∴PM=-14m2+m+3，MN=12m+1，NP=-14m2+12m+2，
分两种情况：
①当PM＝3MN时，得-14m2+m+3＝3（12m+1），
解得，m＝0，或m＝﹣2（舍），
∴P（0，﹣3）；
②当PM＝3NP时，得-14m2+m+3＝3（-14m2+12m+2），
解得，m＝3，或m＝﹣2（舍），
∴P（3，-154）；
∴当点N是线段PM的三等分点时，点P的坐标为（3，-154）或（0，﹣3）；
（3）∵直线ly=-12x-1与y轴于点E，
∴点E的坐标为（0，﹣1），
分再种情况：①如图2，当点Q在y轴的正半轴上时，记为点Q1，
过Q1作Q1H⊥AD于点H，则∠QE＝∠AOE＝90°，
∵∠Q1EH＝∠AEO，
∴△Q1EH∽△AEO，
∴Q1HAO=EHEO，即Q1H2=EH1
∴Q1H＝2HE，
∵∠Q1DH＝45°，∠Q1HD＝90°，
∴Q1H＝DH，
∴DH＝2EH，
∴HE＝ED，
连接CD，
∵C（0，﹣3），D（4，﹣3），
∴CD⊥y轴，
∴ED=CE2+CD2=22+42=25，
∴HE=ED=25，Q1H=2EH=45，
∴Q1E=Q1H2+EH2=10，
∴Q1O＝Q1E﹣OE＝9，
∴Q1（0，9）；
②如图3，当点Q在y轴的负半轴上时，记为点Q2，过Q2作Q2G⊥AD于G，则∠Q2GE＝∠AOE＝90°，
∵∠Q2EG＝∠AEO，
∴△Q2GE∽△AOE，
∴Q2GAO=EGOE，即Q2G2=EG1，
∴Q2G＝2EG，
∵∠Q2DG＝45°，∠Q2GD＝90°，
∴∠DQ2G＝∠Q2DG＝45°，
∴DG＝Q2G＝2EG，
∴ED＝EG+DG＝3EG，
由①可知，ED＝25，
∴3EG＝25，
∴EG=253，
∴Q2G=453，
∴EQ2=EG2+Q2G2=103，
∴OQ2=OE+EQ2=133，
∴Q2(0，-133)，
综上，点Q的坐标为（0.9）或（0，-133）．
20．（2020•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由一次函数图象与坐标轴交点B、D的坐标，再由对称求得C点坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），由三角形的面积公式求得△MDB的面积关于m的二次函数，最后根据二次函数的最大值的求法，求得m的值，进而得P点的坐标；
（3）分三种情况：M为直角顶点；N为直角顶点；Q为直角顶点．分别得出Q点的坐标．
【解析】（1）令y＝0，得y＝x﹣6＝0，
解得x＝6，
∴B（6，0），
令x＝0，得y＝x﹣6＝﹣6，
∴D（0，﹣6），
∵点C与点D关于x轴对称，
∴C（0，6），
把B、C点坐标代入y＝﹣x2+bx+c中，得
-36+6b+c=0c=6，
解得，b=5c=6，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+5x+6；
（2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），
则MN＝﹣m2+4m+12，
∴△MDB的面积=12MN⋅OB=-3m2+12m+36═﹣3（m﹣2）2+48，
∴当m＝2时，△MDB的面积最大，
此时，P点的坐标为（2，0）；
（3）由（2）知，M（2，12），N（2，﹣4），
当∠QMN＝90°时，QM∥x轴，则Q（0，12）；
当∠MNQ＝90°时，NQ∥x轴，则Q（0，﹣4）；
当∠MQN＝90°时，设Q（0，n），则QM2+QN2＝MN2，
即4+（12﹣n）2+4+（n+4）2＝（12+4）2，
解得，n＝4±55，
∴Q（0，4+55）或（0，4-55）．
综上，存在以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形．其Q点坐标为（0，12）或（0，﹣4）或（0，4+55）或（0，4-55）．
21．（2020•衢州）如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C分别是直线y=-83x+4与坐标轴的交点，点B的坐标为（﹣2，0），点D是边AC上的一点，DE⊥BC于点E，点F在边AB上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，连结DF，EF．设点D的横坐标为m，EF2为l，请探究：
①线段EF长度是否有最小值．
②△BEF能否成为直角三角形．
小明尝试用“观察﹣猜想﹣验证﹣应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题．
（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l随m变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2）．请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l与m可能满足的函数类别．
（2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出l关于m的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF长度的最小值．
（3）小明通过观察，推理，发现△BEF能成为直角三角形，请你求出当△BEF为直角三角形时m的值．
【分析】（1）根据描点法画图即可；
（2）过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，证明Rt△FGK≌Rt△DHK（AAS），由全等三角形的性质得出FG＝DH，可求出F（﹣m，﹣2m+4），根据勾股定理得出l＝EF2＝8m2﹣16m+16＝8（m﹣1）2+8，由二次函数的性质可得出答案；
（3）分三种不同情况，根据直角三角形的性质得出m的方程，解方程求出m的值，则可求出答案．
【解析】（1）用描点法画出图形如图1，由图象可知函数类别为二次函数．
（2）如图2，过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，
则∠FGK＝∠DHK＝90°，
记FD交y轴于点K，
∵D点与F点关于y轴上的K点成中心对称，
∴KF＝KD，
∵∠FKG＝∠DKH，
∴Rt△FGK≌Rt△DHK（AAS），
∴FG＝DH，
∵直线AC的解析式为y=-83x+4，
∴x＝0时，y＝4，
∴A（0，4），
又∵B（﹣2，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴-2k+b=0b=4，
解得k=2b=4，
∴直线AB的解析式为y＝2x+4，
过点F作FR⊥x轴于点R，
∵D点的橫坐标为m，
∴F（﹣m，﹣2m+4），
∴ER＝2m，FR＝﹣2m+4，
∵EF2＝FR2+ER2，
∴l＝EF2＝8m2﹣16m+16＝8（m﹣1）2+8，
令-8x3+4＝0，得x=32，
∴0≤m≤32．
∴当m＝1时，l的最小值为8，
∴EF的最小值为22．
（3）①∠FBE为定角，不可能为直角．
②∠BEF＝90°时，E点与O点重合，D点与A点，F点重合，此时m＝0．
③如图3，∠BFE＝90°时，有BF2+EF2＝BE2．
由（2）得EF2＝8m2﹣16m+16，
又∵BR＝﹣m+2，FR＝﹣2m+4，
∴BF2＝BR2+FR2＝（﹣m+2）2+（﹣2m+4）2＝5m2﹣20m+20，
又∵BE2＝（m+2）2，
∴（5m2﹣20m+20）+（8m2﹣16m+16）＝（m+2）2，
化简得，3m2﹣10m+8＝0，
解得m1=43，m2＝2（不合题意，舍去），
∴m=43．
综合以上可得，当△BEF为直角三角形时，m＝0或m=43．
22．（2020•株洲）如图所示，△OAB的顶点A在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，直线AB交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，且AE＝1．
（1）若点E为线段OC的中点，求k的值；
（2）若△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，其面积小于3．
①求证：△OAE≌△BOF；
②把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为M（x1，y1），N（x2，y2）两点间的“ZJ距离”，记为d（M，N），求d（A，C）+d（A，B）的值．
【分析】（1）由点E为线段OC的中点，可得E点坐标为(0，52)，进而可知A点坐标为：A(1，52)，代入解析式即可求出k；
（2）①由△OAB为等腰直角三角形，可得AO＝OB，再根据同角的余角相等可证∠AOE＝∠FBO，由AAS即可证明△OAE≌△BOF；
②由“ZJ距离”的定义可知d（M，N）为MN两点的水平离与垂直距离之和，故d（A，C）+d（A，B）＝BF+CF，即只需求出B点坐标即可，设点A（1，m），由△OAE≌△BOF可得B（m，﹣1），进而代入直线AB解析式求出k值即可解答．
【解析】（1）∵点E为线段OC的中点，OC＝5，
∴OE=12OC=52，即：E点坐标为(0，52)，
又∵AE⊥y轴，AE＝1，
∴A(1，52)，
∴k=1×52=52．
（2）①在△OAB为等腰直角三角形中，AO＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠AOE+∠FOB＝90°，
又∵BF⊥y轴，
∴∠FBO+∠FOB＝90°，
∴∠AOE＝∠FBO，
在△OAE和△BOF中，
∠AEO=∠OFB=90°∠AOE=∠FBOAO=BO，
∴△OAE≌△BOF（AAS），
②解：设点A坐标为（1，m），
∵△OAE≌△BOF，
∴BF＝OE＝m，OF＝AE＝1，
∴B（m，﹣1），
设直线AB解析式为：lAB：y＝kx+5，将AB两点代入得：
则k+5=mkm+5=-1．
解得k1=-3m1=2，k2=-2m2=3．
当m＝2时，OE＝2，OA=5，S△AOB=52＜3，符合；
∴d（A，C）+d（A，B）＝AE+CE+（BF﹣AE）+（OE+OF）＝1+CE+OE﹣1+OE+1＝1+CE+2OE＝1+CO+OE＝1+5+2＝8，
当m＝3时，OE＝3，OA=10，S△AOB＝5＞3，不符，舍去；
综上所述：d（A，C）+d（A，B）＝8．
23．（2020•广东）如图，点B是反比例函数y=8x（x＞0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG．
（1）填空：k＝ 2 ；
（2）求△BDF的面积；
（3）求证：四边形BDFG为平行四边形．
【分析】（1）设点B（s，t），st＝8，则点M（12s，12t），则k=12s•12t=14st＝2；
（2）△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA﹣S△OAD，即可求解；
（3）确定直线DE的表达式为：y=-12m2x+52m，令y＝0，则x＝5m，故点F（5m，0），即可求解．
【解析】（1）设点B（s，t），st＝8，则点M（12s，12t），
则k=12s•12t=14st＝2，
故答案为2；
（2）△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA﹣S△OAD=12×8-12×2＝3；
（3）设点D（m，2m），则点B（4m，2m），
∵点G与点O关于点C对称，故点G（8m，0），
则点E（4m，12m），
设直线DE的表达式为：y＝sx+n，将点D、E的坐标代入上式得2m=ms+n12m=4ms+n，解得k=-12m2b=52m，
故直线DE的表达式为：y=-12m2x+52m，令y＝0，则x＝5m，故点F（5m，0），
故FG＝8m﹣5m＝3m，而BD＝4m﹣m＝3m＝FG，
则FG∥BD，故四边形BDFG为平行四边形．
24．（2019•沈阳）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B．
（1）k的值是 -12 ；
（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上．
①如图，点E为线段OB的中点，且四边形OCED是平行四边形时，求▱OCED的周长；
②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，连接DE，若△CDE的面积为334，请直接写出点C的坐标．
【分析】（1）根据点A的坐标，利用待定系数法可求出k值；
（2）①利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点B的坐标，由平行四边形的性质结合点E为OB的中点可得出CE是△ABO的中位线，结合点A的坐标可得出CE的长，在Rt△DOE中，利用勾股定理可求出DE的长，再利用平行四边形的周长公式即可求出▱OCED的周长；
②设点C的坐标为（x，-12x+4），则CE＝|x|，CD＝|-12x+4|，利用三角形的面积公式结合△CDE的面积为334可得出关于x的方程，解之即可得出结论．
【解析】（1）将A（8，0）代入y＝kx+4，得：0＝8k+4，
解得：k=-12．
故答案为：-12．
（2）①由（1）可知直线AB的解析式为y=-12x+4．
当x＝0时，y=-12x+4＝4，
∴点B的坐标为（0，4），
∴OB＝4．
∵点E为OB的中点，
∴BE＝OE=12OB＝2．
∵点A的坐标为（8，0），
∴OA＝8．
∵四边形OCED是平行四边形，
∴CE∥DA，
∴BCAC=BEOE=1，
∴BC＝AC，
∴CE是△ABO的中位线，
∴CE=12OA＝4．
∵四边形OCED是平行四边形，
∴OD＝CE＝4，OC＝DE．
在Rt△DOE中，∠DOE＝90°，OD＝4，OE＝2，
∴DE=OD2+OE2=25，
∴C平行四边形OCED＝2（OD+DE）＝2（4+25）＝8+45．
②设点C的坐标为（x，-12x+4），则CE＝|x|，CD＝|-12x+4|，
∴S△CDE=12CD•CE＝|-14x2+2x|=334，
∴x2﹣8x+33＝0或x2﹣8x﹣33＝0．
方程x2﹣8x+33＝0无解；
解方程x2﹣8x﹣33＝0，得：x1＝﹣3，x2＝11，
∴点C的坐标为（﹣3，112）或（11，-32）．
25．（2020•绥化）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，点D是边AB的中点，反比例函数y1=kx（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．
（1）求反比例函数y1=kx（x＞0）的解析式和直线DE的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，△PDE的周长最小值是 5+13 ．
【分析】（1）根据线段中点的定义和矩形的性质得到D（1，4），解方程和方程组即可得到结论；
（2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，此时，△PDE的周长最小，求得直线D′E的解析式为y=-23x+103，于是得到结论；
（3）根据勾股定理即可得到结论．
【解析】（1）∵点D是边AB的中点，AB＝2，
∴AD＝1，
∵四边形OABC是矩形，BC＝4，
∴D（1，4），
∵反比例函数y1=kx（x＞0）的图象经过点D，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为y=4x（x＞0），
当x＝2时，y＝2，
∴E（2，2），
把D（1，4）和E（2，2）代入y2＝mx+n（m≠0）得，2m+n=2m+n=4，
∴m=-2n=6，
∴直线DE的解析式为y＝﹣2x+6；
（2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，
此时，△PDE的周长最小，
∵D点的坐标为（1，4），
∴D′的坐标为（﹣1，4），
设直线D′E的解析式为y＝ax+b，
∴4=-a+b2=2a+b，
解得：a=-23b=103，
∴直线D′E的解析式为y=-23x+103，
令x＝0，得y=103，
∴点P的坐标为（0，103）；
（3）∵D（1，4），E（2，2），
∴BE＝2，BD＝1，
∴DE=12+22=5，
由（2）知，D′的坐标为（﹣1，4），
∴BD′＝3，
∴D′E=22+32=13，
∴△PDE的周长最小值＝DE+D′E=5+13，
故答案为：5+13．
26．（2019•大连）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-34x+3与x轴，y轴分别相交于点A，B，点C在射线BO上，点D在射线BA上，且BD=53OC，以CO，CD为邻边作▱COED．设点C的坐标为（0，m），▱COED在x轴下方部分的面积为S．求：
（1）线段AB的长；
（2）S关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围．
【分析】（1）由直线y=-34x+3与令x＝0，或y＝0，分别求出对应的y、x的值，从而确定A、B两点的坐标；
（2）分两种情况进行分别探究，一种是点C在y轴的正半轴，即①当32＜m≤3时，②当0＜m≤32时，另一种是点C在y轴的负半轴，即，③当﹣3＜m≤0时，④当m＜﹣3时，分别画出相应的图象，根据三角形相似，求出相应的边的长用含有m的代数式表示，再表示面积，从而确定在不同情况下S与m的函数解析式．
【解析】（1）当x＝0时，y＝3，
当y＝0时，x＝4，
∴直线y=-34x+3与x轴点交A（4，0），与y轴交点B（0，3）
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB=32+42=5，
因此：线段AB的长为5．
（2）当CD∥OA时，如图，
∵BD=53OC，OC＝m，
∴BD=53m，
由△BCD∽△BOA得：
BDBA=BCBO，即：53m5=3-m3，解得：m=32；
①当32＜m≤3时，如图1所示：过点D作DF⊥OB，垂足为F，
此时在x轴下方的三角形与△CDF全等，
∵△BDF∽△BAO，
∴BDDF=BAOA=54，
∴DF=43m，同理：BF＝m，
∴CF＝2m﹣3，
∴S△CDF=12DF⋅CF=12（2m﹣3）×43m=43m2﹣2m，
即：S=43m2﹣2m，（32＜m≤3）
②当0＜m≤32时，如图2所示：DE＝m≤32，此时点E在△AOB的内部，
S＝0 （0＜m≤32）；
③当﹣3＜m≤0时，如图3所示：同理可得：点D（-43m，m+3）
设直线CD关系式为y＝kx+b，把C（0，m）、D（-43m，m+3）代入得：
b=m-43mk+b=m+3，解得：k=-94m，b＝m，
直线CD关系式为y=-94mx+m，
当y＝0时，0=-94mx+m，解得x=49m2
F（49m2，0）
∴S△COF=12OC•OF=12（﹣m）×49m2=-29m3，
即：S=-29m3，（﹣3＜m≤0）
④当m＜﹣3时，如图4所示：同理可得：点D（-43m，m+3）
此时，DF＝﹣m﹣3，OC＝﹣m，OF=-43m，
∴S梯形OCDF=12（﹣m﹣3﹣m）×（-43m）=43m2+2m
即：S=43m2+2m （m＜﹣3）
综上所述：S与m的函数关系式为：S=43m2-2m(32＜m≤3)0(0＜m≤32)-29m3(-3＜m≤0)43m2+2m(m≤-3)．
27．（2020•常州）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．
（1）填空：b＝ ﹣4 ；
（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD＝∠ACB，求点P的坐标；
（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．
【分析】（1）将点C坐标代入解析式可求解；
（2）分两种情况讨论，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，可得点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，可得∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE=AEEC=13，∠BCF＝45°，由勾股定理逆定理可得∠BCD＝90°，可求∠ACE＝∠DBC，可得∠ACB＝∠CFD，可得点F与点Q重合，即可求点P坐标；
当点Q在点D下方上，过点C作CH⊥DB于H，在线段BH的延长线上截取HF＝QH，连接CQ交抛物线于点P，先求直线BD解析式，点F坐标，由中点坐标公式可求点Q坐标，求出CQ解析式，联立方程组，可求点P坐标；
（3）设直线AC与BD的交点为N，作CH⊥BD于H，过点N作MN⊥x轴，过点E作EM⊥MN，连接CG，GF，先求出∠CNH＝45°，由轴对称的性质可得EN＝NF，∠ENB＝∠FNB＝45°，由“AAS”可证△EMN≌△NKF，可得EM＝NK=95，MN＝KF，可求CF＝6，由轴对称的性质可得点G坐标，即可求解．
【解析】（1）∵抛物线y＝x2+bx+3的图象过点C（1，0），
∴0＝1+b+3，
∴b＝﹣4，
故答案为：﹣4；
（2）∵b＝4，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3
∵抛物线y＝x2﹣4x+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，
∴点A（0，3），3＝x2﹣4x，
∴x1＝0（舍去），x2＝4，
∴点B（4，3），
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点D坐标（2，﹣1），
如图1，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，
∵点A（0，3），点B（4，3），点C（1，0），CE⊥AB，
∴点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，
∴∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE=AEEC=13，
∴∠BCF＝45°，
∵点B（4，3），点C（1，0），点D（2，﹣1），
∴BC=9+9=32，CD=1+1=2，BD=(4-2)2+(3+1)2=25，
∵BC2+CD2＝20＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∴tan∠DBC=CDBC=232=13=tan∠ACE，
∴∠ACE＝∠DBC，
∴∠ACE+∠ECB＝∠DBC+∠BCF，
∴∠ACB＝∠CFD，
又∵∠CQD＝∠ACB，
∴点F与点Q重合，
∴点P是直线CF与抛物线的交点，
∴0＝x2﹣4x+3，
∴x1＝1，x2＝3，
∴点P（3，0）；
当点Q在点D下方上，过点C作CH⊥DB于H，在线段BH的延长线上截取HF＝QH，连接CQ交抛物线于点P，
∵CH⊥DB，HF＝QH，
∴CF＝CQ，
∴∠CFD＝∠CQD，
∴∠CQD＝∠ACB，
∵CH⊥BD，
∵点B（4，3），点D（2，﹣1），
∴直线BD解析式为：y＝2x﹣5，
∴点F（52，0），
∴直线CH解析式为：y=-12x+12，
∴y=-12x+12y=2x-5，
解得x=115y=-35，
∴点H坐标为（115，-35），
∵FH＝QH，
∴点Q（1910，-65），
∴直线CQ解析式为：y=-43x+43，
联立方程组y=-43x+43y=x2-4x+3，
解得：x1=1y1=0或x2=53y2=-89，
∴点P（53，-89）；
综上所述：点P的坐标为（3，0）或（53，-89）；
（3）如图，设直线AC与BD的交点为N，作CH⊥BD于H，过点N作MN⊥x轴，过点E作EM⊥MN，连接CG，GF，
∵点A（0，3），点C（1，0），
∴直线AC解析式为：y＝﹣3x+3，
∴y=-3x+3y=2x-5，
∴x=85y=-95，
∴点N坐标为（85，-95），
∵点H坐标为（115，-35），
∴CH2＝（115-1）2+（35）2=95，HN2＝（115-85）2+（-35+95）2=95，
∴CH＝HN，
∴∠CNH＝45°，
∵点E关于直线BD对称的点为F，
∴EN＝NF，∠ENB＝∠FNB＝45°，
∴∠ENF＝90°，
∴∠ENM+∠FNM＝90°，
又∵∠ENM+∠MEN＝90°，
∴∠MEN＝∠FNM，
∴△EMN≌△NKF（AAS）
∴EM＝NK=95，MN＝KF，
∴点E的横坐标为-15，
∴点E（-15，185），
∴MN=275=KF，
∴CF=85+275-1＝6，
∵点F关于直线BC对称的点为G，
∴FC＝CG＝6，∠BCF＝∠GCB＝45°，
∴∠GCF＝90°，
∴点G（1，6），
∴AG=12+(6-3)2=10．
28．（2020•营口）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；
①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．
【分析】（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），即可求解；
（2）①分点P（P′）在点C的右侧、点P在点C的左侧两种情况，分别求解即可；
②证明△AGR≌△RHM（AAS），则点M（m+n，n﹣m﹣3），利用点M在抛物线上和AR＝NR，列出等式即可求解．
【解析】（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），
解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3①；
（2）由抛物线的表达式知，点C、D的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4），
由点C、D的坐标知，直线CD的表达式为：y＝x﹣3；
tan∠BCO=13，则cos∠BCO=210；
①当点P（P′）在点C的右侧时，
∵∠PAB＝∠BCO，
故P′B∥y轴，则点P′（1，﹣2）；
当点P在点C的左侧时，
设直线PB交y轴于点H，过点H作HN⊥BC于点N，
∵∠PAB＝∠BCO，
∴△BCH为等腰三角形，则BC＝2CH•cos∠BCO＝2×CH×210=32+12，
解得：CH=53，则OH＝3﹣CH=43，故点H（0，-43），
由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y=43x-43②，
联立①②并解得：x=-5y=-8，
故点P的坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）；
②∵∠PAB＝∠BCO，而tan∠BCO=13，
故设直线AP的表达式为：y=13x+s，将点A的坐标代入上式并解得：s＝1，
故直线AP的表达式为：y=13x+1，
联立①③并解得：x=43y=139，故点N（43，139）；
设△AMN的外接圆为圆R，
当∠ANM＝45°时，则∠ARM＝90°，设圆心R的坐标为（m，n），
∵∠GRA+∠MRH＝90°，∠MRH+∠RMH＝90°，
∴∠RMH＝∠GAR，
∵AR＝MR，∠AGR＝∠RHM＝90°，
∴△AGR≌△RHM（AAS），
∴AG＝m+3＝RH，RG＝﹣n＝MH，
∴点M（m+n，n﹣m﹣3），
将点M的坐标代入抛物线表达式得：n﹣m﹣3＝（m+n）2+2（m+n）﹣3③，
由题意得：AR＝NR，即（m+3）2＝（m-43）2+（139）2④，
联立③④并解得：m=-29n=-109，
故点M（-43，-359）．
29．（2020•哈尔滨）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，OA＝OB，过点A作x轴的垂线与过点O的直线相交于点C，直线OC的解析式为y=34x，过点C作CM⊥y轴，垂足为M，OM＝9．
（1）如图1，求直线AB的解析式；
（2）如图2，点N在线段MC上，连接ON，点P在线段ON上，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交OC于点E，若NC＝OM，求PEOD的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F为线段AB上一点，连接OF，过点F作OF的垂线交线段AC于点Q，连接BQ，过点F作x轴的平行线交BQ于点G，连接PF交x轴于点H，连接EH，若∠DHE＝∠DPH，GQ﹣FG=2AF，求点P的坐标．
【分析】（1）求出A，B两点坐标，利用待定系数法解决问题即可．
（2）由题意直线ON的解析式为y＝3x，设点E的横坐标为4a，则D（4a，0），求出PE，OD（用a表示）即可解决问题．
（3）如图3中，设直线FG交CA的延长线于R，交y轴于S，过点F作FT⊥OA于T．证明△OFS≌△FQR（AAS），推出SF＝QR，再证明△BSG≌△QRG（AAS），推出SG＝GR＝6，设FR＝m，则AR＝m，AF=2m，QR＝SF＝12﹣m，GQ﹣FG=2AF，根据GQ2＝GR2+QR2，可得（m+6）2＝62+（12﹣m）2，解得m＝4，由题意tan∠DHE＝tan∠DPH，可得DEDH=DHPD，由（2）可知DE＝3a，PD＝12a，推出3aDH=DH12a，可得DH＝6a，推出tan∠PHD=PDDH=12a6a=2，由∠PHD＝∠FHT，可得tan∠FHT=TFHT=2，推出HT＝2，再根据OT＝OD+DH+HT，构建方程求出a即可解决问题．
【解析】（1）∵CM⊥y轴，OM＝9，
∴y＝9时，9=34x，解得x＝12，
∴C（12，9），
∵AC⊥x轴，
∴A（12，0），
∵OA＝OB，
∴B（0，﹣12），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有b=-1212k+b=0，
解得k=1b=-12，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣12．
（2）如图2中，
∵∠CMO＝∠MOA＝∠OAC＝90°，
∴四边形OACM是矩形，
∴AO＝CM＝12，
∵NC＝OM＝9，
∴MN＝CM﹣NC＝12﹣9＝3，
∴N（3，9），
∴直线ON的解析式为y＝3x，设点E的横坐标为4a，则D（4a，0），
∴OD＝4a，
把x＝4a，代入y=34x中，得到y＝3a，
∴E（4a，3a），
∴DE＝3a，
把x＝4a代入，y＝3x中，得到y＝12a，
∴P（4a，12a），
∴PD＝12a，
∴PE＝PD﹣DE＝12a﹣3a＝9a，
∴PEOD=94．
（3）如图3中，设直线FG交CA的延长线于R，交y轴于S，过点F作FT⊥OA于T．
∵GF∥x轴，
∴∠OSR＝∠MOA＝90°，∠CAO＝∠R＝90°，∠BOA＝∠BSG＝90°，∠OAB＝∠AFR，
∴∠OFR＝∠R＝∠AOS＝∠BSG＝90°，
∴四边形OSRA是矩形，
∴OS＝AR，
AR＝OA＝12，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
∴∠FAR＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FAR＝∠AFR，
∴FR＝AR＝OS，
∵OF⊥FQ，
∴∠OSR＝∠R＝∠OFQ＝90°，
∴∠OFS+∠QFR＝90°，
∵∠QFR+∠FQR＝90°，
∴∠OFS＝∠FQR，
∴△OFS≌△FQR（AAS），
∴SF＝QR，
∵∠SFB＝∠AFR＝45°，
∴∠SBF＝∠SFB＝45°，
∴SF＝SB＝QR，
∵∠SGB＝∠QGR，∠BSG＝∠R，
∴△BSG≌△QRG（AAS），
∴SG＝GR＝6，
设FR＝m，则AR＝m，AF=2m，QR＝SF＝12﹣m，
∵GQ﹣FG=2AF，
∴GQ=2×2m+6﹣m＝m+6，
∵GQ2＝GR2+QR2，
∴（m+6）2＝62+（12﹣m）2，
解得m＝4，
∴FS＝8，AR＝4，
∵∠OAB＝∠FAR，FT⊥OA，FR⊥AR，
∴FT＝FR＝AR＝4，∠OTF＝90°，
∴四边形OSFT是矩形，
∴OT＝SF＝8，
∵∠DHE＝∠DPH，
∴tan∠DHE＝tan∠DPH，
∴DEDH=DHPD，
由（2）可知DE＝3a，PD＝12a，
∴3aDH=DH12a，
∴DH＝6a，
∴tan∠PHD=PDDH=12a6a=2，
∵∠PHD＝∠FHT，
∴tan∠FHT=TFHT=2，
∴HT＝2，
∵OT＝OD+DH+HT，
∴4a+6a+2＝8，
∴a=35，
∴OD=125，PD＝12×35=365，
∴P（125，365）．
30．（2020•金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知OB＝8．
（1）求证：四边形AEFD为菱形．
（2）求四边形AEFD的面积．
（3）若点P在x轴正半轴上（异于点D），点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P，Q，G为顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由．
【分析】（1）根据邻边相等的四边形是菱形证明即可．
（2）连接DE，求出△ADE的面积即可解决问题．
（3）首先证明AK＝3DK，①当AP为菱形的一边，点Q在x轴的上方，有图2，图3两种情形．②当AP为菱形的边，点Q在x轴的下方时，有图4，图5两种情形．③如图6中，当AP为菱形的对角线时，有图6一种情形．分别利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵AE∥DF，AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵四边形ABOC是正方形，
∴AC＝AB＝OC＝OB，∠ACE＝∠ABD＝90°，
∵E，D分别是OC，OB的中点，
∴CE＝BD，
∴△CAE≌△ABD（SAS），
∴AE＝AD，
∴四边形AEFD是菱形．
（2）解：如图1中，连接DE．
∵S△ADB＝S△ACE=12×8×4＝16，
S△EOD=12×4×4＝8，
∴S△AED＝S正方形ABOC﹣2S△ABD﹣S△EOD＝64﹣2×16﹣8＝24，
∴S菱形AEFD＝2S△AED＝48．
（3）解：如图1中，连接AF，设AF交DE于K，
∵OE＝OD＝4，OK⊥DE，
∴KE＝KD，
∴OK＝KE＝KD＝22，
∵AO＝82，
∴AK＝62，
∴AK＝3DK，
①当AP为菱形的一边，点Q在x轴的上方，有图2，图3两种情形：
如图2中，设AG交PQ于H，过点H作HN⊥x轴于N，交AC于M，设AM＝t．
∵菱形PAQG∽菱形ADFE，
∴PH＝3AH，
∵HN∥OQ，QH＝HP，
∴ON＝NP，
∴HN是△PQO的中位线，
∴ON＝PN＝8﹣t，
∵∠MAH＝∠PHN＝90°﹣∠AHM，∠PNH＝∠AMH＝90°，
∴△HMA∽△PNH，
∴AMNH=MHPN=AHPH=13，
∴HN＝3AM＝3t，
∴MH＝MN﹣NH＝8﹣3t，
∵PN＝3MH，
∴8﹣t＝3（8﹣3t），
∴t＝2，
∴OP＝2ON＝2（8﹣t）＝12，
∴P（12，0）．
如图3中，过点H作HI⊥y轴于I，过点P作PN⊥x轴交IH于N，延长BA交IN于M．
同法可证：△AMH∽△HNP，
∴AMHN=MHPN=AHHP=13，设MH＝t，
∴PN＝3MH＝3t，
∴AM＝BM﹣AB＝3t﹣8，
∵HI是△OPQ的中位线，
∴OP＝2IH，
∴HI＝HN，
∴8+t＝9t﹣24，
∴t＝4，
∴OP＝2HI＝2（8+t）＝24，
∴P（24，0）．
②当AP为菱形的边，点Q在x轴的下方时，有图4，图5两种情形：
如图4中，QH＝3PH，过点H作HM⊥OC于M，过D点P作PN⊥MH于N．
∵MH是△QAC的中位线，
∴MH=12AC＝4，
同法可得：△HPN∽△QHM，
∴NPHM=HNMQ=PHQH=13，
∴PN=13HM=43，
∴OM＝PN=43，设HN＝t，则MQ＝3t，
∵MQ＝MC，
∴3t＝8-43，
∴t=209，
∴OP＝MN＝4+t=569，
∴点P的坐标为（569，0）．
如图5中，QH＝3PH，过点H作HM⊥x轴于M交AC于I，过点Q作QN⊥HM于N．
∵IH是△ACQ的中位线，
∴CQ＝2HI，NQ＝CI＝4，
同法可得：△PMH∽△HNQ，
∴MHNQ=PMHN=PHHQ=13，则MH=13NQ=43，
设PM＝t，则HN＝3t，
∵HN＝HI，
∴3t＝8+43，
∴t=289，
∴OP＝OM﹣PM＝QN﹣PM＝4﹣t=89，
∴P（89，0）．
③如图6中，当AP为菱形的对角线时，有图6一种情形：
过点H作HM⊥y轴于于点M，交AB于I，过点P作PN⊥HM于N．
∵HI∥x轴，AH＝HP，
∴AI＝IB＝4，
∴PN＝IB＝4，
同法可得：△PNH∽△HMQ，
∴PNHM=HNMQ=PHHQ=13，
∴MH＝3PN＝12，HI＝MH﹣MI＝4，
∵HI是△ABP的中位线，
∴BP＝2IH＝8，
∴OP＝OB+BP＝16，
∴P（16，0），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（12，0）或（24，0）或（569，0）或（89，0）或（16，0）．
2020年中考数学真题分项汇编（全国通用）
专题30函数与几何综合问题【共30题】
一．解答题（共30小题）
1．（2020•扬州）如图，已知点A（1，2）、B（5，n）（n＞0），点P为线段AB上的一个动点，反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点P．小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．”
（1）当n＝1时．
①求线段AB所在直线的函数表达式．
②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值．
（2）若小明的说法完全正确，求n的取值范围．
【分析】（1）①把n＝1代入确定出B的坐标，利用待定系数法求出线段AB所在直线的解析式即可；
②若n＝1，完全同意小明的说法，求出正确k的最大值与最小值即可；
（2）若小明的说法完全正确，把A与B坐标代入反比例解析式，并列出不等式，求出解集即可确定出n的范围．
【解析】（1）①当n＝1时，B（5，1），
设线段AB所在直线的函数表达式为y＝kx+b，
把A（1，2）和B（5，1）代入得：k+b=25k+b=1，
解得：k=-14b=94，
则线段AB所在直线的函数表达式为y=-14x+94；
②不完全同意小明的说法，理由为：
k＝xy＝x（-14x+94）=-14（x-92）2+8116，
∵1≤x≤5，
∴当x＝1时，kmin＝2；
当x=92时，kmax=8116，
则不完全同意；
（2）当n＝2时，A（1，2），B（5，2），符合；
当n≠2时，y=n-24x+10-n4，
k＝x（n-24x+10-n4）=n-24（x-n-102n-4）2+(10-n)216(2-n)，
先增大当x取92时，k为8116，为最大，到B为5时减小，
即在直线上A到x=92时增大，到5时减小，
当92＜x≤5时，k在减小，
当n＜2时，k随x的增大而增大，则有n-102n-4≥5，
此时109≤n＜2；
当n＞2时，k随x的增大而增大，则有n-102n-4≤1，
此时n＞2，
综上，n≥109．
2．（2020•泰州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为BC边上的动点（与B、C不重合），PD∥AB，交AC于点D，连接AP，设CP＝x，△ADP的面积为S．
（1）用含x的代数式表示AD的长；
（2）求S与x的函数表达式，并求当S随x增大而减小时x的取值范围．
【分析】（1）由平行线分线段成比例定理，用x表示CD，进而求得结果；
（2）根据三角形的面积公式列出函数解析式，再根据函数性质求出S随x增大而减小时x的取值范围．
【解析】（1）∵PD∥AB，
∴CPCB=CDCA，
∵AC＝3，BC＝4，CP＝x，
∴x4=CD3，
∴CD=34x，
∴AD＝AC﹣CD＝3-34x，
即AD=-34x+3；
（2）根据题意得，S=12AD⋅CP=12x(-34x+3)=-38(x-2)2+32，
∴当x≥2时，S随x的增大而减小，
∵0＜x＜4，
∴当S随x增大而减小时x的取值范围为2≤x＜4．
3．（2020•滨州）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-12x﹣1与直线y＝﹣2x+2相交于点P，并分别与x轴相交于点A、B．
（1）求交点P的坐标；
（2）求△PAB的面积；
（3）请把图象中直线y＝﹣2x+2在直线y=-12x﹣1上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x的取值范围．
【分析】（1）解析式联立，解方程组即可求得交点P的坐标；
（2）求得A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；
（3）根据图象求得即可．
【解析】（1）由y=-12x-1y=-2x+2解得x=2y=-2，
∴P（2，﹣2）；
（2）直线y=-12x﹣1与直线y＝﹣2x+2中，令y＝0，则-12x﹣1＝0与﹣2x+2＝0，
解得x＝﹣2与x＝1，
∴A（﹣2，0），B（1，0），
∴AB＝3，
∴S△PAB=12AB⋅|yP|=12×3×2=3；
（3）如图所示：
自变量x的取值范围是x＜2．
4．（2020•襄阳）如图，反比例函数y1=mx（x＞0）和一次函数y2＝kx+b的图象都经过点A（1，4）和点B（n，2）．
（1）m＝ 4 ，n＝ 2 ；
（2）求一次函数的解析式，并直接写出y1＜y2时x的取值范围；
（3）若点P是反比例函数y1=mx（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积为 2 ．
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式求出m，得出反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数的解析式，能求出n，即可得出B的坐标；
（2）分别把A、B的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式；根据图象求得y1＜y2时x的取值范围；
（3）根据反比例函数系数k的几何意义即可求得．
【解析】（1）∵把A（1，4）代入y1=mx（x＞0）得：m＝1×4＝4，
∴y=4x，
∵把B（n，2）代入y=4x得：2=4n，
解得n＝2；
故答案为4，2；
（2）把A（1，4）、B（2，2）代入y2＝kx+b得：k+b=42k+b=2，
解得：k＝﹣2，b＝6，
即一次函数的解析式是y＝﹣2x+6．
由图象可知：y1＜y2时x的取值范围是1＜x＜2；
（3）∵点P是反比例函数y1=mx（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，
∴S△POM=12|m|=12×4=2，
故答案为2．
5．（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点A（4，32），点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．
（1）m＝ 6 ，点C的坐标为 （2，0） ；
（2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数图象于点E，求△ODE面积的最大值．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得m的值，根据A点的坐标即可求得C的坐标；
（2）根据待定系数法求得直线AB的解析式，设出D、E的坐标，然后根据三角形面积公式得到S△ODE=-38（x﹣1）2+278，由二次函数的性质即可求得结论．
【解析】（1）∵反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点A（4，32），
∴m=4×32=6，
∵AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．
∴C（2，0）；
故答案为6，（2，0）；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（4，32），C（2，0）代入得4k+b=322k+b=0，解得k=34b=-32，
∴直线AB的解析式为y=34x-32；
∵点D为线段AB上的一个动点，
∴设D（x，34x-32）（0＜x≤4），
∵DE∥y轴，
∴E（x，6x），
∴S△ODE=12x•（6x-34x+32）=-38x2+34x+3=-38（x﹣1）2+278，
∴当x＝1时，△ODE的面积的最大值为278．
6．（2020•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═kx（k≠0）于D、E两点，连结CE，交x轴于点F．
（1）求双曲线y=kx（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）求△DEC的面积．
【分析】（1）作DM⊥y轴于M，通过证得△AOB≌△DMA（AAS），求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得双曲线y=kx（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）解析式联立求得E的坐标，然后根据勾股定理求得DE和DB，进而求得CN的长，即可根据三角形面积公式求得△DEC的面积．
【解析】∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），
∴OA＝2，OB＝1，
作DM⊥y轴于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠OAB+∠DAM＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠DAM＝∠ABO，
在△AOB和△DMA中
∠ABO=∠DAM∠AOB=∠DMA=90°AB=DA，
∴△AOB≌△DMA（AAS），
∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2，
∴D（2，3），
∵双曲线y═kx（k≠0）经过D点，
∴k＝2×3＝6，
∴双曲线为y=6x，
设直线DE的解析式为y＝mx+n，
把B（1，0），D（2，3）代入得m+n=02m+n=3，解得m=3n=-3，
∴直线DE的解析式为y＝3x﹣3；
（2）连接AC，交BD于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD垂直平分AC，AC＝BD，
解y=3x-3y=6x得x=2y=3或x=-1y=-6，
∴E（﹣1，﹣6），
∵B（1，0），D（2，3），
∴DE=(2+1)2+(3+6)2=310，DB=(2-1)2+32=10，
∴CN=12BD=102，
∴S△DEC=12DE•CN=12×310×102=152．
7．（2020•牡丹江）如图，已知直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段OA的长是方程x2﹣7x﹣18＝0的一个根，OB=12OA．请解答下列问题：
（1）求点A，B的坐标；
（2）直线EF交x轴负半轴于点E，交y轴正半轴于点F，交直线AB于点C．若C是EF的中点，OE＝6，反比例函数y=kx图象的一支经过点C，求k的值；
（3）在（2）的条件下，过点C作CD⊥OE，垂足为D，点M在直线AB上，点N在直线CD上．坐标平面内是否存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）解一元二次方程，得到点A的坐标，再根据OB=12OA可得点B坐标；
（2）利用待定系数法求出直线AB的表达式，根据点C是EF的中点，得到点C横坐标，代入可得点C坐标，根据点C在反比例函数图象上求出k值；
（3）画出图形，可得点P共有5个位置，分别求解即可．
【解析】（1）∵线段 的长是方程 的一个根，
解得：x＝9或﹣2（舍），而点A在x轴正半轴，
∴A（9，0），
∵OB=12OA，
∴B（0，92），
（2）∵OE＝6，
∴E（﹣6，0），
设直线AB的表达式为y＝kx+b，将点A和B的坐标代入，
得：0=9k+b92=b，解得：k=-12b=92，
∴AB的表达式为：y=-12x+92，
∵点C是EF的中点，
∴点C的横坐标为﹣3，代入AB中，y＝6，
则C（﹣3，6），
∵反比例函数y=kx经过点C，
则k＝﹣3×6＝﹣18；
（3）存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，
如图，共有5种情况，
在四边形DM1P1N1中，
M1和点A重合，
∴M1（9，0），
此时P1（9，12）；
在四边形DP3BN3中，点B和M重合，
可知M在直线y＝x+3上，
联立：y=x+3y=-12x+92，
解得：x=1y=4，
∴M（1，4），
∴P3（1，0），
同理可得：P2（9，﹣12），P4（﹣7，4），P5（﹣15，0）．
故存在点P使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，
点P的坐标为P1（9，12），P2（9，﹣12），P3（1，0），P4（﹣7，4），P5（﹣15，0）．
8．（2020•广元）如图所示，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A（3，4），B（n，﹣1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在x轴上存在一点C，使△AOC为等腰三角形，求此时点C的坐标；
（3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
【分析】（1）先把A点坐标代入反比例函数解析式求得反比例函数的解析，再把B点坐标代入所求得的反比例函数的解析式，求得B点坐标，最后用待定系数法求出一次函数的解析式便可；
（2）分三种情况：OA＝OC，AO＝AC，CA＝CO，分别求解即可；
（3）根据图象得出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的取值范围即可．
【解析】（1）把A（3，4）代入y=mx，
∴m＝12，
∴反比例函数是y=12x；
把B（n，﹣1）代入y=12x得n＝﹣12．
把A（3，4）、B（﹣12，﹣1）分别代入y＝kx+b中，
得3k+b=4-12k+b=-1，
解得k=13b=3，
∴一次函数的解析式为y=13x+3；
（2）∵A（3，4），
∴OA=32+42=5，
∵△AOC为等腰三角形，
分三种情况：
①当OA＝OC时，OC＝5，
此时点C的坐标为（5，0），（﹣5，0）；
②当AO＝AC时，∵A（3，4），点C和点O关于过A点且垂直于x轴的直线对称，
此时点C的坐标为（6，0）；
③当CA＝CO时，点C在线段OA的垂直平分线上，
过A作AD⊥x轴，垂足为D，
由题意可得：OD＝3，AD＝4，AO＝5，设OC＝x，则AC＝x，
在△ACD中，42+（x﹣3）2＝x2，
解得：x=256，
此时点C的坐标为(256，0)；
综上：点C的坐标为：（6，0），（5，0），(256，0)，（﹣5，0）；
（3）由图得：
当一次函数图象在反比例函数图象上方时，
﹣12＜x＜0或x＞3，
即使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围是：﹣12＜x＜0或x＞3．
9．（2020•常州）如图，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y=8x（x＞0）的图象交于点A（a，4）．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D．
（1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式；
（2）若BD＝10，求△ACD的面积．
【分析】（1）把把点A（a，4）代入反比例函数关系式可求出a的值，确定点A的坐标，进而求出正比例函数的关系式；
（2）根据BD＝10，求出点B的横坐标，求出OB，代入求出BC，根据三角形的面积公式进行计算即可．
【解析】（1）把点A（a，4）代入反比例函数y=8x（x＞0）得，
a=84=2，
∴点A（2，4），代入y＝kx得，k＝2，
∴正比例函数的关系式为y＝2x，
答：a＝2，正比例函数的关系式为y＝2x；
（2）当BD＝10＝y时，代入y＝2x得，x＝5，
∴OB＝5，
当x＝5代入y=8x得，y=85，即BC=85，
∴CD＝BD﹣BC＝10-85=425，
∴S△ACD=12×425×（5﹣2）＝12.6，
10．（2020•荆州）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y=2|x|的图象与性质共探究过程如下：
（1）绘制函数图象，如图1．
列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝ 1 ；
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
-12
12
1
2
3
…
y
…
23
1
2
4
4
2
m
23
…
描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；
（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；
① 函数的图象关于y轴对称 ；
② 当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小 ；
（3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y=2|x|的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝ 4 ；
②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝ 4 ；
③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y=k|x|（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝ 2k ．
【分析】（1）根据表格中的数据的变化规律得出当x＜0时，xy＝﹣2，而当x＞0时，xy＝2，求出m的值；补全图象；
（2）根据（1）中的图象，得出两条图象的性质；
（3）由图象的对称性，和四边形的面积与k的关系，得出答案．
【解析】（1）当x＜0时，xy＝﹣2，而当x＞0时，xy＝2，
∴m＝1，
故答案为：1；补全图象如图所示：
（2）故答案为：①函数的图象关于y轴对称，②当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小；
（3）如图，①由A，B两点关于y轴对称，由题意可得四边形OABC是平行四边形，且S四边形OABC＝4S△OAM＝4×12|k|＝2|k|＝4，
②同①可知：S四边形OABC＝2|k|＝4，
③S四边形OABC＝2|k|＝2k，
故答案为：4，4，2k．
11．（2020•攀枝花）如图，过直线y＝kx+12上一点P作PD⊥x轴于点D，线段PD交函数y=mx（x＞0）的图象于点C，点C为线段PD的中点，点C关于直线y＝x的对称点C'的坐标为（1，3）．
（1）求k、m的值；
（2）求直线y＝kx+12与函数y=mx（x＞0）图象的交点坐标；
（3）直接写出不等式mx＞kx+12（x＞0）的解集．
【分析】（1）根据点C′在反比例函数图象上求出m值，利用对称性求出点C的坐标，从而得出点P坐标，代入一次函数表达式求出k值；
（2）将两个函数表达式联立，得到一元二次方程，求解即可；
（3）根据（2）中交点坐标，结合图象得出结果．
【解析】（1）∵C′的坐标为（1，3），
代入y=mx（x＞0）中，
得：m＝1×3＝3，
∵C和C′关于直线y＝x对称，
∴点C的坐标为（3，1），
∵点C为PD中点，
∴点P（3，2），
将点P代入y＝kx+12，
∴解得：k=12；
∴k和m的值分别为：3，12；
（2）联立：y=12x+12y=3x，得：x2+x﹣6＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣3（舍），
∴直线y＝kx+12与函数y=mx（x＞0）图象的交点坐标为（2，32）；
（3）∵两个函数的交点为：（2，32），
由图象可知：当0＜x＜2时，反比例函数图象在一次函数图象上面，
∴不等式mx＞kx+12（x＞0）的解集为：0＜x＜2．
12．（2020•岳阳）如图，一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），B两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），使平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点，求b的值．
【分析】（1）根据一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），可得m＝4，进而可求反比例函数的表达式；
（2）根据一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），可得y＝x+5﹣b，根据平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点，联立方程根据判别式＝0即可求出b的值．
【解析】（1）∵一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），
∴m＝4，
∴k＝﹣1×4＝﹣4，
∴反比例函数解析式为：y=-4x；
（2）∵一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），
∴y＝x+5﹣b，
∵平移后的图象与反比例函数y=kx的图象有且只有一个交点，
∴x+5﹣b=-4x，
∴x2+（5﹣b）x+4＝0，
∵△＝（5﹣b）2﹣16＝0，
解得b＝9或1，
答：b的值为9或1．
13．（2020•江西）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连结OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，若∠AOD＝45°，OA＝22．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求∠EOD的度数．
【分析】（1）根据题意求得A（2，2），然后代入y=kx（x＞0），求得k的值，即可求得反比例函数的解析式；
（2）根据AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，得出OA＝AE＝BE，根据直角三角形斜边中线的性质得出CE＝AE＝BE，根据等腰三角形的性质越久三角形外角的性质即可得出∠AOE＝2∠EOD，从而求得∠EOD＝15°．
【解析】（1）∵直线AC⊥x轴，垂足为D，∠AOD＝45°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∵OA＝22，
∴OD＝AD＝2，
∴A（2，2），
∵顶点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的解析式为y=4x；
（2）∵AB＝2OA，点E恰为AB的中点，
∴OA＝AE，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴CE＝AE＝BE，
∴∠AOE＝∠AEO，∠ECB＝∠EBC，
∵∠AEO＝∠ECB+∠EBC＝2∠EBC，
∵BC∥x轴，
∴∠EOD＝∠ECB，
∴∠AOE＝2∠EOD，
∵∠AOD＝45°，
∴∠EOD＝15°．
14．（2020•泰安）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A（3，a），点B（14﹣2a，2）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求△ACD的面积．
【分析】（1）点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上，则3×a＝（14﹣2a）×2，即可求解；
（2）a＝4，故点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2），求出一次函数的表达式为：y=-23x+6，则点C（0，6），故OC＝6，进而求解．
【解析】（1）∵点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上，
∴3×a＝（14﹣2a）×2，解得：a＝4，则m＝3×4＝12，
故反比例函数的表达式为：y=12x；
（2）∵a＝4，故点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2），
设直线AB的表达式为：y＝kx+b，则4=3k+b2=6k+6，解得k=-23b=6，
故一次函数的表达式为：y=-23x+6；
当x＝0时，y＝6，故点C（0，6），故OC＝6，
而点D为点C关于原点O的对称点，则CD＝2OC＝12，
△ACD的面积=12×CD•xA=12×12×3＝18．
15．（2020•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=12x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y=kx的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y=12x+5的图象与反比例函数y=kx的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．
【分析】（1）联立y=12x+5①和y＝﹣2x并解得：x=-2y=4，故点A（﹣2.4），进而求解；
（2）S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC=12×OC•AM-12OC•BN，即可求解．
【解析】（1）联立y=12x+5①和y＝﹣2x并解得：x=-2y=4，故点A（﹣2.4），
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：4=k-2，解得：k＝﹣8，
故反比例函数表达式为：y=-8x②；
（2）联立①②并解得：x＝﹣2或﹣8，
当x＝﹣8时，y=12x+5＝1，故点B（﹣8，1），
设y=12x+5交x轴于点C（﹣10，0），过点A、B分别作x轴的垂线交于点M、N，
则S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC=12×OC•AM-12OC•BN=12×4×10-12×10×1=15．
16．（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数y=mx（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△DPQ面积的最大值．
【分析】（1）由A（0，﹣4）、B（2，0）的坐标可求出一次函数的关系式，进而求出点C的坐标，确定反比例函数的关系式；
（2）根据题意，要使三角形PDQ的面积最大，可用点P的横坐标n，表示三角形PDQ的面积，依据二次函数的最大值的计算方法求出结果即可．
【解析】（1）把A（0，﹣4）、B（2，0）代入一次函数y＝kx+b得，
b=-42k+b=0，解得，k=2b=-4，
∴一次函数的关系式为y＝2x﹣4，
当x＝3时，y＝2×3﹣4＝2，
∴点C（3，2），
∵点C在反比例函数的图象上，
∴k＝3×2＝6，
∴反比例函数的关系式为y=6x，
答：一次函数的关系式为y＝2x﹣4，反比例函数的关系式为y=6x；
（2）点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，
∴点P（n，6n），点Q（n，2n﹣4），
∴PQ=6n-（2n﹣4），
∴S△PDQ=12n[6n-（2n﹣4）]＝﹣n2+2n+3＝﹣（n﹣1）2+4，
∴当n＝1时，S最大＝4，
答：△DPQ面积的最大值是4．
17．（2020•天水）如图所示，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于第二、四象限的点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1），过A点作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．
（1）分别求出a和b的值；
（2）结合图象直接写出mx+n＞kx中x的取值范围；
（3）在y轴上取点P，使PB﹣PA取得最大值时，求出点P的坐标．
【分析】（1）根据△AOC的面积为4和反比例函数图象的位置，可以确定k的值，进而确定反比例函数的关系式，代入可求出点A、B的坐标，求出a、b的值；
（2）根据图象直接写出mx+n＞kx的解集；
（3）求出点A（﹣2，4）关于y轴的对称点A′（2，4），根据题意直线A′B与y轴的交点即为所求的点P，求出直线A′B的关系式，进而求出与y轴的交点坐标即可．
【解析】（1）∵△AOC的面积为4，
∴12|k|＝4，
解得，k＝﹣8，或k＝8（不符合题意舍去），
∴反比例函数的关系式为y=-8x，
把点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1）代入y=-8x得，
a＝4，b＝8；
答：a＝4，b＝8；
（2）根据一次函数与反比例函数的图象可知，不等式mx+n＞kx的解集为x＜﹣2或0＜x＜8；
（3）∵点A（﹣2，4）关于y轴的对称点A′（2，4），
又B（8，﹣1），则直线A′B与y轴的交点即为所求的点P，
设直线A′B的关系式为y＝cx+d，
则有2c+d=48c+d=-1，
解得，c=-56d=173，
∴直线A′B的关系式为y=-56x+173，
∴直线y=-56x+173与y轴的交点坐标为（0，173），
即点P的坐标为（0，173）．
18．（2020•青海）如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线y=-12x2+bx+c经过B、D两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积．（请在图1中探索）
（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上．要使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）
【分析】（1）用待定系数法解答便可；
（2）求出抛物线与坐标轴的交点A、D坐标及抛物线顶点M的坐标，再将四边形ABMC的面积分为三角形的面积的和，进行计算便可；
（3）分两种情况：AB为平行四边形的边；AB为平行四边形的对角线．分别解答便可．
【解析】（1）把B（3，0）和D（﹣2，-52）代入抛物线的解析式得，
-92+3b+c=0-2-2b+c=-52，
解得，b=1c=32，
∴抛物线的解析式为：y=-12x2+x+32；
（2）令x＝0，得y=-12x2+x+32=32，
∴C(0，32)，
令y＝0，得y=-12x2+x+32=0，
解得，x＝﹣1，或x＝3，
∴A（﹣1，0），
∵y=-12x2+x+32=-12(x-1)2+2，
∴M（1，2），
∴S四边形ABMC＝S△AOC+S△COM+S△MOM
=12OA⋅OC+12OC⋅xM+12OB⋅yM
=12×1×32+12×32×1+12×3×2=92；
（3）设Q（0，n），
①当AB为平行四边形的边时，有AB∥PQ，AB＝PQ，
a）．Q点在P点左边时，则Q（﹣4，n），
把Q（﹣4，n）代入y=-12x2+x+32，得
n=-212，
∴P（﹣4，-212）；
②Q点在P点右边时，则Q（4，n），
把Q（4，n）代入y=-12x2+x+32，得
n=-52，
∴P（4，-52）；
③当AB为平行四边形的对角线时，如图2，AB与PQ交于点E，
则E（1，0），
∵PE＝QE，
∴P（2，﹣n），
把P（2，﹣n）代入y=-12x2+x+32，得
﹣n=32，
∴n=-32，
∴P（2，32）．
综上，满足条件的P点坐标为：（﹣4，-212）或（4，-52）或（2，32）．
19．（2020•山西）综合与探究
如图，抛物线y=14x2﹣x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，﹣3）．
（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；
（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m（m≥0），过点P作PM⊥x轴，垂足为M．PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；
（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．
【分析】（1）令y＝0，便可由抛物线的解析式求得A、B点坐标，用待定系数法求得直线AD的解析式；
（2）设P（m，14m2﹣m﹣3），用m表示N点坐标，分两种情况：PM＝3MN；PM＝3PN．分别列出m的方程进行解答便可；
（3）分两种情况，Q点在y轴正半轴上时；Q点在y轴负半轴上时．分别解决问题．
【解析】（1）令y＝0，得y=14x2﹣x﹣3＝0，
解得，x＝﹣2，或x＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），则
-2k+b=04k+b=-3，
解得，k=-12b=-1，
∴直线l的解析式为y=-12x-1；
（2）如图1，根据题意可知，点P与点N的坐标分别为
P（m，14m2﹣m﹣3），N（m，-12m﹣1），
∴PM=-14m2+m+3，MN=12m+1，NP=-14m2+12m+2，
分两种情况：
①当PM＝3MN时，得-14m2+m+3＝3（12m+1），
解得，m＝0，或m＝﹣2（舍），
∴P（0，﹣3）；
②当PM＝3NP时，得-14m2+m+3＝3（-14m2+12m+2），
解得，m＝3，或m＝﹣2（舍），
∴P（3，-154）；
∴当点N是线段PM的三等分点时，点P的坐标为（3，-154）或（0，﹣3）；
（3）∵直线ly=-12x-1与y轴于点E，
∴点E的坐标为（0，﹣1），
分再种情况：①如图2，当点Q在y轴的正半轴上时，记为点Q1，
过Q1作Q1H⊥AD于点H，则∠QE＝∠AOE＝90°，
∵∠Q1EH＝∠AEO，
∴△Q1EH∽△AEO，
∴Q1HAO=EHEO，即Q1H2=EH1
∴Q1H＝2HE，
∵∠Q1DH＝45°，∠Q1HD＝90°，
∴Q1H＝DH，
∴DH＝2EH，
∴HE＝ED，
连接CD，
∵C（0，﹣3），D（4，﹣3），
∴CD⊥y轴，
∴ED=CE2+CD2=22+42=25，
∴HE=ED=25，Q1H=2EH=45，
∴Q1E=Q1H2+EH2=10，
∴Q1O＝Q1E﹣OE＝9，
∴Q1（0，9）；
②如图3，当点Q在y轴的负半轴上时，记为点Q2，过Q2作Q2G⊥AD于G，则∠Q2GE＝∠AOE＝90°，
∵∠Q2EG＝∠AEO，
∴△Q2GE∽△AOE，
∴Q2GAO=EGOE，即Q2G2=EG1，
∴Q2G＝2EG，
∵∠Q2DG＝45°，∠Q2GD＝90°，
∴∠DQ2G＝∠Q2DG＝45°，
∴DG＝Q2G＝2EG，
∴ED＝EG+DG＝3EG，
由①可知，ED＝25，
∴3EG＝25，
∴EG=253，
∴Q2G=453，
∴EQ2=EG2+Q2G2=103，
∴OQ2=OE+EQ2=133，
∴Q2(0，-133)，
综上，点Q的坐标为（0.9）或（0，-133）．
20．（2020•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由一次函数图象与坐标轴交点B、D的坐标，再由对称求得C点坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），由三角形的面积公式求得△MDB的面积关于m的二次函数，最后根据二次函数的最大值的求法，求得m的值，进而得P点的坐标；
（3）分三种情况：M为直角顶点；N为直角顶点；Q为直角顶点．分别得出Q点的坐标．
【解析】（1）令y＝0，得y＝x﹣6＝0，
解得x＝6，
∴B（6，0），
令x＝0，得y＝x﹣6＝﹣6，
∴D（0，﹣6），
∵点C与点D关于x轴对称，
∴C（0，6），
把B、C点坐标代入y＝﹣x2+bx+c中，得
-36+6b+c=0c=6，
解得，b=5c=6，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+5x+6；
（2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），
则MN＝﹣m2+4m+12，
∴△MDB的面积=12MN⋅OB=-3m2+12m+36═﹣3（m﹣2）2+48，
∴当m＝2时，△MDB的面积最大，
此时，P点的坐标为（2，0）；
（3）由（2）知，M（2，12），N（2，﹣4），
当∠QMN＝90°时，QM∥x轴，则Q（0，12）；
当∠MNQ＝90°时，NQ∥x轴，则Q（0，﹣4）；
当∠MQN＝90°时，设Q（0，n），则QM2+QN2＝MN2，
即4+（12﹣n）2+4+（n+4）2＝（12+4）2，
解得，n＝4±55，
∴Q（0，4+55）或（0，4-55）．
综上，存在以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形．其Q点坐标为（0，12）或（0，﹣4）或（0，4+55）或（0，4-55）．
21．（2020•衢州）如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C分别是直线y=-83x+4与坐标轴的交点，点B的坐标为（﹣2，0），点D是边AC上的一点，DE⊥BC于点E，点F在边AB上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，连结DF，EF．设点D的横坐标为m，EF2为l，请探究：
①线段EF长度是否有最小值．
②△BEF能否成为直角三角形．
小明尝试用“观察﹣猜想﹣验证﹣应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题．
（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l随m变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2）．请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l与m可能满足的函数类别．
（2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出l关于m的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF长度的最小值．
（3）小明通过观察，推理，发现△BEF能成为直角三角形，请你求出当△BEF为直角三角形时m的值．
【分析】（1）根据描点法画图即可；
（2）过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，证明Rt△FGK≌Rt△DHK（AAS），由全等三角形的性质得出FG＝DH，可求出F（﹣m，﹣2m+4），根据勾股定理得出l＝EF2＝8m2﹣16m+16＝8（m﹣1）2+8，由二次函数的性质可得出答案；
（3）分三种不同情况，根据直角三角形的性质得出m的方程，解方程求出m的值，则可求出答案．
【解析】（1）用描点法画出图形如图1，由图象可知函数类别为二次函数．
（2）如图2，过点F，D分别作FG，DH垂直于y轴，垂足分别为G，H，
则∠FGK＝∠DHK＝90°，
记FD交y轴于点K，
∵D点与F点关于y轴上的K点成中心对称，
∴KF＝KD，
∵∠FKG＝∠DKH，
∴Rt△FGK≌Rt△DHK（AAS），
∴FG＝DH，
∵直线AC的解析式为y=-83x+4，
∴x＝0时，y＝4，
∴A（0，4），
又∵B（﹣2，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴-2k+b=0b=4，
解得k=2b=4，
∴直线AB的解析式为y＝2x+4，
过点F作FR⊥x轴于点R，
∵D点的橫坐标为m，
∴F（﹣m，﹣2m+4），
∴ER＝2m，FR＝﹣2m+4，
∵EF2＝FR2+ER2，
∴l＝EF2＝8m2﹣16m+16＝8（m﹣1）2+8，
令-8x3+4＝0，得x=32，
∴0≤m≤32．
∴当m＝1时，l的最小值为8，
∴EF的最小值为22．
（3）①∠FBE为定角，不可能为直角．
②∠BEF＝90°时，E点与O点重合，D点与A点，F点重合，此时m＝0．
③如图3，∠BFE＝90°时，有BF2+EF2＝BE2．
由（2）得EF2＝8m2﹣16m+16，
又∵BR＝﹣m+2，FR＝﹣2m+4，
∴BF2＝BR2+FR2＝（﹣m+2）2+（﹣2m+4）2＝5m2﹣20m+20，
又∵BE2＝（m+2）2，
∴（5m2﹣20m+20）+（8m2﹣16m+16）＝（m+2）2，
化简得，3m2﹣10m+8＝0，
解得m1=43，m2＝2（不合题意，舍去），
∴m=43．
综合以上可得，当△BEF为直角三角形时，m＝0或m=43．
22．（2020•株洲）如图所示，△OAB的顶点A在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，直线AB交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，且AE＝1．
（1）若点E为线段OC的中点，求k的值；
（2）若△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，其面积小于3．
①求证：△OAE≌△BOF；
②把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为M（x1，y1），N（x2，y2）两点间的“ZJ距离”，记为d（M，N），求d（A，C）+d（A，B）的值．
【分析】（1）由点E为线段OC的中点，可得E点坐标为(0，52)，进而可知A点坐标为：A(1，52)，代入解析式即可求出k；
（2）①由△OAB为等腰直角三角形，可得AO＝OB，再根据同角的余角相等可证∠AOE＝∠FBO，由AAS即可证明△OAE≌△BOF；
②由“ZJ距离”的定义可知d（M，N）为MN两点的水平离与垂直距离之和，故d（A，C）+d（A，B）＝BF+CF，即只需求出B点坐标即可，设点A（1，m），由△OAE≌△BOF可得B（m，﹣1），进而代入直线AB解析式求出k值即可解答．
【解析】（1）∵点E为线段OC的中点，OC＝5，
∴OE=12OC=52，即：E点坐标为(0，52)，
又∵AE⊥y轴，AE＝1，
∴A(1，52)，
∴k=1×52=52．
（2）①在△OAB为等腰直角三角形中，AO＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠AOE+∠FOB＝90°，
又∵BF⊥y轴，
∴∠FBO+∠FOB＝90°，
∴∠AOE＝∠FBO，
在△OAE和△BOF中，
∠AEO=∠OFB=90°∠AOE=∠FBOAO=BO，
∴△OAE≌△BOF（AAS），
②解：设点A坐标为（1，m），
∵△OAE≌△BOF，
∴BF＝OE＝m，OF＝AE＝1，
∴B（m，﹣1），
设直线AB解析式为：lAB：y＝kx+5，将AB两点代入得：
则k+5=mkm+5=-1．
解得k1=-3m1=2，k2=-2m2=3．
当m＝2时，OE＝2，OA=5，S△AOB=52＜3，符合；
∴d（A，C）+d（A，B）＝AE+CE+（BF﹣AE）+（OE+OF）＝1+CE+OE﹣1+OE+1＝1+CE+2OE＝1+CO+OE＝1+5+2＝8，
当m＝3时，OE＝3，OA=10，S△AOB＝5＞3，不符，舍去；
综上所述：d（A，C）+d（A，B）＝8．
23．（2020•广东）如图，点B是反比例函数y=8x（x＞0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG．
（1）填空：k＝ 2 ；
（2）求△BDF的面积；
（3）求证：四边形BDFG为平行四边形．
【分析】（1）设点B（s，t），st＝8，则点M（12s，12t），则k=12s•12t=14st＝2；
（2）△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA﹣S△OAD，即可求解；
（3）确定直线DE的表达式为：y=-12m2x+52m，令y＝0，则x＝5m，故点F（5m，0），即可求解．
【解析】（1）设点B（s，t），st＝8，则点M（12s，12t），
则k=12s•12t=14st＝2，
故答案为2；
（2）△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA﹣S△OAD=12×8-12×2＝3；
（3）设点D（m，2m），则点B（4m，2m），
∵点G与点O关于点C对称，故点G（8m，0），
则点E（4m，12m），
设直线DE的表达式为：y＝sx+n，将点D、E的坐标代入上式得2m=ms+n12m=4ms+n，解得k=-12m2b=52m，
故直线DE的表达式为：y=-12m2x+52m，令y＝0，则x＝5m，故点F（5m，0），
故FG＝8m﹣5m＝3m，而BD＝4m﹣m＝3m＝FG，
则FG∥BD，故四边形BDFG为平行四边形．
24．（2019•沈阳）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B．
（1）k的值是 -12 ；
（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上．
①如图，点E为线段OB的中点，且四边形OCED是平行四边形时，求▱OCED的周长；
②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，连接DE，若△CDE的面积为334，请直接写出点C的坐标．
【分析】（1）根据点A的坐标，利用待定系数法可求出k值；
（2）①利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点B的坐标，由平行四边形的性质结合点E为OB的中点可得出CE是△ABO的中位线，结合点A的坐标可得出CE的长，在Rt△DOE中，利用勾股定理可求出DE的长，再利用平行四边形的周长公式即可求出▱OCED的周长；
②设点C的坐标为（x，-12x+4），则CE＝|x|，CD＝|-12x+4|，利用三角形的面积公式结合△CDE的面积为334可得出关于x的方程，解之即可得出结论．
【解析】（1）将A（8，0）代入y＝kx+4，得：0＝8k+4，
解得：k=-12．
故答案为：-12．
（2）①由（1）可知直线AB的解析式为y=-12x+4．
当x＝0时，y=-12x+4＝4，
∴点B的坐标为（0，4），
∴OB＝4．
∵点E为OB的中点，
∴BE＝OE=12OB＝2．
∵点A的坐标为（8，0），
∴OA＝8．
∵四边形OCED是平行四边形，
∴CE∥DA，
∴BCAC=BEOE=1，
∴BC＝AC，
∴CE是△ABO的中位线，
∴CE=12OA＝4．
∵四边形OCED是平行四边形，
∴OD＝CE＝4，OC＝DE．
在Rt△DOE中，∠DOE＝90°，OD＝4，OE＝2，
∴DE=OD2+OE2=25，
∴C平行四边形OCED＝2（OD+DE）＝2（4+25）＝8+45．
②设点C的坐标为（x，-12x+4），则CE＝|x|，CD＝|-12x+4|，
∴S△CDE=12CD•CE＝|-14x2+2x|=334，
∴x2﹣8x+33＝0或x2﹣8x﹣33＝0．
方程x2﹣8x+33＝0无解；
解方程x2﹣8x﹣33＝0，得：x1＝﹣3，x2＝11，
∴点C的坐标为（﹣3，112）或（11，-32）．
25．（2020•绥化）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，点D是边AB的中点，反比例函数y1=kx（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．
（1）求反比例函数y1=kx（x＞0）的解析式和直线DE的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，△PDE的周长最小值是 5+13 ．
【分析】（1）根据线段中点的定义和矩形的性质得到D（1，4），解方程和方程组即可得到结论；
（2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，此时，△PDE的周长最小，求得直线D′E的解析式为y=-23x+103，于是得到结论；
（3）根据勾股定理即可得到结论．
【解析】（1）∵点D是边AB的中点，AB＝2，
∴AD＝1，
∵四边形OABC是矩形，BC＝4，
∴D（1，4），
∵反比例函数y1=kx（x＞0）的图象经过点D，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为y=4x（x＞0），
当x＝2时，y＝2，
∴E（2，2），
把D（1，4）和E（2，2）代入y2＝mx+n（m≠0）得，2m+n=2m+n=4，
∴m=-2n=6，
∴直线DE的解析式为y＝﹣2x+6；
（2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，
此时，△PDE的周长最小，
∵D点的坐标为（1，4），
∴D′的坐标为（﹣1，4），
设直线D′E的解析式为y＝ax+b，
∴4=-a+b2=2a+b，
解得：a=-23b=103，
∴直线D′E的解析式为y=-23x+103，
令x＝0，得y=103，
∴点P的坐标为（0，103）；
（3）∵D（1，4），E（2，2），
∴BE＝2，BD＝1，
∴DE=12+22=5，
由（2）知，D′的坐标为（﹣1，4），
∴BD′＝3，
∴D′E=22+32=13，
∴△PDE的周长最小值＝DE+D′E=5+13，
故答案为：5+13．
26．（2019•大连）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-34x+3与x轴，y轴分别相交于点A，B，点C在射线BO上，点D在射线BA上，且BD=53OC，以CO，CD为邻边作▱COED．设点C的坐标为（0，m），▱COED在x轴下方部分的面积为S．求：
（1）线段AB的长；
（2）S关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围．
【分析】（1）由直线y=-34x+3与令x＝0，或y＝0，分别求出对应的y、x的值，从而确定A、B两点的坐标；
（2）分两种情况进行分别探究，一种是点C在y轴的正半轴，即①当32＜m≤3时，②当0＜m≤32时，另一种是点C在y轴的负半轴，即，③当﹣3＜m≤0时，④当m＜﹣3时，分别画出相应的图象，根据三角形相似，求出相应的边的长用含有m的代数式表示，再表示面积，从而确定在不同情况下S与m的函数解析式．
【解析】（1）当x＝0时，y＝3，
当y＝0时，x＝4，
∴直线y=-34x+3与x轴点交A（4，0），与y轴交点B（0，3）
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB=32+42=5，
因此：线段AB的长为5．
（2）当CD∥OA时，如图，
∵BD=53OC，OC＝m，
∴BD=53m，
由△BCD∽△BOA得：
BDBA=BCBO，即：53m5=3-m3，解得：m=32；
①当32＜m≤3时，如图1所示：过点D作DF⊥OB，垂足为F，
此时在x轴下方的三角形与△CDF全等，
∵△BDF∽△BAO，
∴BDDF=BAOA=54，
∴DF=43m，同理：BF＝m，
∴CF＝2m﹣3，
∴S△CDF=12DF⋅CF=12（2m﹣3）×43m=43m2﹣2m，
即：S=43m2﹣2m，（32＜m≤3）
②当0＜m≤32时，如图2所示：DE＝m≤32，此时点E在△AOB的内部，
S＝0 （0＜m≤32）；
③当﹣3＜m≤0时，如图3所示：同理可得：点D（-43m，m+3）
设直线CD关系式为y＝kx+b，把C（0，m）、D（-43m，m+3）代入得：
b=m-43mk+b=m+3，解得：k=-94m，b＝m，
直线CD关系式为y=-94mx+m，
当y＝0时，0=-94mx+m，解得x=49m2
F（49m2，0）
∴S△COF=12OC•OF=12（﹣m）×49m2=-29m3，
即：S=-29m3，（﹣3＜m≤0）
④当m＜﹣3时，如图4所示：同理可得：点D（-43m，m+3）
此时，DF＝﹣m﹣3，OC＝﹣m，OF=-43m，
∴S梯形OCDF=12（﹣m﹣3﹣m）×（-43m）=43m2+2m
即：S=43m2+2m （m＜﹣3）
综上所述：S与m的函数关系式为：S=43m2-2m(32＜m≤3)0(0＜m≤32)-29m3(-3＜m≤0)43m2+2m(m≤-3)．
27．（2020•常州）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．
（1）填空：b＝ ﹣4 ；
（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD＝∠ACB，求点P的坐标；
（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．
【分析】（1）将点C坐标代入解析式可求解；
（2）分两种情况讨论，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，可得点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，可得∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE=AEEC=13，∠BCF＝45°，由勾股定理逆定理可得∠BCD＝90°，可求∠ACE＝∠DBC，可得∠ACB＝∠CFD，可得点F与点Q重合，即可求点P坐标；
当点Q在点D下方上，过点C作CH⊥DB于H，在线段BH的延长线上截取HF＝QH，连接CQ交抛物线于点P，先求直线BD解析式，点F坐标，由中点坐标公式可求点Q坐标，求出CQ解析式，联立方程组，可求点P坐标；
（3）设直线AC与BD的交点为N，作CH⊥BD于H，过点N作MN⊥x轴，过点E作EM⊥MN，连接CG，GF，先求出∠CNH＝45°，由轴对称的性质可得EN＝NF，∠ENB＝∠FNB＝45°，由“AAS”可证△EMN≌△NKF，可得EM＝NK=95，MN＝KF，可求CF＝6，由轴对称的性质可得点G坐标，即可求解．
【解析】（1）∵抛物线y＝x2+bx+3的图象过点C（1，0），
∴0＝1+b+3，
∴b＝﹣4，
故答案为：﹣4；
（2）∵b＝4，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3
∵抛物线y＝x2﹣4x+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，
∴点A（0，3），3＝x2﹣4x，
∴x1＝0（舍去），x2＝4，
∴点B（4，3），
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点D坐标（2，﹣1），
如图1，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，
∵点A（0，3），点B（4，3），点C（1，0），CE⊥AB，
∴点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，
∴∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE=AEEC=13，
∴∠BCF＝45°，
∵点B（4，3），点C（1，0），点D（2，﹣1），
∴BC=9+9=32，CD=1+1=2，BD=(4-2)2+(3+1)2=25，
∵BC2+CD2＝20＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∴tan∠DBC=CDBC=232=13=tan∠ACE，
∴∠ACE＝∠DBC，
∴∠ACE+∠ECB＝∠DBC+∠BCF，
∴∠ACB＝∠CFD，
又∵∠CQD＝∠ACB，
∴点F与点Q重合，
∴点P是直线CF与抛物线的交点，
∴0＝x2﹣4x+3，
∴x1＝1，x2＝3，
∴点P（3，0）；
当点Q在点D下方上，过点C作CH⊥DB于H，在线段BH的延长线上截取HF＝QH，连接CQ交抛物线于点P，
∵CH⊥DB，HF＝QH，
∴CF＝CQ，
∴∠CFD＝∠CQD，
∴∠CQD＝∠ACB，
∵CH⊥BD，
∵点B（4，3），点D（2，﹣1），
∴直线BD解析式为：y＝2x﹣5，
∴点F（52，0），
∴直线CH解析式为：y=-12x+12，
∴y=-12x+12y=2x-5，
解得x=115y=-35，
∴点H坐标为（115，-35），
∵FH＝QH，
∴点Q（1910，-65），
∴直线CQ解析式为：y=-43x+43，
联立方程组y=-43x+43y=x2-4x+3，
解得：x1=1y1=0或x2=53y2=-89，
∴点P（53，-89）；
综上所述：点P的坐标为（3，0）或（53，-89）；
（3）如图，设直线AC与BD的交点为N，作CH⊥BD于H，过点N作MN⊥x轴，过点E作EM⊥MN，连接CG，GF，
∵点A（0，3），点C（1，0），
∴直线AC解析式为：y＝﹣3x+3，
∴y=-3x+3y=2x-5，
∴x=85y=-95，
∴点N坐标为（85，-95），
∵点H坐标为（115，-35），
∴CH2＝（115-1）2+（35）2=95，HN2＝（115-85）2+（-35+95）2=95，
∴CH＝HN，
∴∠CNH＝45°，
∵点E关于直线BD对称的点为F，
∴EN＝NF，∠ENB＝∠FNB＝45°，
∴∠ENF＝90°，
∴∠ENM+∠FNM＝90°，
又∵∠ENM+∠MEN＝90°，
∴∠MEN＝∠FNM，
∴△EMN≌△NKF（AAS）
∴EM＝NK=95，MN＝KF，
∴点E的横坐标为-15，
∴点E（-15，185），
∴MN=275=KF，
∴CF=85+275-1＝6，
∵点F关于直线BC对称的点为G，
∴FC＝CG＝6，∠BCF＝∠GCB＝45°，
∴∠GCF＝90°，
∴点G（1，6），
∴AG=12+(6-3)2=10．
28．（2020•营口）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；
①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．
【分析】（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），即可求解；
（2）①分点P（P′）在点C的右侧、点P在点C的左侧两种情况，分别求解即可；
②证明△AGR≌△RHM（AAS），则点M（m+n，n﹣m﹣3），利用点M在抛物线上和AR＝NR，列出等式即可求解．
【解析】（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），
解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3①；
（2）由抛物线的表达式知，点C、D的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4），
由点C、D的坐标知，直线CD的表达式为：y＝x﹣3；
tan∠BCO=13，则cos∠BCO=210；
①当点P（P′）在点C的右侧时，
∵∠PAB＝∠BCO，
故P′B∥y轴，则点P′（1，﹣2）；
当点P在点C的左侧时，
设直线PB交y轴于点H，过点H作HN⊥BC于点N，
∵∠PAB＝∠BCO，
∴△BCH为等腰三角形，则BC＝2CH•cos∠BCO＝2×CH×210=32+12，
解得：CH=53，则OH＝3﹣CH=43，故点H（0，-43），
由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y=43x-43②，
联立①②并解得：x=-5y=-8，
故点P的坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）；
②∵∠PAB＝∠BCO，而tan∠BCO=13，
故设直线AP的表达式为：y=13x+s，将点A的坐标代入上式并解得：s＝1，
故直线AP的表达式为：y=13x+1，
联立①③并解得：x=43y=139，故点N（43，139）；
设△AMN的外接圆为圆R，
当∠ANM＝45°时，则∠ARM＝90°，设圆心R的坐标为（m，n），
∵∠GRA+∠MRH＝90°，∠MRH+∠RMH＝90°，
∴∠RMH＝∠GAR，
∵AR＝MR，∠AGR＝∠RHM＝90°，
∴△AGR≌△RHM（AAS），
∴AG＝m+3＝RH，RG＝﹣n＝MH，
∴点M（m+n，n﹣m﹣3），
将点M的坐标代入抛物线表达式得：n﹣m﹣3＝（m+n）2+2（m+n）﹣3③，
由题意得：AR＝NR，即（m+3）2＝（m-43）2+（139）2④，
联立③④并解得：m=-29n=-109，
故点M（-43，-359）．
29．（2020•哈尔滨）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，OA＝OB，过点A作x轴的垂线与过点O的直线相交于点C，直线OC的解析式为y=34x，过点C作CM⊥y轴，垂足为M，OM＝9．
（1）如图1，求直线AB的解析式；
（2）如图2，点N在线段MC上，连接ON，点P在线段ON上，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交OC于点E，若NC＝OM，求PEOD的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F为线段AB上一点，连接OF，过点F作OF的垂线交线段AC于点Q，连接BQ，过点F作x轴的平行线交BQ于点G，连接PF交x轴于点H，连接EH，若∠DHE＝∠DPH，GQ﹣FG=2AF，求点P的坐标．
【分析】（1）求出A，B两点坐标，利用待定系数法解决问题即可．
（2）由题意直线ON的解析式为y＝3x，设点E的横坐标为4a，则D（4a，0），求出PE，OD（用a表示）即可解决问题．
（3）如图3中，设直线FG交CA的延长线于R，交y轴于S，过点F作FT⊥OA于T．证明△OFS≌△FQR（AAS），推出SF＝QR，再证明△BSG≌△QRG（AAS），推出SG＝GR＝6，设FR＝m，则AR＝m，AF=2m，QR＝SF＝12﹣m，GQ﹣FG=2AF，根据GQ2＝GR2+QR2，可得（m+6）2＝62+（12﹣m）2，解得m＝4，由题意tan∠DHE＝tan∠DPH，可得DEDH=DHPD，由（2）可知DE＝3a，PD＝12a，推出3aDH=DH12a，可得DH＝6a，推出tan∠PHD=PDDH=12a6a=2，由∠PHD＝∠FHT，可得tan∠FHT=TFHT=2，推出HT＝2，再根据OT＝OD+DH+HT，构建方程求出a即可解决问题．
【解析】（1）∵CM⊥y轴，OM＝9，
∴y＝9时，9=34x，解得x＝12，
∴C（12，9），
∵AC⊥x轴，
∴A（12，0），
∵OA＝OB，
∴B（0，﹣12），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有b=-1212k+b=0，
解得k=1b=-12，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣12．
（2）如图2中，
∵∠CMO＝∠MOA＝∠OAC＝90°，
∴四边形OACM是矩形，
∴AO＝CM＝12，
∵NC＝OM＝9，
∴MN＝CM﹣NC＝12﹣9＝3，
∴N（3，9），
∴直线ON的解析式为y＝3x，设点E的横坐标为4a，则D（4a，0），
∴OD＝4a，
把x＝4a，代入y=34x中，得到y＝3a，
∴E（4a，3a），
∴DE＝3a，
把x＝4a代入，y＝3x中，得到y＝12a，
∴P（4a，12a），
∴PD＝12a，
∴PE＝PD﹣DE＝12a﹣3a＝9a，
∴PEOD=94．
（3）如图3中，设直线FG交CA的延长线于R，交y轴于S，过点F作FT⊥OA于T．
∵GF∥x轴，
∴∠OSR＝∠MOA＝90°，∠CAO＝∠R＝90°，∠BOA＝∠BSG＝90°，∠OAB＝∠AFR，
∴∠OFR＝∠R＝∠AOS＝∠BSG＝90°，
∴四边形OSRA是矩形，
∴OS＝AR，
AR＝OA＝12，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
∴∠FAR＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FAR＝∠AFR，
∴FR＝AR＝OS，
∵OF⊥FQ，
∴∠OSR＝∠R＝∠OFQ＝90°，
∴∠OFS+∠QFR＝90°，
∵∠QFR+∠FQR＝90°，
∴∠OFS＝∠FQR，
∴△OFS≌△FQR（AAS），
∴SF＝QR，
∵∠SFB＝∠AFR＝45°，
∴∠SBF＝∠SFB＝45°，
∴SF＝SB＝QR，
∵∠SGB＝∠QGR，∠BSG＝∠R，
∴△BSG≌△QRG（AAS），
∴SG＝GR＝6，
设FR＝m，则AR＝m，AF=2m，QR＝SF＝12﹣m，
∵GQ﹣FG=2AF，
∴GQ=2×2m+6﹣m＝m+6，
∵GQ2＝GR2+QR2，
∴（m+6）2＝62+（12﹣m）2，
解得m＝4，
∴FS＝8，AR＝4，
∵∠OAB＝∠FAR，FT⊥OA，FR⊥AR，
∴FT＝FR＝AR＝4，∠OTF＝90°，
∴四边形OSFT是矩形，
∴OT＝SF＝8，
∵∠DHE＝∠DPH，
∴tan∠DHE＝tan∠DPH，
∴DEDH=DHPD，
由（2）可知DE＝3a，PD＝12a，
∴3aDH=DH12a，
∴DH＝6a，
∴tan∠PHD=PDDH=12a6a=2，
∵∠PHD＝∠FHT，
∴tan∠FHT=TFHT=2，
∴HT＝2，
∵OT＝OD+DH+HT，
∴4a+6a+2＝8，
∴a=35，
∴OD=125，PD＝12×35=365，
∴P（125，365）．
30．（2020•金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知OB＝8．
（1）求证：四边形AEFD为菱形．
（2）求四边形AEFD的面积．
（3）若点P在x轴正半轴上（异于点D），点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P，Q，G为顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由．
【分析】（1）根据邻边相等的四边形是菱形证明即可．
（2）连接DE，求出△ADE的面积即可解决问题．
（3）首先证明AK＝3DK，①当AP为菱形的一边，点Q在x轴的上方，有图2，图3两种情形．②当AP为菱形的边，点Q在x轴的下方时，有图4，图5两种情形．③如图6中，当AP为菱形的对角线时，有图6一种情形．分别利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵AE∥DF，AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵四边形ABOC是正方形，
∴AC＝AB＝OC＝OB，∠ACE＝∠ABD＝90°，
∵E，D分别是OC，OB的中点，
∴CE＝BD，
∴△CAE≌△ABD（SAS），
∴AE＝AD，
∴四边形AEFD是菱形．
（2）解：如图1中，连接DE．
∵S△ADB＝S△ACE=12×8×4＝16，
S△EOD=12×4×4＝8，
∴S△AED＝S正方形ABOC﹣2S△ABD﹣S△EOD＝64﹣2×16﹣8＝24，
∴S菱形AEFD＝2S△AED＝48．
（3）解：如图1中，连接AF，设AF交DE于K，
∵OE＝OD＝4，OK⊥DE，
∴KE＝KD，
∴OK＝KE＝KD＝22，
∵AO＝82，
∴AK＝62，
∴AK＝3DK，
①当AP为菱形的一边，点Q在x轴的上方，有图2，图3两种情形：
如图2中，设AG交PQ于H，过点H作HN⊥x轴于N，交AC于M，设AM＝t．
∵菱形PAQG∽菱形ADFE，
∴PH＝3AH，
∵HN∥OQ，QH＝HP，
∴ON＝NP，
∴HN是△PQO的中位线，
∴ON＝PN＝8﹣t，
∵∠MAH＝∠PHN＝90°﹣∠AHM，∠PNH＝∠AMH＝90°，
∴△HMA∽△PNH，
∴AMNH=MHPN=AHPH=13，
∴HN＝3AM＝3t，
∴MH＝MN﹣NH＝8﹣3t，
∵PN＝3MH，
∴8﹣t＝3（8﹣3t），
∴t＝2，
∴OP＝2ON＝2（8﹣t）＝12，
∴P（12，0）．
如图3中，过点H作HI⊥y轴于I，过点P作PN⊥x轴交IH于N，延长BA交IN于M．
同法可证：△AMH∽△HNP，
∴AMHN=MHPN=AHHP=13，设MH＝t，
∴PN＝3MH＝3t，
∴AM＝BM﹣AB＝3t﹣8，
∵HI是△OPQ的中位线，
∴OP＝2IH，
∴HI＝HN，
∴8+t＝9t﹣24，
∴t＝4，
∴OP＝2HI＝2（8+t）＝24，
∴P（24，0）．
②当AP为菱形的边，点Q在x轴的下方时，有图4，图5两种情形：
如图4中，QH＝3PH，过点H作HM⊥OC于M，过D点P作PN⊥MH于N．
∵MH是△QAC的中位线，
∴MH=12AC＝4，
同法可得：△HPN∽△QHM，
∴NPHM=HNMQ=PHQH=13，
∴PN=13HM=43，
∴OM＝PN=43，设HN＝t，则MQ＝3t，
∵MQ＝MC，
∴3t＝8-43，
∴t=209，
∴OP＝MN＝4+t=569，
∴点P的坐标为（569，0）．
如图5中，QH＝3PH，过点H作HM⊥x轴于M交AC于I，过点Q作QN⊥HM于N．
∵IH是△ACQ的中位线，
∴CQ＝2HI，NQ＝CI＝4，
同法可得：△PMH∽△HNQ，
∴MHNQ=PMHN=PHHQ=13，则MH=13NQ=43，
设PM＝t，则HN＝3t，
∵HN＝HI，
∴3t＝8+43，
∴t=289，
∴OP＝OM﹣PM＝QN﹣PM＝4﹣t=89，
∴P（89，0）．
③如图6中，当AP为菱形的对角线时，有图6一种情形：
过点H作HM⊥y轴于于点M，交AB于I，过点P作PN⊥HM于N．
∵HI∥x轴，AH＝HP，
∴AI＝IB＝4，
∴PN＝IB＝4，
同法可得：△PNH∽△HMQ，
∴PNHM=HNMQ=PHHQ=13，
∴MH＝3PN＝12，HI＝MH﹣MI＝4，
∵HI是△ABP的中位线，
∴BP＝2IH＝8，
∴OP＝OB+BP＝16，
∴P（16，0），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（12，0）或（24，0）或（569，0）或（89，0）或（16，0）．
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