《角》课堂练习题含答案

4.3　角

4.3.1　角

知识点一:角的定义及其表示方法

1.下列说法中,正确的是(C　)

A.两条射线组成的图形叫做角

B.有公共端点的两条线段组成的图形叫做角

C.角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形

D.角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形

2.

如图,写出图中符合下列条件的角(图中所有的角均指小于平角的角):

(1)能用一个大写字母表示的角;

(2)以点A为顶点的角.

解(1)能用一个大写字母表示的角有∠C,∠B.

(2)以点A为顶点的角有∠CAB,∠CAD和∠DAB.

知识点二:角的度量与换算

3.计算16°5'24″=16.09　°; 

47.28°=47　°16　'48　″. 

拓展点一:钟面角

1.时钟显示为8:30时,时针与分针所夹的角是(C　)

A.90° B.120° C.75° D.84°

2.如图,观察时钟,回答:

(1)分针多长时间转一圈?它的转速是多少?

(2)从0点(12时)开始到6时整,时针转动了几度?

(3)从12时到12时30分,分针转动了几度?

解(1)分针60分钟转一圈,它的转速是360÷60=6(度/分).

(2)从0点(12时)开始到6时整,时针转动了180°;

(3)从12时到12时30分,分针转动了180°.

拓展点二:与角的个数有关的问题

3.如图所示,在∠AOB的内部引出5条射线能组成21　个角. 

4.如图,图中共有8　个角. 

1.(2016·北京中考)如图所示,用量角器度量∠AOB,可以读出∠AOB的度数为(B　)

A.45° B.55° C.125° D.135°

2.(2016·福建厦门中考)1°等于(C　)

A.10' B.12' 

C.60' D.100'

3.(2016·广西百色中考)下列关系式正确的是(D　)

A.35.5°=35°5' 

B.35.5°=35°50'

C.35.5°<35°5' 

D.35.5°>35°5'

4.(2016·河北唐山期末)如图,下列表示角的方法中,不正确的是(B　)

A.∠A B.∠E 

C.∠α D.∠1

5.(2016·山东单县期末)中午12时15分时,钟面上的时针和分针所成的角是(C　)

A.90° B.75° 

C.82.5° D.60°

6.(2016·四川雅安中考)1.45°=87　'. 

7.(2016·天津河西区校级期末)35.36度=35　度21　分36　秒. 

8.

(2016·河北邯郸月考)如图所示,把用数字或希腊字母表示的角用三个大写字母表示.

解∠1可表示为∠BAC;∠2可表示为∠ADB;∠α可表示∠DBC,∠β可表示为∠ACD.

9.(2016·江苏启东市月考)用度表示下列各角.

(1)37°36″;

(2)51°6';

(3)15°24'36″.

解(1)37°36″=37°+'

=37°+0.6'=37°+°

=37°+0.01°=37.01°;

(2)51°6'=51°+°

=51°+0.1°=51.1°;

(3)15°24'36″=15°24'+'

=15°24'+0.6'=15°+24.6'

=15°+°=15°+0.41°=15.41°.

10.观察常用时钟,回答下列问题:

(1)早晨8时整,时针和分针构成多少度的角?

(2)时针多长时间转一圈?它转动的速度是每小时多少度?

(3)从8:00到8:40,分针转动了多少度?

解(1)8时,时针和分针中间相差4个大格.

所以8时,分针与时针的夹角是4×30°=120°,

答:早晨8时整,时针和分针构成120度的角.

(2)由时钟可知时针12个小时转一圈,

360°÷12=30°.

答:时针12个小时转一圈,它转动的速度是每小时30度.

(3)分针转过的角度为(360°÷60)×40=240°.

答:分针转动了240度.

2016年人教新版七年级数学上册同步测试：4.3.1 角（一）

一、选择题（共15小题）

1．如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D．再分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，过点E作射线OE，连接CD．则下列说法错误的是（　　）

A．射线OE是∠AOB的平分线

B．△COD是等腰三角形

C．C、D两点关于OE所在直线对称

D．O、E两点关于CD所在直线对称

2．如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（　　）

A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行

C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等

3．已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是（　　）

A． B．C． D．

4．数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是（　　）

A． B． C． D．

5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（　　）

A．AD=BD B．BD=CD C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC

6．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为（6a，2b﹣1），则a和b的数量关系为（　　）

A．6a﹣2b=1 B．6a+2b=1 C．6a﹣b=1 D．6a+b=1

7．如图，用尺规作图：“过点C作CN∥OA”，其作图依据是（　　）

A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行

C．同旁内角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行

8．如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若射线OB与射线OA垂直，则OB的方位角是（　　）

A．北偏西30° B．北偏西60° C．东偏北30° D．东偏北60°

9．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

10．如图，用尺规作出∠OBF=∠AOB，作图痕迹是（　　）

A．以点B为圆心，OD为半径的圆 B．以点B为圆心，DC为半径的圆

C．以点E为圆心，OD为半径的圆 D．以点E为圆心，DC为半径的圆

11．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（　　）

A．a=b B．2a+b=﹣1 C．2a﹣b=1 D．2a+b=1

12．如图，分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于B，D两点，连接BD，AB，BC，CD，DA，以下结论：

①BD垂直平分AC；

②AC平分∠BAD；

③AC=BD；

④四边形ABCD是中心对称图形．

其中正确的有（　　）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④

13．观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（　　）

A．PQ为∠APB的平分线 B．PA=PB

C．点A、B到PQ的距离不相等 D．∠APQ=∠BPQ

14．如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（　　）

作法：

①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E；

②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C；

③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线．

A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS

15．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（　　）

A．（SAS） B．（SSS） C．（ASA） D．（AAS）

二、填空题（共7小题）

16．把角度化为度、分的形式，则20.5°=20°　　　　　　′．

17．2700″=　　　　　　°．

18．把15°30′化成度的形式，则15°30′=　　　　　　度．

19．阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题：

小芸的作法如下：

老师说：“小芸的作法正确．”

请回答：小芸的作图依据是　　　　　　．

20．计算：50°﹣15°30′=　　　　　　．

21．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：

①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；

②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为　　　　　　．

22．如图，在△ABC中，AC=BC，∠B=70°，分别以点A、C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，分别交AC、BC于点D、E，连结AE，则∠AED的度数是　　　　　　°．

三、解答题（共8小题）

23．根据图中尺规作图的痕迹，先判断得出结论：　　　　　　，然后证明你的结论（不要求写已知、求证）

24．如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．

（1）求证：AB=AE；

（2）若∠A=100°，求∠EBC的度数．

25．如图，△ABC是等边三角形，D是BC的中点．

（1）作图：

①过B作AC的平行线BH；

②过D作BH的垂线，分别交AC，BH，AB的延长线于E，F，G．

（2）在图中找出一对全等的三角形，并证明你的结论．

26．如图，在△ABC中，∠C=60°，∠A=40°．

（1）用尺规作图作AB的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点E（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；

（2）求证：BD平分∠CBA．

27．如图，BD是矩形ABCD的一条对角线．

（1）作BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，垂足为点O．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）求证：DE=BF．

28．如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．

（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．

29．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．

（1）用尺规在边BC上求作一点P，使PA=PB（不写作法，保留作图痕迹）

（2）连接AP，当∠B为　　　　　　度时，AP平分∠CAB．

30．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE．

（1）求∠ADE；（直接写出结果）

（2）当AB=3，AC=5时，求△ABE的周长．

2016年人教新版七年级数学上册同步测试：4.3.1 角（一）

参考答案与试题解析

一、选择题（共15小题）

1．如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D．再分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E，过点E作射线OE，连接CD．则下列说法错误的是（　　）

A．射线OE是∠AOB的平分线

B．△COD是等腰三角形

C．C、D两点关于OE所在直线对称

D．O、E两点关于CD所在直线对称

【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．

【专题】压轴题．

【分析】连接CE、DE，根据作图得到OC=OD、CE=DE，利用SSS证得△EOC≌△EOD从而证明得到射线OE平分∠AOB，判断A正确；

根据作图得到OC=OD，判断B正确；

根据作图得到OC=OD，由A得到射线OE平分∠AOB，根据等腰三角形三线合一的性质得到OE是CD的垂直平分线，判断C正确；

根据作图不能得出CD平分OE，判断D错误．

【解答】解：A、连接CE、DE，根据作图得到OC=OD、CE=DE．

∵在△EOC与△EOD中，

，

∴△EOC≌△EOD（SSS），

∴∠AOE=∠BOE，即射线OE是∠AOB的平分线，正确，不符合题意；

B、根据作图得到OC=OD，

∴△COD是等腰三角形，正确，不符合题意；

C、根据作图得到OC=OD，

又∵射线OE平分∠AOB，

∴OE是CD的垂直平分线，

∴C、D两点关于OE所在直线对称，正确，不符合题意；

D、根据作图不能得出CD平分OE，

∴CD不是OE的平分线，

∴O、E两点关于CD所在直线不对称，错误，符合题意．

故选：D．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形、轴对称的性质，从作图语句中提取正确信息是解题的关键．

2．如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（　　）

A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行

C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等

【考点】作图—基本作图；平行线的判定．

【分析】由已知可知∠DPF=∠BAF，从而得出同位角相等，两直线平行．

【解答】解：∵∠DPF=∠BAF，

∴AB∥PD（同位角相等，两直线平行）．

故选：A．

【点评】此题主要考查了基本作图与平行线的判定，正确理解题目的含义是解决本题的关键．

3．已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是（　　）

A． B．C． D．

【考点】方向角．

【分析】根据方向角的定义，即可解答．

【解答】解：根据岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，故D符合．

故选：D．

【点评】本题考查了方向角，解决本题的关键是熟记方向角的定义．

4．数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】作图—基本作图．

【分析】A、根据作法无法判定PQ⊥l；

B、以P为圆心大于P到直线l的距离为半径画弧，交直线l，于两点，再以两点为圆心，大于它们的长为半径画弧，得出其交点，进而作出判断；

C、根据直径所对的圆周角等于90°作出判断；

D、根据全等三角形的判定和性质即可作出判断．

【解答】解：根据分析可知，

选项B、C、D都能够得到PQ⊥l于点Q；选项A不能够得到PQ⊥l于点Q．

故选：A．

【点评】此题主要考查了过直线外以及过直线上一点作已知直线的垂线，熟练掌握基本作图方法是解题关键．

5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（　　）

A．AD=BD B．BD=CD C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC

【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线．

【分析】由题意可知：MN为AB的垂直平分线，可以得出AD=BD；CD为直角三角形ABC斜边上的中线，得出CD=BD；利用三角形的内角和得出∠A=∠BED；因为∠A≠60°，得不出AC=AD，无法得出EC=ED，则∠ECD=∠EDC不成立；由此选择答案即可．

【解答】解：∵MN为AB的垂直平分线，

∴AD=BD，∠BDE=90°；

∵∠ACB=90°，

∴CD=BD；

∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，

∴∠A=∠BED；

∵∠A≠60°，AC≠AD，

∴EC≠ED，

∴∠ECD≠∠EDC．

故选：D．

【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及直角三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

6．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为（6a，2b﹣1），则a和b的数量关系为（　　）

A．6a﹣2b=1 B．6a+2b=1 C．6a﹣b=1 D．6a+b=1

【考点】作图—基本作图；坐标与图形性质．

【分析】根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号可得6a+2b﹣1=0，然后再整理可得答案．

【解答】解：根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上；点P到x轴、y轴的距离相等；点P的横纵坐标互为相反数，

则P点横纵坐标的和为0，

故6a+2b﹣1=0（或﹣6a=2b﹣1），

整理得：6a+2b=1，

故选B．

【点评】此题主要考查了基本作图﹣角平分线的做法以及坐标与图形的性质：点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．

7．如图，用尺规作图：“过点C作CN∥OA”，其作图依据是（　　）

A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行

C．同旁内角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行

【考点】作图—基本作图；平行线的判定．

【分析】根据两直线平行的判定方法得出其作图依据即可．

【解答】解：如图所示：“过点C作CN∥OA”，其作图依据是：作出∠NCO=∠O，则CN∥AO，

故作图依据是：内错角相等，两直线平行．

故选：B．

【点评】此题主要考查了基本作图以及平行线判定，正确掌握作图基本原理是解题关键．

8．如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若射线OB与射线OA垂直，则OB的方位角是（　　）

A．北偏西30° B．北偏西60° C．东偏北30° D．东偏北60°

【考点】方向角．

【分析】根据垂直，可得∠AOB的度数，根据角的和差，可得答案．

【解答】解：∵射线OB与射线OA垂直，

∴∠AOB=90°，

∴∠1=90°﹣30°=60°，

故射线OB的方位角是北偏西60°，

故选：B．

【点评】本题考查了方向角，方向角的表示方法是北偏东或北偏西，南偏东或南偏西．

9．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．

【专题】几何图形问题．

【分析】根据作图过程得到PB=PC，然后利用D为BC的中点，得到PD垂直平分BC，从而利用垂直平分线的性质对各选项进行判断即可．

【解答】解：根据作图过程可知：PB=CP，

∵D为BC的中点，

∴PD垂直平分BC，

∴①ED⊥BC正确；

∵∠ABC=90°，

∴PD∥AB，

∴E为AC的中点，

∴EC=EA，

∵EB=EC，

∴②∠A=∠EBA正确；③EB平分∠AED错误；④ED=AB正确，

故正确的有①②④，

故选：B．

【点评】本题考查了基本作图的知识，解题的关键是了解如何作已知线段的垂直平分线，难度中等．

10．如图，用尺规作出∠OBF=∠AOB，作图痕迹是（　　）

A．以点B为圆心，OD为半径的圆 B．以点B为圆心，DC为半径的圆

C．以点E为圆心，OD为半径的圆 D．以点E为圆心，DC为半径的圆

【考点】作图—基本作图．

【分析】根据作一个角等于已知角的作法进行解答即可．

【解答】解：作∠OBF=∠AOB的作法，由图可知，

①以点O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交射线OA、OB分别为点C，D；

②以点B为圆心，以OC为半径画圆，分别交射线BO、MB分别为点E，F；

③以点E为圆心，以CD为半径画圆，交于点N，连接BN即可得出∠OBF，则∠OBF=∠AOB．

故选D．

【点评】本题考查的是基本作图，熟知作一个角等于已知角的基本步骤是解答此题的关键．

11．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（　　）

A．a=b B．2a+b=﹣1 C．2a﹣b=1 D．2a+b=1

【考点】作图—基本作图；坐标与图形性质；角平分线的性质．

【专题】压轴题．

【分析】根据作图过程可得P在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得|2a|=|b+1|，再根据P点所在象限可得横纵坐标的和为0，进而得到a与b的数量关系．

【解答】解：根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，

则P点横纵坐标的和为0，

故2a+b+1=0，

整理得：2a+b=﹣1，

故选：B．

【点评】此题主要考查了每个象限内点的坐标特点，以及角平分线的性质，关键是掌握各象限角平分线上的点的坐标特点|横坐标|=|纵坐标|．

12．如图，分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于B，D两点，连接BD，AB，BC，CD，DA，以下结论：

①BD垂直平分AC；

②AC平分∠BAD；

③AC=BD；

④四边形ABCD是中心对称图形．

其中正确的有（　　）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④

【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；中心对称图形．

【分析】根据线段垂直平分线的作法及中心对称图形的性质进行逐一分析即可．

【解答】解：①∵分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，

∴AB=BC，

∴BD垂直平分AC，故此小题正确；

②在△ABC与△ADC中，

∵，

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∴AC平分∠BAD，故此小题正确；

③只有当∠BAD=90°时，AC=BD，故本小题错误；

④∵AB=BC=CD=AD，

∴四边形ABCD是菱形，

∴四边形ABCD是中心对称图形，故此小题正确．

故选C．

【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．

13．观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（　　）

A．PQ为∠APB的平分线 B．PA=PB

C．点A、B到PQ的距离不相等 D．∠APQ=∠BPQ

【考点】作图—基本作图．

【分析】根据角平分线的作法进行解答即可．

【解答】解：∵由图可知，PQ是∠APB的平分线，

∴A，B，D正确；

∵PQ是∠APB的平分线，PA=PB，

∴点A、B到PQ的距离相等，故C错误．

故选C．

【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法及性质是解答此题的关键．

14．如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（　　）

作法：

①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E；

②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C；

③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线．

A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS

【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定．

【分析】根据作图的过程知道：OE=OD，OC=OC，CE=CD，所以由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC≌△DOC．

【解答】解：如图，连接EC、DC．

根据作图的过程知，

在△EOC与△DOC中，

，

△EOC≌△DOC（SSS）．

故选：C．

【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．

15．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（　　）

A．（SAS） B．（SSS） C．（ASA） D．（AAS）

【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．

【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．

【解答】解：作图的步骤：

①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；

②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；

③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；

④过点D′作射线O′B′．

所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；

作图完毕．

在△OCD与△O′C′D′，

，

∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），

∴∠A′O′B′=∠AOB，

显然运用的判定方法是SSS．

故选：B．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．

二、填空题（共7小题）

16．把角度化为度、分的形式，则20.5°=20°　30　′．

【考点】度分秒的换算．

【分析】1°=60′，可得0.5°=30′，由此计算即可．

【解答】解：20.5°=20°30′．

故答案为：30．

【点评】本题考查了度分秒之间的换算，相对比较简单，注意以60为进制即可．

17．2700″=　0.75　°．

【考点】度分秒的换算．

【分析】根据小的单位化大的单位除以进率，可得答案．

【解答】解：2700″=2700÷60=45′÷60=0.75°，

故答案为：0.75．

【点评】本题考查了度分秒的换算，小的单位化大的单位除以进率60．

18．把15°30′化成度的形式，则15°30′=　15.5　度．

【考点】度分秒的换算．

【分析】根据度、分、秒之间的换算关系，先把30′化成度，即可求出答案．

【解答】解：∵30′=0.5度，

∴15°30′=15.5度；

故答案为：15.5．

【点评】此题考查了度分秒的换算，掌握1°=60′，1′=60″是解题的关键，是一道基础题．

19．阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题：

小芸的作法如下：

老师说：“小芸的作法正确．”

请回答：小芸的作图依据是　到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．　．

【考点】作图—基本作图．

【专题】作图题；压轴题．

【分析】通过作图得到CA=CB，DA=DB，则可根据线段垂直平分线定理的逆定理判断CD为线段AB的垂直平分线．

【解答】解：∵CA=CB，DA=DB，

∴CD垂直平分AB（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．）

故答案为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．．

【点评】本题考查了基本作图：基本作图有：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．

20．计算：50°﹣15°30′=　34°30′　．

【考点】度分秒的换算．

【专题】计算题．

【分析】根据度化成分乘以60，可得度分的表示方法，根据同单位的相减，可得答案．

【解答】解：原式=49°60′﹣15°30′=34°30′．

故答案为：34°30′．

【点评】此类题是进行度、分、秒的加法计算，相对比较简单，注意以60为进制即可．

21．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：

①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；

②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为　105°　．

【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．

【分析】首先根据题目中的作图方法确定MN是线段BC的垂直平分线，然后利用垂直平分线的性质解题即可．

【解答】解：由题中作图方法知道MN为线段BC的垂直平分线，

∴CD=BD，

∵∠B=25°，

∴∠DCB=∠B=25°，

∴∠ADC=50°，

∵CD=AC，

∴∠A=∠ADC=50°，

∴∠ACD=80°，

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°，

故答案为：105°．

【点评】本题考查了基本作图中的垂直平分线的作法及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是了解垂直平分线的做法．

22．如图，在△ABC中，AC=BC，∠B=70°，分别以点A、C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，分别交AC、BC于点D、E，连结AE，则∠AED的度数是　50　°．

【考点】作图—基本作图；等腰三角形的性质．

【分析】由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，故可得出结论．

【解答】解：∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，

∴CE=AE，

∴∠C=∠CAE，

∵AC=BC，∠B=70°，

∴∠C=40°，

∴∠AED=50°，

故答案为：50．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．

三、解答题（共8小题）

23．根据图中尺规作图的痕迹，先判断得出结论：　OM平分∠BOA　，然后证明你的结论（不要求写已知、求证）

【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．

【专题】作图题．

【分析】根据图中尺规作图的痕迹可知，OC=OD，CM=DM，根据全等三角形的判定和性质得到答案．

【解答】解：结论：OM平分∠BOA，

证明：由作图的痕迹可知，OC=OD，CM=DM，

在△COM和△DOM中，

，

∴△COM≌△DOM，

∴∠COM=∠DOM，

∴OM平分∠BOA．

【点评】本题考查的是角平分线的作法和全等三角形的判定和性质，掌握基本尺规作图的步骤和全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

24．如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．

（1）求证：AB=AE；

（2）若∠A=100°，求∠EBC的度数．

【考点】作图—基本作图；等腰三角形的判定与性质．

【分析】（1）根据平行线的性质，可得∠AEB=∠EBC，根据角平分线的性质，可得∠EBC=∠ABE，根据等腰三角形的判定，可得答案；

（2）根据三角形的内角和定理，可得∠AEB，根据平行线的性质，可得答案．

【解答】（1）证明：∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠EBC．

由BE是∠ABC的角平分线，

∴∠EBC=∠ABE，

∴∠AEB=∠ABE，

∴AB=AE；

（2）由∠A=100°，∠ABE=∠AEB，得

∠ABE=∠AEB=40°．

由AD∥BC，得

∠EBC=∠AEB=40°．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定，利用了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定．

25．如图，△ABC是等边三角形，D是BC的中点．

（1）作图：

①过B作AC的平行线BH；

②过D作BH的垂线，分别交AC，BH，AB的延长线于E，F，G．

（2）在图中找出一对全等的三角形，并证明你的结论．

【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定；等边三角形的性质．

【分析】（1）根据平行线及垂线的作法画图即可；

（2）根据ASA定理得出△DEC≌△DFB即可．

【解答】解：（1）作图如下：①如图1；

②如图2：

（2）△DEC≌△DFB

证明：∵BH∥AC，

∴∠DCE=∠DBF，

又∵D是BC中点，

∴DC=DB．

在△DEC与△DFB中，

∵，

∴△DEC≌△DFB（ASA）．

【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．

26．如图，在△ABC中，∠C=60°，∠A=40°．

（1）用尺规作图作AB的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点E（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；

（2）求证：BD平分∠CBA．

【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．

【专题】作图题．

【分析】（1）分别以A、B两点为圆心，以大于AB长度为半径画弧，在AB两边分别相交于两点，然后过这两点作直线即为AB的垂直平分线；

（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的内角和证明即可．

【解答】解：（1）如图1所示：

（2）连接BD，如图2所示：

∵∠C=60°，∠A=40°，

∴∠CBA=80°，

∵DE是AB的垂直平分线，

∴∠A=∠DBA=40°，

∴∠DBA=∠CBA，

∴BD平分∠CBA．

【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质及三角形的内角和及基本作图，解题的关键是了解垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．

27．如图，BD是矩形ABCD的一条对角线．

（1）作BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，垂足为点O．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）求证：DE=BF．

【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．

【专题】作图题；证明题．

【分析】（1）分别以B、D为圆心，以大于BD的长为半径四弧交于两点，过两点作直线即可得到线段BD的垂直平分线；

（2）利用垂直平分线证得△DEO≌△BFO即可证得结论．

【解答】解：（1）答题如图：

（2）∵四边形ABCD为矩形，

∴AD∥BC，

∴∠ADB=∠CBD，

∵EF垂直平分线段BD，

∴BO=DO，

在△DEO和三角形BFO中，

，

∴△DEO≌△BFO（ASA），

∴DE=BF．

【点评】本题考查了基本作图及全等三角形的判定与性质，了解基本作图是解答本题的关键，难度中等．

28．如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．

（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．

【考点】作图—基本作图；平行线的判定．

【专题】作图题．

【分析】（1）根据角平分线基本作图的作法作图即可；

（2）根据角平分线的性质可得∠BDE=∠BDC，根据三角形内角与外角的性质可得∠A=∠BDC，再根据同位角相等两直线平行可得结论．

【解答】解：（1）如图所示：

（2）DE∥AC

∵DE平分∠BDC，

∴∠BDE=∠BDC，

∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC，

∴∠A=∠BDC，

∴∠A=∠BDE，

∴DE∥AC．

【点评】此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相等两直线平行．

29．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．

（1）用尺规在边BC上求作一点P，使PA=PB（不写作法，保留作图痕迹）

（2）连接AP，当∠B为　30　度时，AP平分∠CAB．

【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．

【专题】作图题．

【分析】（1）运用基本作图方法，中垂线的作法作图，

（2）求出∠PAB=∠PAC=∠B，运用直角三角形解出∠B．

【解答】解：（1）如图，

（2）如图，

∵PA=PB，

∴∠PAB=∠B，

如果AP是角平分线，则∠PAB=∠PAC，

∴∠PAB=∠PAC=∠B，

∵∠ACB=90°，

∴∠PAB=∠PAC=∠B=30°，

∴∠B=30°时，AP平分∠CAB．

故答案为：30．

【点评】本题主要考查了基本作图，角平分线的知识，解题的关键是熟记作图的方法及等边对等角的知识．

30．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE．

（1）求∠ADE；（直接写出结果）

（2）当AB=3，AC=5时，求△ABE的周长．

【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用．

【分析】（1）根据题意可知MN是线段AC的垂直平分线，由此可得出结论；

（2）先根据勾股定理求出BC的长，再根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．

【解答】解：（1）∵由题意可知MN是线段AC的垂直平分线，

∴∠ADE=90°；

（2）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，

∴BC==4，

∵MN是线段AC的垂直平分线，

∴AE=CE，

∴△ABE的周长=AB+（AE+BE）=AB+BC=3+4=7．

【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．