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人教版《二次函数y＝ax2＋k的图象和性质》同步练习（含答案）共两篇

2022-03-22 07:16:42 636次浏览作者：数学资源组

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二次函数y＝ax2＋k的图象和性质同步练习题

基础题

知识点1　二次函数y＝ax2＋k的图象

1．在抛物线y＝－x2＋1上的一个点是(　　)

A．(1，0) B．(0，0)

C．(0，－1) D．(1，1)

2．抛物线y＝x2＋1的图象大致是(　　)

3．将二次函数y＝2x2－1的图象沿y轴向上平移2个单位，则所得图象对应的函数表达式为______________．

4．填写下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值．

抛物线	开口方向	对称轴	顶点坐标	最值
y＝2x2＋2
y＝－5x2－3
y＝x2＋1
y＝－x2－4

5．在同一直角坐标系中画出y＝－2x2，y＝－2x2＋3的图象．

(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；

(2)抛物线y＝－2x2＋3与抛物线y＝－2x2的图象有什么关系？

知识点2　二次函数y＝ax2＋k的性质

6．已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是(　　)

A．若y1＝y2，则x1＝x2

B．若x1＝－x2，则y1＝－y2

C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2

D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2

7．对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法错误的是(　　)

A．最小值为2

B．图象与y轴没有公共点

C．当x＜0时，y随x的增大而减小

D．其图象的对称轴是y轴

8．抛物线y＝2x2－1在y轴右侧的部分是________(填“上升”或“下降”)．

9．二次函数y＝3x2－3的图象开口向______，顶点坐标为________，对称轴为______，当x>0时，y随x的增大而______；当x<0时，y随x的增大而______．因为a＝3>0，所以y有最______值，当x＝______时，y的最______值是______．

中档题

10．下列各图象中有可能是函数y＝ax2＋a(a≠0)的图象的是(　　)

11．在同一坐标系中，一次函数y＝－mx＋n2与二次函数y＝x2＋m的图象可能是(　　)

12．已知y＝ax2＋k的图象上有三点A(－3，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)，且y2<y3<y1，则a的取值范围是(　　)

A．a>0 B．a<0

C．a≥0 D．a≤0

13．与抛物线y＝－x2－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数解析式是(　　)

A．y＝－x2－1 B．y＝x2－1

C．y＝－x2＋1 D．y＝x2＋1

14．若二次函数y＝ax2＋c，当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取x1＋x2时，函数值为(　　)

A．a＋c B．a－c

C．－c D．c

15．将抛物线y＝ax2＋c向下平移3个单位，得到抛物线y＝－2x2－1，则a＝________，c＝________．

16．若抛物线y＝ax2＋k(a≠0)与y＝－2x2＋4关于x轴对称，则a＝________，k＝________．

17．直接写出符合下列条件的抛物线y＝ax2－1的函数关系式：

(1)通过点(－3，2)；

(2)与y＝x2的开口大小相同，方向相反；

(3)当x的值由0增加到2时，函数值减少4.

18．把y＝－x2的图象向上平移2个单位．

(1)求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴；

(2)画出平移后的函数图象；

(3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值．

综合题

19．如图，隧道的截图由抛物线和长方形构成，长方形的长是8 m，宽是2 m，抛物线可以用y＝－x2＋4表示．一辆货运卡车高4 m，宽2 m，它能通过该隧道吗？

参考答案

基础题

1.A　2.C　3.y＝2x2＋1　

4.向上　y轴　(0，2)　最小值2　向下　y轴　(0，－3)　最大值－3　向上　y轴　(0，1)　最小值1　向下　y轴　(0，－4)　最大值－4　

5.如图所示.　

(1)抛物线y＝－2x2开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，0)．抛物线y＝－2x2＋3开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，3)．

(2)抛物线y＝－2x2＋3可由抛物线y＝－2x2的图象向上平移3个单位得到．　

6.D　7.B　8.上升　9.上　(0，－3)　y轴　增大　减小　小　0　小　－3

中档题

10.B　11.D　12.A　13.B　14.D　15.－2　2　16.2　－4　

17.(1)y＝x2－1.(2)y＝－x2－1.(3)y＝－x2－1.　

18.(1)y＝－x2＋2，顶点坐标是(0，2)，对称轴是y轴．(2)略．(3)x＝0时，y有最大值，为2.

综合题

19.把y＝4－2＝2代入y＝－x2＋4，得2＝－x2＋4，解得x＝±2.∴此时可通过物体的宽度为2－(－2)＝4＞2，∴它能通过该隧道．

22.1.3y=ax2+k的图象和性质(1)同步作业

姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

2．如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（　　）

A．y=（x-1）2+2 B．y=（x+1）2+2

C．y=x2+1 D．y=x2+3

3．适合解析式y=-x2+1的一对值是（）

A. (1，0) B. (0，0) C. (0，-1) D. (1，1)

4．抛物线y＝2x2－1的顶点坐标是（）

A. （2，－1） B. （－1，2） C. （－1，0） D. （0，－1）

5．抛物线y＝－3x2－4的开口方向和顶点坐标分别是（）

A. 向下，(0，4) B. 向下，(0，－4)

C. 向上，(0，4) D. 向上，(0，－4)

8．二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是(　　)

A. 抛物线开口向下

B. 抛物线经过点(2，3)

C. 当x>0时，y随x的增大而减小

D. 抛物线与x轴有两个交点

二、填空题

9．抛物线的对称轴为。

10．已知点P（-1，m）在二次函数的图象上，则m的值为____________；

11．对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法：①最小值为2；②图象的顶点是(3，2)；③图象与x轴没有交点；④当x＜－1时，y随x的增大而增大．其中正确的是____．

12．二次函数y=3x2-3的图象开口向_____，顶点坐标为_____，对称轴为_____，当x>0时，y随x的增大而_____；当x<0时，y随x的增大而_____.因为a=3>0，所以y有最_____值，当x=_____时，y的最_____值是_____.

13．13．将二次函数y=2x2-1的图像沿y轴向上平移2个单位，所得图像对应的函数表达式为．

14．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式。

15．已知抛物线y=-x2+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，则△ABC的面积=____.

16．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在二次函数y＝ax2＋1(a<0)的图象上，若x1>x2>0，则y1____y2.(填“>”“<”或“＝”)

三、解答题

17．对于二次函数y=x2+1，则下列结论正确的是（　　）

A. 图象的开口向下 B. y随x的增大而增大

C. 图象关于y轴对称 D. 最大值是1

18．在同一个直角坐标系中作出y＝x2，y＝x2－1的图象．

(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；

(2)抛物线y＝x2－1与抛物线y＝x2有什么关系？

19．把y=x2的图象向上平移2个单位.

（1）求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴；

（2）画出平移后的函数图象；

（3）求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值.

20．求符合下列条件的抛物线y=ax2-1的函数关系式:

（1）通过点(-3，2)；

（2）与y=x2的开口大小相同，方向相反；

（3）当x的值由0增加到2时，函数值减少4.

参考答案

1．D

【解析】分析：直接根据二次函数的性质即可得出结论．

详解：

∵抛物线y=2x2+1中一次项系数为0，
∴抛物线的对称轴是y轴．
故选：C．

点睛：考查的是二次函数的性质，熟知二次函数y=ax2+c的对称轴是y轴是解答此题的关键．

2．C

【解析】解：∵抛物线y=x2+2向下平移1个单位，

∴抛物线的解析式为y=x2+2-1，即y=x2+1．

故选C．

3．A

【解析】试题分析：当x＝1时，y＝0，故A适合解析式，D不适合解析式；

当x＝0时，y＝1，故B、C不适合解析式．

故选A．

4．D

【解析】试题解析：抛物线的对称轴为：

当时，

顶点坐标是

故选D.

5．B

【解析】试题分析：在抛物线y＝－3x2－4中a<0，所以开口向下；b=0，对称轴为x=0，所以顶点坐标为(0，－4)，故选B.

6．B

【解析】∵二次函数图像平移的规律为“左加右减，上加下减”

∴二次函数的图象向上平移2个单位，所得所得图象的解析式为.

故选B.

7．C

【解析】

试题分析：因为点三点都在抛物线的图象上，所以当x=-2时，=5，当x=-1时，=-1，当x=3时，=15，所以＜＜，故选：C．

考点：二次函数图像的性质．

8．D

【解析】根据二次函数的性质对A、C进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对B进行判断；利用方程2x2-1=0解的情况对D进行判断．

解：A. a=2,则抛物线y=2x2−3的开口向上，所以A选项错误；

B. 当x=2时,y=2×4−3=5,则抛物线不经过点(2,3)，所以B选项错误；

C. 由A可知抛物线开口向上且对称轴为直线x=0，当x>0时，y随x的增大而增大，所以C选项错误；

D. 当y=0时,2x2−3=0，此方程有两个不相等的实数解，所以D选项正确.

故选D.

9．轴

【解析】形如形式的二次函数的对称轴为轴。

10．0

【解析】∵点P（-1，m）在二次函数y=x2-1的图象上，
∴m=1-1=0．
故答案是：0．

11．①③

【解析】根据二次函数的性质，对于二次函数y=3x2+2,可得①最小值为2,正确;②图象的顶点是(0,2)，错误；③图象与x轴没有交点，正确；④当x<−1时，y随x的增大而减小，错误；

故答案为：①③

12．上 (0，-3) y轴增大减小小 0 小 -3.

【解析】二次函数y=3x2-3中k=3,所以开口向上，顶点坐标（0，－3），对称轴为y轴，当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小.因为a=3>0，所以y有最小值，当x=0时，y的最小值是－3.

故答案是：上， (0，-3) ，y轴，增大，减小，小，0，小，-3.

13．

【解析】试题分析：利用二次函数与几何变换规律“上加下减”，进而求出图象对应的函数表达式．由二次函数的图象沿y轴向上平移2个单位，因此所得图象对应的函数表达式为：．

考点：二次函数的平移

14．y=+1（答案不唯一）

【解析】

试题分析：本题的答案不唯一，只需要满足二次函数的a为正数，且当x=0时，y=1即可.

考点：二次函数的解析式

15．2

【解析】∵抛物线y=−x²+2，

∴当y=0时，−x²+2=0，

∴，

∴与x轴的交点坐标是(,0)，(−,0)；

∵x=0时，y=2，

∴抛物线与y轴的交点坐标为：C(0,2)；

∴△ABC的面积为： ×2×2=2.

故答案是：2.

16．<

【解析】∵a＜0，

∴二次函数y=ax2+1（a＜0）的图象开口向下.

∵二次函数y=ax2+1（a＜0）的图象的对称轴为：x=0，

∴当x＞0时，y随x的增大而减小，

∴当x1＞x2＞0时，y1＜y2.

故答案为：<.

17．C

【解析】解：A．∵a=1＞0，∴二次函数y=x2+1的图象开口向上，A不符合题意；

B．∵a=1＞0，b=0，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，B不符合题意；

C．∵a=1＞0，b=0，∴ =0，∴二次函数y=x2+1的图象关于y轴对称，C符合题意；

D．∵a=1＞0，∴二次函数y=x2+1有最小值，最小值为1，D不符合题意．

故选C．

18．见解析

【解析】试题分析：观察图像结合函数表达式可以得到两个函数开口向上，对称轴也都是y轴，顶点坐标分别是(0,0),（0，-1）；根据二次函数的性质及图像知道抛物线y＝x2－1与抛物线y＝x2形状相同，对称轴相同，但是位置不同，开口方向也相同，所以可以得到抛物线y＝x2－1可由抛物线y＝x2向下平移1个单位长度得到的。

解：如图所示：

(1)抛物线y＝x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，0)；

抛物线y＝x2－1开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，－1)．

(2)抛物线y＝x2－1可由抛物线y＝x2向下平移1个单位长度得到．

19．（1）y=x2+2，顶点坐标是(0，2)，对称轴是y轴；（2）画图见解析；（3）x=0时，y有最大值，为2.

【解析】试题分析：（1）根据平移规律“上加下减”写出平移后的抛物线的解析式；

（2）根据抛物线解析式列函数对应值表，并作函数图象；

（3）结合函数图象回答问题.

试题解析：（1）把y=-x2的图象向上平移2个单位后得到抛物线的解析式为：y=-x2+2，

所以它的顶点坐标是（0，2），对称轴是x=0，即y轴；

（2）由y=-x2+2，得

其函数图象如图所示：