人教版二次函数与一元二次方程练习题（含答案）



22.2　二次函数与一元二次方程

01　　基础题

知识点1　二次函数与一元二次方程

1．(柳州中考)小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(D)

A．无解                 B．x＝1

C．x＝－4               D．x＝－1或x＝4

2．(青岛中考)若抛物线y＝x2－6x＋m与x轴没有交点，则m的取值范围是m＞9．

3．二次函数y＝ax2＋bx的图象如图，若一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根，则m的取值范围为m≤3．

4．(1)已知一元二次方程x2＋x－2＝0有两个不相等的实数根，即x1＝1，x2＝－2.求二次函数y＝x2＋x－2与x轴的交点坐标；

(2)若二次函数y＝－x2＋x＋a与x轴有一个交点，求a的值．

解：(1)∵一元二次方程x2＋x－2＝0有两个不相等的实数根，即x1＝1，x2＝－2，

∴二次函数y＝x2＋x－2与x轴的交点坐标为(1，0)，(－2，0)．

(2)∵二次函数y＝－x2＋x＋a与x轴有一个交点，

令y＝0，则－x2＋x＋a＝0有两个相等的实数根，

∴1＋4a＝0，解得a＝－.

知识点2　利用二次函数求一元二次方程的近似解

5．(兰州中考)下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：

那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是(C)

A．1             B．1.1             C．1.2          D．1.3

知识点3　二次函数与不等式

6．二次函数y＝x2－x－2的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是(C)

A．x＜－1

B．x＞2

C．－1＜x＜2

D．x＜－1或x＞2

7．画出二次函数y＝x2－2x的图象．利用图象回答：

(1)方程x2－2x＝0的解是什么？

(2)x取什么值时，函数值大于0；

(3)x取什么值时，函数值小于0.

解：列表：

描点并连线：

(1)方程x2－2x＝0的解是x1＝0，x2＝2.

(2)当x<0或x>2时，函数值大于0.

(3)当0<x<2时，函数值小于0.

易错点1　漏掉函数是一次函数的情况

8．(吕梁市文水县期中)若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为－1或2或1.

易错点2　忽视坐标轴包含x轴和y轴

9．抛物线y＝x2－2x＋1与坐标轴的交点个数是(C)

A．0                   B．1

C．2                   D．3

10．已知抛物线y＝x2－(a＋2)x＋9的顶点在坐标轴上，则抛物线的解析式为y＝x2－6x＋9或y＝x2＋6x＋9或y＝x2＋9．

02　　中档题

11．(牡丹江中考)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(C)

A．x＜2                 B．x＞－3

C．－3＜x＜1              D．x＜－3或x＞1

12．(大同市期中)二次函数y＝(x－2)2＋m的图象如图所示，一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(1，0)及点B(4，3)，则满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围是(A)

A．1≤x≤4              B．x≤1

C．x≥4                 D．x≤1或x≥4

13．如图，抛物线与两坐标轴的交点分别为(－1，0)，(2，0)，(0，2)，则当y＞2时，自变量x的取值范围是(B)

A．0＜x＜

B．0＜x＜1

C.＜x＜1

D．－1＜x＜2

14．(济南中考)二次函数y＝x2＋bx的图象如图，对称轴为直线x＝1.若关于x的一元二次方程x2＋bx－t＝0(t为实数)在－1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是(C)

A．t≥－1                B．－1≤t＜3

C．－1≤t＜8             D．3＜t＜8

15．(阳泉市平定县月考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：

下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝1；③当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4.其中正确的结论有(B)

A．1个                 B．2个

C．3个                  D．4个

16．(杭州中考)把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t(秒)时该足球距离地面的高度h(米)适用公式h＝20t－5t2(0≤t≤4)．

(1)当t＝3时，求足球距离地面的高度；

(2)当足球距离地面的高度为10米时，求t；

(3)若存在实数t1，t2(t1≠t2)，当t＝t1或t2时，足球距离地面的高度都为m(米)，求m的取值范围．

解：(1)当t＝3时，h＝20t－5t2＝20×3－5×9＝15，

∴此时足球距离地面的高度为15米．

(2)当h＝10时，20t－5t2＝10，

即t2－4t＋2＝0，解得t＝2＋或t＝2－.

答：经过2＋或2－秒时，足球距离地面的高度为10米．

(3)由题意得t1和t2是方程20t－5t2＝m(m≥0)的两个不相等的实数根，则

Δ＝202－20m>0.解得m<20.

∴m的取值范围是0≤m<20.

03　　综合题

17．有这样一个问题：探究函数y＝x2＋的图象与性质，小东根据学习函数的经验，对函数y＝x2＋的图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补充完整：

(1)下表是y与x的几组对应值．

　 函数y＝x2＋的自变量x的取值范围是x≠0，m的值为；

(2)在如图所示的平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的大致图象；

(3)进一步探究函数图象发现：

①函数图象与x轴有1个交点，所以对应方程x2＋＝0有1个实数根；

②方程x2＋＝2有3个实数根；

③结合函数的图象，写出该函数的一条性质．

解：(2)函数图象如图所示．

(3)③答案不唯一，如：函数没有最大值或函数没有最小值，函数图象不经过第四象限．



22.2　二次函数与一元二次方程

基础闯关全练

拓展训练

1.(2016山东滨州中考)抛物线y=2x2-2x+1与坐标轴的交点个数是(　　)

A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.3

2.(2017青海西宁城北月考)已知二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y2=kx+m(k≠0)的图象相交于点A(-2,4),B(8,2),如图所示,能使y1>y2成立的x的取值范围是(　　)

A.x<-2　　B.-2<x<8

C.x>8　　D.x<-2或x>8

3.(2017新疆乌鲁木齐天山自主招生)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则方程ax2+bx+c=0的两根之和为　　. 

4.(2017重庆沙坪坝期中)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,自变量x与函数值y的部分对应值如下表:

则当y>0时,x的取值范围是　　　　　　. 

5.(2018安徽安庆桐城月考)若二次函数y=(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方,则m的取值范围是　　　　. 

能力提升全练

拓展训练

1.(2018福建龙岩上杭期中)已知函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点,则k的取值范围是(　　)

A.k≤4且k≠3　　B.k<4且k≠3

C.k<4　　D.k≤4

2.若抛物线y=x2-2 018x+2 019与x轴的两个交点为(m,0)与(n,0),则(m2-2 019m+2 019)(n2-2 019n+2 019)=　　　　. 

3.(2017江苏苏州吴中一模)如图,二次函数y=-x2-x+2的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点D(m,n)是抛物线在第二象限的部分上的一动点,则四边形OCDA的面积的最大值是　　　　. 

4.如图,抛物线y=ax2-x-与x轴正半轴交于点A(3,0).以OA为边在x轴上方作正方形OABC,延长CB交抛物线于点D,再以BD为边向上作正方形BDEF,则点E的坐标是　　　　. 

三年模拟全练

拓展训练

1.(2017天津南开期中,11,★★☆)已知二次函数y=kx2-5x-5的图象与x轴有交点,则k的取值范围是(　　)

A.k>-　　B.k≥-且k≠0

C.k≥-　　D.k>-且k≠0

2.(2017江苏泰州兴化顾庄学区期中,5,★★☆)根据下列表格的对应值:

判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a、b、c为常数)的一个解x的范围是(　　)

A.3.00<x<3.23　　B.3.23<x<3.24

C.3.24<x<3.25　　D.3.25<x<3.26

3.(2018湖北黄石下陆月考,14,★★☆)若抛物线y=x2-(2k+1)x+k2+2与x轴有两个交点,则整数k的最小值是　　　　. 

五年中考全练

拓展训练

1.(2017辽宁朝阳中考,9,★★☆)若函数y=(m-1)x2-6x+m的图象与x轴有且只有一个交点,则m的值为(　　)

A.-2或3　　B.-2或-3

C.1或-2或3　　D.1或-2或-3

2.(2014辽宁盘锦中考,8,★★☆)如图,平面直角坐标系中,点M是直线y=2与x轴之间的一个动点,且点M是抛物线y=x2+bx+c的顶点,则方程x2+bx+c=1的解的个数是(　　)

A.0或2　　B.0或1

C.1或2　　D.0,1或2

3.二次函数y=x2+x+c的图象与x轴有两个交点A(x1,0),B(x2,0),且x1<x2,点P(m,n)是图象上一点,那么下列判断正确的是(　　)

A.当n<0时,m<0

B.当n>0时,m>x2

C.当n<0时,x1<m<x2

D.当n>0时,m<x1

4.(2017湖北咸宁中考,12,★★☆)如图,直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A(-1,p),B(4,q)两点,则关于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解集是　　　　　　　　. 

5.已知抛物线y=(x-m)2-(x-m),其中m是常数.

(1)求证:无论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点;

(2)若该抛物线的对称轴为直线x=.

①求该抛物线的函数解析式;

②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点?

核心素养全练

拓展训练

1.如果一条抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点,那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”,[a,b,c]称为“抛物线三角形系数”,若抛物线三角形系数为[-1,b,0]的“抛物线三角形”是等腰直角三角形,则b的值为(　　)

A.±2　　　B.±3　　　C.2　　　D.3

2.(2016河北唐山路北三模)若m,n(m<n)是关于x的方程(x-a)(x-b)+2=0的两根,且a<b,则a,b,m,n的大小关系是　　　　　　　　(用“<”连接). 

22.2　二次函数与一元二次方程

基础闯关全练

拓展训练

1.答案　C　因为Δ=b2-4ac=(-2)2-4×2×1=0,所以抛物线与x轴有一个交点,因为c=1,所以抛物线与y轴相交于(0,1),故抛物线与坐标轴有2个交点,故选C.

2.答案　D　由图象看出当x<-2或x>8时,二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)的图象在一次函数y2=kx+m(k≠0)的图象的上方,∴能使y1>y2成立的x的取值范围是x<-2或x>8.

3.答案　4

解析　设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)和x轴交点横坐标为x1和x2,∵其对称轴为x=(x1+x2)=2,∴x1+x2=4,即方程ax2+bx+c=0的两根之和为4.

4.答案　-1<x<3

解析　由题表可得x=0和x=2时,y=3,则此二次函数图象的对称轴为直线x=1.

易知当x=-1,以及x=3时,y=0,且图象开口向下,

故当y>0时,x的取值范围是-1<x<3.

5.答案　m>

解析　∵二次函数y=(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方,∴m+5>0,Δ<0,∴m>-5,4(m+1)2-4(m+5)×m<0,解得m>.

能力提升全练

拓展训练

1.答案　D　当k-3=0,即k=3时,此函数为一次函数,它的图象与x轴有交点;当k-3≠0,即k≠3时,此函数为二次函数,若它的图象与x轴有交点,则Δ=22-4×(k-3)×1≥0,解得k≤4.综上,k的取值范围是k≤4.故选D.

2.答案　2 019

解析　∵抛物线y=x2-2 018x+2 019与x轴的两个交点为(m,0)与(n,0),∴m2-2 018m+2 019=0,n2-2 018n+2 019=0,m+n=2 018,mn=2 019,∴(m2-2 019m+2 019)(n2-2 019n+2 019)=-m·(-n)=mn=2 019.

3.答案　8

答案　在y=-x2-x+2中,当x=0时,y=2,∴C(0,2),当y=0时,有-x2-x+2=0,解得x=-4或x=1,∴点A(-4,0)、B(1,0),∵点D(m,n)是抛物线在第二象限的部分上的一动点,∴D,过点D作DH⊥x轴于点H,则DH=-m2-m+2,AH=m+4,HO=-m,

∵S四边形OCDA=S△ADH+S四边形OCDH,∴S=(m+4)×+×(-m)=-m2-4m+4=-(m+2)2+8(-4<m<0),则m=-2时,S取得最大值,最大值为8.

4.答案　(+1,+1)

解析　∵抛物线y=ax2-x-与x轴正半轴交于点A(3,0),∴9a-3-=0.解得a=.

以OA为边在x轴上方作正方形OABC,延长CB交抛物线于点D,∴点B的坐标为(3,3),点D的纵坐标为3,将y=3代入y=x2-x-得,3=x2-x-.解得x1=1+,x2=1-(舍去).∴点D的坐标为(1+,3).∴BD=1+-3=-2.∴DE=-2.∴点E的纵坐标为-2+3=+1,横坐标为+1.

∴点E的坐标为(+1,+1).

三年模拟全练

拓展训练

1.答案　B　∵二次函数y=kx2-5x-5的图象与x轴有交点,∴Δ=b2-4ac=25+20k≥0,且k≠0,解得k≥-,且k≠0.故选B.

2.答案　C　由题中表格知,

当x=3.24时,y=-0.02;

当x=3.25时,y=0.03,

∴方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是3.24<x<3.25.

故选C.

3.答案　2

解析　由题意得[-(2k+1)]2-4(k2+2)>0,解得k>,故整数k的最小值是2.

五年中考全练

拓展训练

1.答案　C　当m=1时,函数解析式为y=-6x+,是一次函数,图象与x轴有且只有一个交点;

当m≠1时,函数为二次函数,

∵函数y=(m-1)x2-6x+m的图象与x轴有且只有一个交点,

∴(-6)2-4×(m-1)×m=0,解得m=-2或3,故选C.

2.答案　D　分三种情况:点M的纵坐标小于1,即点M在直线y=1下方,则方程x2+bx+c=1的解的个数是2;

点M的纵坐标等于1,即点M在直线y=1上,则方程x2+bx+c=1的解的个数是1;

点M的纵坐标大于1,即点M在直线y=1上方,则方程x2+bx+c=1的解的个数是0.故方程x2+bx+c=1的解的个数是0,1或2.故选D.

3.答案　C　由已知得,函数图象开口向上,对称轴在y轴左侧,画出草图(如图),当n>0时,m<x1或m>x2;当n<0时,x1<m<x2.故选C.

4.答案　x<-1或x>4

解析　观察函数图象可知:当x<-1或x>4时,直线y=mx+n在抛物线y=ax2+bx+c的上方,∴不等式mx+n>ax2+bx+c的解集为x<-1或x>4.

5.解析　(1)证明:∵y=(x-m)2-(x-m)=(x-m)(x-m-1),

∴令y=0,得x1=m,x2=m+1.

∵m≠m+1,

∴无论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点(m,0),(m+1,0).

(2)①∵y=(x-m)(x-m-1)=x2-(2m+1)x+m(m+1),

∴该抛物线的对称轴为直线x=-=,

又该抛物线的对称轴为x=,

∴=,解得m=2,

∴该抛物线的函数解析式为y=x2-5x+6.

②∵y=x2-5x+6=-,

∴该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点.

核心素养全练

拓展训练

1.答案　A　∵抛物线三角形系数为[-1,b,0],

∴抛物线的解析式为y=-x2+bx=-+,

∴顶点坐标为,

令y=0,则-x2+bx=0,解得x1=0,x2=b,

∴与x轴的交点坐标为(0,0),(b,0),

∵“抛物线三角形”是等腰直角三角形,

∴=|b|,

∴b2=2b或b2=-2b,∴b=0或b=2或b=-2.

∵当b=0时,抛物线与x轴只有一个交点(0,0),

∴b=0不符合题意,∴b=2或b=-2,故选A.

2.答案　a<m<n<b

解析　∵(x-a)(x-b)+2=0,∴(x-a)(x-b)=-2,∴m、n可看作抛物线y=(x-a)(x-b)与直线y=-2的两交点的横坐标,∵抛物线y=(x-a)(x-b)与x轴的两交点坐标为(a,0),(b,0),又a<b,m<n,∴a<m<n<b.