教案3 专题二、相互作用（有详解）

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“活结”：可理解为把绳子分成两段，且可以沿绳子移动的结，“活结”一般是由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的，绳子虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等，两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的平分线。
【例题1】如图，轻绳两端固定在等高的竖直墙壁上的A、B两点，光滑轻质动滑轮悬挂在轻绳上，下方悬吊一个质量为m＝10kg的重物，系统静止时两侧绳子间的夹角θ＝60°，则绳子承受的拉力FT＝_______N。若保持绳左端固定在A点不动，而将其右端由B点沿竖直方向缓慢移到C点，再沿水平方向移到D点（绳长不变），在此过程中，绳子拉力的变化情况是________________。
【详解】[1] 受力分析如图所示，则有：；解得：
[2] 设绳长为L，AB之间的距离为S，绳与竖直方向的夹角为，如图则有：
当绳子从B点移到C点时，夹角不变，所以绳子上的力大小不变，
如果绳子的节点向右移动，则绳子与竖直方向的夹角变大，根据：；
可知：变大，变小，则变大，所以从C点移动到D点时，绳子拉力变大；
所以从B点到D点的过程中，绳子拉力的变化情况是：先不变后变大。
【答案】 先不变后变大
【针对练习】1、(多选)如图所示，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态．若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则( BD )
A．绳OO′的张力也在一定范围内变化B．物块b所受到的支持力也在一定范围内变化
C．连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化D．物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
[解析] 系统处于静止状态，连接a和b的绳的张力大小FT1等于物块a的重力Ga，C项错误；以O′点为研究对象，受力分析如图甲所示，FT1恒定，夹角θ不变，由平衡条件知，绳OO′的张力FT2恒定不变，A项错误；以b为研究对象，受力分析如图乙所示，则：
FN＋FT1cs θ＋Fsin α－Gb＝0； Ff＋FT1sin θ－Fcs α＝0 FN、Ff均随F变化而变化；B、D对。
2、如图所示，一根不可伸长的细绳两端分别连接在固定框架上的A、B两点，细绳绕过光滑的轻小滑轮，重物悬挂于滑轮下，处于静止状态，若缓慢移动细绳的端点，则绳中拉力大小的变化情况是（ B ）
A. 只将绳的左端移向A’点，拉力变小
B. 只将绳的左端移向A’点，拉力不变
C. 只将绳的右端移向B’点，拉力不变
D. 只将绳的右端移向B’点，拉力变大
【解析】设滑轮两侧绳子与竖直方向的夹角为，绳子的长度为L，B点到墙壁的距离为S，根据几何知识和对称性，得：①
以滑轮为研究对象，设绳子接力大小为F，根据平衡条件得：，
得：②
A、B当只将绳的左端移向A’点，S和L均不变，则由②式得知，F不变。故A错误，B正确。
C、D当只将绳的右端移向B’点，S增大，而L不变，则由①式得知，
α增大，csα减小，则由②式得知，F增大，故CD均错误。故选B正确。
【巩固提高】如图所示，晾晒衣服的绳子两端分别固定在等高的竖直杆上，绳子的质量及绳与衣架挂钩间的摩擦均忽略不计。在由左向右的水平恒定的风力作用下，衣服在某位置保持静止，绳子上的张力大小用F表示。则（ BD ）
A、若只将绳子的左端点下移一小段距离，再次稳定后，F将不变
B、若只将绳子的左端点下移一小段距离，再次稳定后，F将变大
C、若只将左边竖直杆左移一小段距离，再次稳定后，F将不变
D、若只将左边竖直杆左移一小段距离，再次稳定后，F将变大
【解析】将重力和风力等效成一个力，则衣架挂钩受到两边绳子上的拉力关于对称，沿着合力方向和垂直合力方向进行正交分解，有：，，L为两竖直杆间绳子的长度，为绳子的两端在垂直方向上的距离，受力分析如图，若只将绳子的左端点下移一小段距离，再次稳定后，绳子两端在垂直方向上的距离增大，绳子间的夹角增大，F将变大，A错误，B正确；若只将左边竖直杆左移一小段距离，再次稳定后，绳子两端在垂直方向上的距离增大，绳子间的夹角增大，F将变大，C错误，D正确。
【自我检测】1、(多选)如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态．如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是( AB )
A．绳的右端上移到b′，绳子拉力不变
B．将杆N向右移一些，绳子拉力变大
C．绳的两端高度差越小，绳子拉力越小
D．若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移
解析：本题考查物体受力分析、物体的平衡．衣架挂钩为“活结”模型，a、b为一根绳，两端拉力相等，设绳ab长为L，M、N的水平距离为d，b延长线交M于a′，
由几何知识知a′＝a，sin θ＝eq \f(d,L)，由平衡条件有2Fcs θ＝mg，则F＝eq \f(mg,2cs θ)，当b上移到b′时，
d、L不变，θ不变，故F不变，选项A正确，C错误．将杆N向右移一些，L不变，d变大，θ变大，cs θ变小，则F变大，选项B正确．只改变m，其他条件不变，则sin θ不变，θ不变，衣架悬挂点不变，选项D错误．答案：AB
2、如图所示，斜面体固定在水平面上，一轻质细线绕过滑轮1和滑轮2，两端分别与物体和轻环连接，轻环穿在水平横杆上，滑轮2下吊一物体。物体和滑轮1间的细线平行于斜面，系统静止。现将向右移动少许，物体始终静止，系统再次静止，不计滑轮质量和滑轮与绳间的摩擦。则（ AC ）
A．细线拉力将变大
B．地面对斜面体的支持力将变大
C．横杆对轻环的摩擦力将变大
D．斜面体对物体的摩擦力将变小
【解析】A．以滑轮2为研究的对象，受力如图
若将向右移动少许，两个绳子之间的夹角增大，由于对滑轮的拉力不变，两个绳子之间的夹角变大;；
根据：； 绳子的拉力F一定变大，A正确；
B．对斜面体、物体、物体整体受力分析，受重力、支持力、细线的拉力和地面的静摩擦力，如图所示；根据平衡条件，
有：；与角度无关，恒定不变，B错误；
C．以为研究的对象；水平方向：；向右移动少许，F变大，变大，变大，横杆对轻环的摩擦力将变大，C正确；
D．若原来物块有下降趋势，绳子拉力增大，可能有上升趋势，因摩擦力大小和方向都不能确定，D错误。
故选AC。
二、“动杆”与“定杆”模型
“动杆”：对于一端有转轴或有铰链的轻杆，其提供的弹力方向一定是沿着轻杆的方向。
“定杆”：一端固定的轻杆（如一端“插入”墙壁或固定于地面），其提供的弹力不一定沿着轻杆的方向，力的方向只能根据具体情况进行受力分析，根据平衡条件或牛顿第二确定杆中的弹力的大小和方向。
【例题2】如图所示，AC是上端带定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC一端通过铰链固定在C点，另一端B悬挂一重为G的重物，且B端系有一根轻绳并绕过定滑轮A，用力F拉绳，开始时，现使缓慢变小，直到杆BC接近竖直杆AC。此过程中，杆BC所受的力
A、大小不变B、逐渐增大（ A ）
C、先减小后增大D、先增大后减小
【解析】以结点B为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图，根据平衡条件则知，F、N的合力F合与G大小相等、方向相反。
根据三角形相似得：，又；得：
现使缓慢变小的过程中，AC、BC均不变，则得到N不变，所以作用在BC杆上的压力大小不变。故选A。
【针对练习】如图所示，轻杆与竖直墙壁成530角，斜插入墙中并固定，另一端固定一个质量为m的小球，水平轻质弹簧处于压缩状态，弹力大小为（g表示重力加速度），则轻杆对小球的弹力大小为（ D ）
A.B.C.D.
【解析】由于轻杆斜插入墙中并固定，所以小球对它的作用力就不再沿杆的方向了，我们对小球受力分析得，小球受到重力、弹簧对小球的作用力，小球处于静止状态，故这两个力的合力与杆对小球的作用力相平衡，如右图所示。
故轻杆对小球的弹力的大小为；D选项正确。
【巩固提高】甲、乙两建筑工人用简单机械装置将工件从地面提升并运送到楼顶．如图所示，设当重物提升到一定高度后，两工人保持位置不动，甲通过缓慢释放手中的绳子，使乙能够用一始终水平的轻绳将工件缓慢向左拉动，最后工件运送至乙所在位置，完成工件的运送．设两绳端始终在同一水平面上，绳的重力及滑轮的摩擦不计，滑轮大小忽略不计，则在工件向左移动过程中( CD )
A．甲手中绳子上的拉力不断变小B．楼顶对甲的支持力不断增大
C．楼顶对甲的摩擦力大于对乙的摩擦力D．乙手中绳子上的拉力不断增大
解析：开始时甲手中绳子上的拉力大小等于工件的重力，当工件向左移动时，甲手中绳子上的拉力等于工件的重力和乙手中绳子上的拉力的合力大小，如图所示，由此可知甲手中绳子上的拉力和乙手中绳子上的拉力均不断增大，A错误，D正确．
设θ为甲手中绳子与竖直方向的夹角，对甲受力分析，有FT·sin θ＝Ff甲，FT·cs θ＋FN＝m甲g，工件向左移动时，FT增大，工人甲位置不动，即θ角不变，
所以楼顶对甲的支持力FN不断减小，B错误．
对乙受力分析，楼顶对乙的摩擦力Ff乙等于乙手中绳子的拉力FT乙，
对工件受力分析，有FTsin φ＝FT乙(φ为工件移动过程中甲手中绳子拉工件时与竖直方向的夹角); 则FTsin φ＝Ff乙，由φ＜θ，则Ff乙＜Ff甲，故C正确．答案：CD
【自我检测】如图所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为10 kg的物体，∠ACB＝30°，g取10 m/s2，求：
(1)轻绳AC段的张力FAC的大小；
(2)横梁BC对C端的支持力的大小及方向．
[解析] 物体M处于平衡状态，根据平衡条件可判断，与物体相连的轻绳拉力大小等于物体的重力，取C点为研究对象，进行受力分析，如图所示．
(1)图中轻绳AD跨过定滑轮拉住质量为M的物体，物体处于平衡状态，绳AC段的拉力大小为：FAC＝FCD＝Mg＝10×10 N＝100 N
(2)由几何关系得：FC＝FAC＝Mg＝100 N； 方向和水平方向成30°角斜向右上方
[答案] (1)100 N (2)100 N 方向与水平方向成30°角斜向右上方
三、“隔离法”与“整体法”（是对加速度不同的系统，使用整体法；恰当使用往往有意外收获。）
【例题3】如图所示，斜面体A静止放置在水平地面上，质量为m的物体B在外力F（方向水平向右）的作用下沿斜面向下做匀速运动，此时斜面体仍保持静止。若撤去力F，下列说法正确的是（ A ）
A．A所受地面的摩擦力方向向左B．A所受地面的摩擦力可能为零
C．A所受地面的摩擦力方向可能向右D．物体B仍将沿斜面向下做匀速运动
【解析】根据题意可知B物块在外力F的作用下沿斜面向下做匀速直线运动，撤去外力F后，B物块沿斜面向下做加速运动，加速度沿斜面向下，所以A、B组成的系统在水平方向上有向左的分加速度，根据系统牛顿第二定律可知，地面对A的摩擦力水平向左，才能提供系统在水平方向的分加速度，A正确；BCD错误。故选A。
【针对练习】一个箱子放在水平地面上，箱内有一固定的竖直杆， 在杆上套着一个环，箱与杆的质量为M，环的质量为m，如图所示。已知环沿杆以加速度a匀加速下滑，则此时箱对地面的压力大小为（ D ）
【解析】整体法：系统牛顿第二定律：
对系统受力分析可知：（取a的方向为正方向）：
所以：； 选项D正确。
【巩固提高】如图所示，质量分别为的两个物体A、B，用细绳相连跨过光滑的滑轮，将A置于倾角为θ的斜面上，B悬空。设A与斜面、斜面与水平地面间均是光滑的，A在斜面上沿斜面加速下滑，求斜面受到高出地面的竖直挡壁P的水平方向作用力的大小。
【隔离体法解析】：设绳中张力为，A、B运动的加速度的大小为a。
A沿斜面方向由牛顿第二定律有：
B沿竖直方向由牛顿第二定律有：
联立以上两式得：。
此时A对斜面的压力为：斜面体的受力如答图7所示。
在水平方向有：。得：。
【整体法解析】：斜面侧面受到的力的作用效果是使A加速向右运动A沿斜面的加速度为：
所以水平方向的加速度为：
则对整体可知水平方向上的作用力。
【自我检测】1、如图，在倾角为的固定光滑斜面上，有一用绳子拴着的长木板，木板上站着一只猫，已知木板的质量是猫的质量的2倍。当绳子突然断开时，猫立即沿着板向上跑，以保持其相对斜面的位置不变。则此时木板沿斜面下滑的加速度为（ C ）
【解析】设猫的质量为m，木板的质量M=2m，当绳子突然断开时，猫保持静止，此时斜面下滑的加速度设为a，对整体进行受力分析：取沿斜面向下的加速度方向为正方向。
；所以正确选项为C。
2、如图，质量为M的斜面放在粗糙的水平地面上，几个质量都是m的不同物块，先后在斜面上以不同的加速度向下滑动，斜面始终保持静止不动。下列关于水平地面对斜面底部的支持力和静摩擦力的几种说法中正确的有（ ABC ）
A.匀速下滑时，支持力，静摩擦力为零
B.匀加速下滑时，支持力，静摩擦力的方向水平向左
C.匀减速下滑时，支持力，静摩擦力的方向水平向右
D.无论怎样下滑，总是，静摩擦力为零
【解析】A正确。
B、m匀加速下滑时，整体受力如图，m的加速度方向沿斜面向下，（取水平向左的方向为正方向），水平方向应用牛顿第二定律可知：
分析可知：静摩擦力的方向水平向左。
取竖直向下的方向为正方向：
得：；可知B选项正确。
C. m匀减速下滑时，可知加速度的方向沿斜面向上，如图，分析计算（方法同C）可知：C选项正确。
D.选项错误。
3、【整体法】如图5所示，静止在水平面上的等腰三角架的质量为，它的中间用两根质量不计的轻弹簧连着一个质量为的小球。在小球上下振动的过程中，当三角架对水平面的压力为零时，小球加速度的方向与大小分别是： （ D ）
A. 向上， B. 向上， C. 向下， D. 向下，
解析 本题若对整体运用牛顿第二定律求解，其思路就简单多了。
由题意知该系统只受外力的作用，
而三角架的加速度为零，设小球的加速度大小为，
则，即，
其方向应与合外力的方向相同。答案 D
四、三力平衡问题：1、相似三角形；2、拉密定理（正弦定理）3、三力平衡交汇原理；4、摩擦角求解
【例题4】（相似形法）如图一个半径很小的重球，用一根跨过定滑轮的细线系着，搁在固定于水平面上半径较大的光滑半球面上。如果定滑轮很小且位于半球体球心O的正上方，那么在细线的另一端用F将小球缓慢地拉至半球体最高点处的过程中拉力F与半球体对小球的支承力N的大小将是（ A ）
A. F变小，N不变B. F变大，N变小
C. F变小，N先变小后变大；D. F先变小后变大；N变小
【针对练习】[相似三角形法] (多选)如图所示，A球被固定在竖直支架上，A球正上方的点O悬有一轻绳拉住B球，两球之间连有轻弹簧，平衡时绳长为L，张力为T1，弹簧弹力为F1.若将弹簧换成原长相同的劲度系数更小的轻弹簧，再次平衡时绳中的张力为T2，弹簧弹力为F2，则( BD )
A．T1>T2 B．T1＝T2C．F1F2
解析：以B球为研究对象，B球受到重力G、弹簧的弹力F和绳子的张力T，如图所示．B球受力平衡时，F与T的合力与重力G大小相等、方向相反，即G′＝G，根据三角形相似得eq \f(G′,OA)＝eq \f(T,OB)＝eq \f(F,AB).换成劲度系数小的轻弹簧，形变量增大，AB减小，则T不变，F减小，选项B、D正确． 答案：BD
【巩固提高】[利用相似形]如图所示，由绝缘材料制成的的光滑的半圆轨道固定在水平面上，O点为圆心带电荷量为、质量为的小球固定在半圆轨道底端的A点，带电荷量为、质量为的小球静止于半圆轨道内的B点，此时由于、两小球的质量变化或电荷量变化使得b小球沿半圆轨道缓慢下滑。恰好静止于C点，，此时、两小球的质量分别为、，电荷量分别为、，已知、两小球均可视为带电质点，则下列说法正确的是（ C ）
A、小球受到的支持力一定大于其重力B、小球的质量和电荷量至少有一个应发生变化
C、可能仅是小球的质量增加至 D、可能仅是、两小球电荷量的乘积减小至
【解析】对小球b在B处受力分析如图：由图可知，，
则：，即：， 所以：。
小球b 所受的支持力大小不变。由图可知：，
其中：；而：； 即。
整理得：， 初、末状态比之为：，
则：变为原来的即可（、、三个数据都可以变化）；
若只改变b 小球的质量，则变为原来的倍；
若改变a、b两小球电荷量的乘积，则减小至原来的。综上分析，C正确。
【例题5】[利用拉密定理]：a球固定在倾角为30°斜面上，质量为m的光滑b球置于a球和斜面之间，如图所示．已知rb＝3ra，重力加速度取g．则
A．b球受两个力的作用B．斜面对b球支持力为mg （ D ）
C．b球对a球的压力为mgD．a球对b球的弹力与斜面对b球的弹力大小相等
【解析】A.对b分析如图：可知b受到重力、斜面的支持力以及a对b的支持力三个力的作用，故A错。
BD.设ab的连线与斜面之间的夹角为α，由几何关系可知：，
所以：α＝30°；所以a对b的支持力的方向与竖直方向之间的夹角也为30°，
由几何关系可知：斜面对b的支持力的方向与竖直方向之间的夹角为30°；
所以在竖直方向：N1cs30°+N2cs30°＝mg ；水平方向：N1sin30°＝N2sin30°
可得：．故B错误，D正确；
C.由牛顿第三定律可知，b对a的压力也是mg．故C错误；
【针对练习】如图所示，一小球在纸面内来回摆动，当绳OA与OB拉力相等时，摆线与竖直面夹角α为（ C ）
A、B、C、D、
【解析】以O点为研究对象，在纸面内受三个共点力作用，即绳OA的拉力、绳OB的拉力及摆线的拉力F。由拉密定理有：，
当：时，有：，故：。选项C正确。
【巩固提高】如图所示，a，b两个小球穿在一根与水平面夹角为θ的光滑固定细杆上，并通过一细绳跨过光滑定滑轮相连。当两球静止时，a绳与杆的夹角也为θ，b绳恰好沿竖直方向。若b球质量为m，a球的质量为（ D ）
A．msinθB．mcsθC．mtanθD．mctθ
【解析】分别对a、b两球分析，如图。对b，由平衡条件得：
对a球，由平衡条件得：
联立解得：；故D正确，ABC错误。故选D。
【自我检测】如图所示，用A、B两个测力计拉橡皮条的 D端（O端固定），当D端达E处时，有α+β=900，然后保持A的读数不变，当α角由图中所示的值逐渐变小时，要使D仍在E处，可采用的方法是（ B ）
A、增大B的读数，减小β角；B、减小B的读数，减小β角
C、增大B的读数，增大β角；D、减小B的读数，增大β角
【解析】以E点为研究对象，E点受三个共点力，即测力计的拉力、及橡皮条对E点的弹力F。如图所示。由拉密定理，有：①
即：②；由②知：当值逐渐变小时，可减小（B的读数），减小角。故选B。
【例题6】[利用交汇原理]：如图，长为2m的均匀杆AB，A端用细绳拉住，B端搁于铅垂墙面，并在图示位置处于平衡，不计摩擦，则绳AC的长度为 m。
【针对练习】（正弦定理应用）如图，是一半径为R的圆球，其重心不在球心O上，现将它置于水平地面上，则平衡时，球与地面的接触点为A。若它置于倾角为30°的粗糙斜面上，则平衡时，（静摩擦力足够大），球与斜面的接触点为B，已知AB的圆心角为30°，则圆球重心离球心O的距离是 。
【巩固提高】如图，一棒粗细不均，长L=6.0米.用轻绳悬挂于两壁之间,并保持水平,设θ=45°,φ=30°,求棒的重心位置. （距B端2.2米）
【解析】因AB棒受到两绳的张力及重力作用而处于平衡状态，，其中两绳的张力作用线交于一点，故这三个力一定汇交于一点O，据此可打出棒的重心C点，
如图所示，设，则；
由几何关系可知：；
； 故 ：
即：；
故棒的重心在棒上AB间，距B端2.2m处。
【自我检测】（交汇原理及动态分析结合）如图，一梯子（不计重力）斜靠在光滑墙壁上，今有一重为G的人从地面沿梯缓慢向上爬，设地面的摩擦力足够大，人在上爬的过程中，墙对梯子的支持力N和地面对梯子的作用力F分别如何变化？
【解析】将人和梯子看作整体，受到墙的作用力N，地面支持力F（弹力和摩擦力的合力），还有重力G，如图。
由于人在缓慢向上爬（动态分析）
分析可知;F变大，N变大。
【例题7】[动态分析1]如图所示，a、b两细绳一端系着质量为m的小球，另一端系在竖直放置的圆环上，小球位于圆环的中心，开始时绳a水平，绳b倾斜，现将圆环在竖直平面内顺时针缓慢地向右滚动至绳a竖直，在此过程中 （ C ）
A．a上的张力逐渐增大，b上的张力逐渐增大
B．a上的张力逐渐减小，b上的张力逐渐减小
C．a上的张力先增大后减小，b上的张力逐渐减小
D．a上的张力先减小后增大，b上的张力逐渐增大
【解析】对小球进行受力分析，如图所示。mg的对角不变，设为γ，设Fa的对角为α，Fb的对角为β，在缓慢转动的过程中，小球始终处于平衡状态，
由正弦定理得：；α角由钝角减小至直角，再变为锐角，sinα先逐渐增大后减小，可得Fa先逐渐增大，后减小。β角由直角增加至平角，sinβ逐渐减小，可得，Fb逐渐减小。故ABD错误，C正确。
点睛：本题考查了共点力的平衡问题，弄清楚圆环转动过程中细绳和小球所处的状态是解答本题的关键，通过列式进行动态变化分析；此题圆环顺时针旋转900等效于重力mg逆时针旋转900。
【针对练习】如图所示，竖直面内有一 光滑圆环，圆心为O，AB为竖直的直径。质量为m的小球套在圆环上，一根不可伸长细线的下端系着小球，上端系在A点，静止时细线与直径AB的夹角。现使圆环绕通过O垂直于环面的水平轴沿顺时针方向缓慢转过的过程中，细线对小球的拉力F和环对小球的弹力的在大小变化情况是（ AD ）
A、先变小再变大B、F先变小再变大
C、一直变小D、F一直变小
【解析】细线对小球的拉力F和环对小球的弹力的夹角不变，其合力与重力平衡。圆环绕通过O垂直于环面的水平轴沿顺时针方向缓慢转过的过程中，相当于只将重力逆时针旋转。因为重力大小不变，作出力的四边形如图所示，由图可知F一直变小，先变小再变大。故选AD。
【巩固提高】如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为（）。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中（ AD ）
A．MN上的张力逐渐增大B．MN上的张力先增大后减小
C．OM上的张力逐渐增大D．OM上的张力先增大后减小
【解析】以重物为研究对象，受重力mg，OM绳上拉力F2，MN上拉力F1，由题意知，三个合力始终为零，矢量三角形如图所示，在F2转至水平的过程中，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，所以AD正确，BC错误。
【例题8】[动态分析2]如图所示，三根长度均为l的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2l.现在C点上悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加的力的最小值为( C )
A．mg B.eq \f(\r(3),3)mgC.eq \f(1,2)mg D.eq \f(1,4)mg
【解析】：对C点进行受力分析，由平衡条件可知，绳CD对C点的拉力FCD＝mgtan 30°，对D点进行受力分析，如图所示，绳CD对D点的拉力F2＝FCD＝mgtan 30°，故F2是恒力，又绳BD的拉力F1方向一定，则F1与在D点施加的力F3的合力与F2等值反向，由图知当F3垂直于绳BD时，F3最小，由几何关系可知，F3＝F2sin 60°＝eq \f(1,2)mg，选项C正确． 答案：C
【针对练习】如图所示，质量为m的小球a、b之间用轻绳相连，小球a通过轻杆固定在左侧竖直墙壁上，轻杆与竖直墙壁夹角为30°。现改变作用在小球b上的外力的大小和方向，轻绳与竖直方向的夹角保持60°不变，则 （ BD ）
A．轻绳上的拉力一定小于mgB．外力F的最小值为
C．轻杆对小球a作用力的方向不变D．轻杆对小球a的作用力最小值为mg
【巩固提高】如图所示，质量和电荷量均相同的两个小球A、B分别套在光滑绝缘杆MN、NP上，两杆固定在一起，NP水平且与MN处于同一竖直面内，为钝角，B小球受一沿杆方向的水平推力F1作用，A、B均处于静止状态，此时A、B两球间距为L1.现缓慢推动B球，A球也缓慢移动，当B球到达C点时，水平推力大小为F2，A、B两球间距为L2，则:（ BC ）
A、B、C、D、
【解析】CD，对A受力分析如图所示，A受到重力mg、支持力FA和库仑力F库，根据平衡条件可知，
重力mg和库仑力F库的合力FA与支持力FA等值反向，可以把重力mg、支持力FA和库仑力F库之间的三角形关系，如图所示。当B球向C移动的过程中，库仑力的方向在改变，即图中角变小，由矢量三角形可知，库仑力在变小。根据库仑定律：，可知L变大，即AB之间的距离变大；故C正确，D错误。
AB，对B球受力分析如图所示，B受到重力mg、支持力FB、库仑力F库和推力F，根据平衡条件可知，F=F库cs，当B球向C移动的过程中，库仑力的方向在改变，即在变大，则变小，库仑力又在减小，故推力F变小，即：；故A错误。B正确。
【自我检测】如图所示，两块固定且相互垂直的光滑挡板POQ，OP竖直放置，OQ水平，小球a、b固定在轻弹簧的两端，现有一个水平向左的推力，作用于b上，使a、b紧靠挡板处于静止状态。现用力F推动小球b，使之缓缓到达b’位置，则（ D ）
A. 推力F变大B. b对OQ的压力变大
C. 弹簧长度变短D. 弹簧长度变长
【解析】根据三力平衡的动态分析可知：D答案正确。
五、自锁、全反力与动态分析
【例题9】水平地面上有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为（0<<1）。现对木箱施加一拉力F，使木箱做匀速直线运动。设F的方向与水平面夹角为θ，如图，在θ从00逐渐增大到900的过程中，木箱的速度保持不变，则：（ AC ）
A. F先减小后增大B. F一直增大
C. F的功率减小D. F的功率不变
【解析】本题难度比较大，如果采用三角函数求极值的方法，运算过程比较复杂，数学功底不扎实的可能还求不出来。若引入全反力，用适量图解法进行动态分析，求解过程将会很简捷，分析过程如下：
物体受四个力作用，重力mg、支持力FN、摩擦力f、拉力F，FN和f的合力也即全反力用R表示，设R与FN的夹角为，如图3所示，由上述摩擦角的概念知道，。当拉力F的方向变化时，全反力R的大小也将变化，但方向保持不变。引入全反力R，将四力平衡问题转化为三力平衡的问题，由于物体匀速运动，则mg、R、F的合力为零，表示这三个力的矢量可以做成一个封闭的矢量三角形。改变F与水平方向的夹角θ，可以得到不同的封闭矢量三角形，即动态三角形，如图4所示。由图4的动态三角形，可以得到以下结论：在由变化到过程中，R一直变小；由上面的结论可以得到，选项A正确。
由于物体匀速运动，有：；（1）
而F的功率为： (2)
由（1）（2）得到： （3）
由于R一直变小，而不变，所以在由00变化到900过程中，F的功率减小，选项C正确。
故本题答案为A、C。
【针对练习】如图一物体质量为m，置于倾角为α的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，若要使物体沿斜面匀速向上滑动，求拉力的最小值。
【解析】：设全反力为FR，摩擦角为φ。，则由平衡条件和矢量三角形可得：当拉力F垂直于全反力方向时，此时F的接力最小。
如图12所示，
由：，则所以：。
【巩固提高】拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具（如图）。设拖把头的质量为m，拖杆质量可以忽略：拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加速度为g，某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ。
（1）若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小。
（2）设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ。已知存在一临界角，若，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动。求这一临界角的正切
【解析】（1）设该同学沿拖杆方向用大小为F的力推拖把，将推拖把的力沿竖直和水平方向分解，按平衡条件有：①；②式中N和ƒ分别为地板对拖把的正压力和摩擦力。
按摩擦定律③； 联立①②③式得：④
（2）若不管沿拖杆方向用多大的力都不能使拖把从静止开始运动，应有：⑤；
这时①式仍满足。联立①⑤式得：⑥
现考察使卡式成立的θ角的取值范围。
注意到卡式右边总是大于零，且当F无限大时极限为零，有：⑦
使上式成立的θ角满足，这里是题中定义的临界角，即当时，不管沿拖杆方向用多大的力都推不动拖把，临界角的正切为⑧
【解析分析】（1）对拖把头受力分析，抓住竖直方向和水平方向合力为零，运用正交分解求出推力F的大小。
（2）当推力F的水平侵略小于等于最大静摩擦力时，不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动。
结合第1问的结果，得到λ的表达式，采用极限法：当F无限大时的情况求解。
【点评】本题第1问是常规题，根据平衡条件，运用正交分解法求解推力。
第2问是一种自锁现象，根据推不动的条件：推力的水平分力不大于最大静摩擦力出发进行分析求解。
【自我练习】如图所示，作用于轻绳端点A竖直向下的拉力通过跨在光滑小滑轮的轻绳拉一处在较远处的物体（初始位置绳与水平方向的夹角很小），使物体沿水平面向右匀速滑动，在此过程中：（ AD ）
A. 绳端A的速度逐渐减小
B. 绳端A的速度逐渐增大
C. 绳端拉力F逐渐增大
D. 绳端拉力F的功率逐渐减小
【解析】物体沿水平向右匀速运动过程实际参与了两个运动，一个是沿绳子方向的运动速度v1，另一个是与绳子垂直方向的运动速度v2，设绳子与水平夹角为θ，则有，
随着物体向右运动，θ逐渐增大，则绳子移动的速度即绳子A端的速度v1逐渐减小答案A正确，B错误。对物块受力分析如图，一共四个力，即地面支持力N地面滑动摩擦力μN重力和绳子拉力F，由于地面支持力和地面滑动摩擦力比例关系和方向恒定，因此合力方向恒定如图。根据受力平衡，策略和拉力的合力与支持力摩擦力合力等大反向，所以在重力和拉力的合力矢量三角形中，重力大小方向确定，合力方向确定，初始拉力接近水平方向如位置1，随后接力与水平方向夹角逐渐变大如位置2、3等依次变化。当拉力F与合力垂直时拉力最小，随后θ增大拉力又增大，所以拉力F先减小后增大，答案C错。在此变化过程中，合力逐渐变小，根据图示摩擦力逐渐变小。物块匀速运动，拉力F和摩擦力做功总功为0，二者功率相等，由于速度不变，摩擦力变小，摩擦力的功率变小所以拉力F的功率变小，答案D正确。
六、支架、轻绳、有铰链的轻杆的比较
【例题10】如图所示，小车沿水平面向右做匀加速直线运动，车上固定的硬杆和水平车面的夹角为θ，杆的顶端固定着一个质量为m的小球，当小车运动的加速度逐渐增大时，杆对小于的作用力（F1至F4变化）的变化图示可能是：（ B ）
【针对练习】如图所示，有一箱装得很满的土豆，以一定的初速度在动摩擦因数为μ的水平地面上做匀减速运动（不计其它外力及空气阻力），则其中一个质量为m的土豆A受到其他土豆对它的总的作用力大小应是：（ C ）
A.mgB.μmgC.D.
【解析】对整体进行分析： ；；方向向左。
隔离对土豆分析，土豆受重力、其它土豆对它的作用力，如右图所示；
根据牛顿第二定律得：；
根据平行四边形定则，其它土豆对它的作用力为：
故C正确。A、B、D错误
【巩固提高】轻绳AB总长L，用轻滑轮悬挂G的物体。绳能承受的最大拉力是2G，将A端固定，将B端缓慢向右移动d而使绳不断，求d的最大可能值。
【解析】如图所示，以与滑轮接触的那一小段绳子为研究对象，在任何一个平衡位置都在滑轮对它的压力（大小为G）和绳的拉力、共同作用下静止，而同一根绳子上的拉力大小、总是相等的，它们的合力是重力G的平衡力，方向竖直向上。
因此以、为分力作力的合成的平行四边形一定是菱形。利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合相似三角形知识可得：，
因为绳能承受的最大拉力是2G，所以d最大时： ，
此时：，所以d最大为：； 答案：d的最大值为：。