人教版弧长和扇形的面积作业

小专题16　求阴影部分的面积

     ——教材P113练习T3的变式与应用

【教材母题】　如图，正三角形ABC的边长为a，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，长为半径作圆．求图中阴影部分的面积．

解：连接AD.

由题意，得CD＝，AC＝a，

故AD＝＝＝a.

则图中阴影部分的面积为×a×a－3×＝a2.

求阴影部分面积的常用方法：

①公式法：所求图形是规则图形，如扇形、特殊四边形等，可直接利用公式计算；

②和差法：所求图形是不规则图形，可通过转化成规则图形的面积的和或差；

③等积变换法：直接求面积较麻烦或根本求不出时，通过对图形的平移、旋转、割补等，为公式法或和差法创造条件．

1．(资阳中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D.若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是(A)

A．2－π                               B．4－π

C．2－π                               D.π

2．(枣庄中考)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2，则阴影部分的面积为(D)

A．2π                           B．π

C.                              D.

3．(深圳中考)如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为(A)

A．2π－4                       B．4π－8

C．2π－8                       D．4π－4

4．(朝阳中考)如图，分别以五边形ABCDE的顶点为圆心，以1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为(C)

A.π              B．3π                C.π              D．2π

5．(山西中考)如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD.若AC＝10 cm，∠BAC＝36°，则图中阴影部分的面积为(B)

A．5π cm2                     B．10π cm2

C．15π cm2                              D．20π cm2

6．(河南中考)如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是(C)

A.                        B．2－

C．2－                 D．4－

7．(天水中考)如图，在△ABC中，BC＝6，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是优弧上的一点，且∠EPF＝50°，则图中阴影部分的面积是(6－π)．

8．(滨州中考)如图，△ABC是等边三角形，AB＝2，分别以A，B，C为圆心，以2为半径作弧，则图中阴影部分的面积是2π－3．

9．(太原二模)如图，AB是半圆O的直径，且AB＝8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是(结果保留π)

10．(南通中考)如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB＝60°.

(1)求∠APB的度数；

(2)若⊙O的半径长为4 cm，求图中阴影部分的面积．

解：(1)连接OA，OB.

∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，

∴∠PAO＝∠PBO＝90°.

∴∠AOB＋∠APB＝180°.

∵∠AOB＝2∠C＝120°，

∴∠APB＝60°.

(2)连接OP.

∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，

∴∠APO＝∠APB＝30°.

在Rt△APO中，∵OA＝4 cm，

∴PO＝2×4＝8(cm)．

由勾股定理得AP＝＝＝4(cm)．

∴S阴影＝2×(×4×4－)＝(16－π)cm2.

11．(本溪中考)如图，点D是等边△ABC中BC边的延长线上一点，且AC＝CD，以AB为直径作⊙O，分别交边AC，BC于点E，F.

(1)求证：AD是⊙O的切线；

(2)连接OC，交⊙O于点G，若AB＝4，求线段CE，CG与围成的阴影部分的面积S.

解：(1)证明：∵△ABC为等边三角形，

∴∠BAC＝∠ACB＝60°.

∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠D＝30°.

∴∠BAD＝90°，即AB⊥AD.

∵AB为直径，∴AD是⊙O的切线．

(2)连接OE，

∵OA＝OE，∠BAC＝60°，

∴△OAE是等边三角形．∴∠AOE＝60°.

∵CB＝CA，OA＝OB，∴CO⊥AB.∴∠AOC＝90°.∴∠EOC＝30°.

∵△ABC是边长为4的等边三角形，∴AO＝2.

由勾股定理得：OC＝＝2.

同理等边△AOE边AO上的高是＝，

∴S阴影＝S△AOC－S等边△AOE－S扇形EOG

＝×2×2－×2×－

＝－.

12．(襄阳中考)如图，在正方形ABCD中，AD＝2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处．再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连接EF，CG.

(1)求证：EF∥CG；

(2)求点C，点A在旋转过程中形成的，与线段CG所围成的阴影部分的面积．

解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝AD＝2，

∠ABC＝90°.

∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得△BFA，

∴△ABF≌△CBE.

∴∠FAB＝∠ECB，∠ABF＝∠CBE＝90°，

AF＝EC.

∴∠AFB＋∠FAB＝90°.

∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，

∴∠AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°，AF＝FG.

∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB.∴EC∥FG.

∵AF＝EC，AF＝FG，∴EC＝FG.

∴四边形EFGC是平行四边形．

∴EF∥CG.

(2)∵△ABF≌△CBE，∴FB＝BE＝AB＝1.

∴AF＝＝.

在△FEC和△CGF中，

∵EC＝GF，∠ECF＝∠GFC，FC＝CF，

∴△FEC≌△CGF(SAS)．

∴S△FEC＝S△CGF.

∴S阴影＝S扇形BAC＋S△ABF＋S△FGC－S扇形FAG

＝＋×2×1＋×(1＋2)×1－

＝－(或)．